（新课标）2021版高考数学总复习第八章第二节空间几何体的表面积和体积练习文新人教A版

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1、（新课标）2020版高考数学总复习第八章第二节空间几何体的表面积和体积练习文新人教A版第二节空间几何体的表面积和体积A组基础题组1.圆柱的底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么圆柱的侧面积是()A.4SB.2SC.SD.233S答案A由r2=S得圆柱的底面半径是S,故侧面展开图的边长为2S=2S,所以圆柱的侧面积是4S,故选A.2.在梯形ABCD中,ABC=2,ADBC,BC=2AD=2AB=2,则将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为()A.4B.(4+2)C.6D.(5+2)答案D在梯形ABCD中,ABC=2,ADBC,BC=2AD=2AB=2,将梯形

2、ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1,高为2的圆柱减去一个底面半径为1,高为2-1=1的圆锥的组合体,几何体的表面积S=12+212+112+12=(5+2).3.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.1B.12C.13D.14答案C通解:该几何体的直观图为四棱锥S-ABCD,如图,SD平面ABCD,且SD=1,四边形ABCD是平行四边形,且AB=DC=1,连接BD,由题意知BDDC,BDAB,且BD=1,所以S四边形ABCD=1,所以VS-ABCD=13S四边形ABCDSD=13,故选C.优解:由三视图易知该几何体为锥体,所以V=13Sh

3、,其中S指的是锥体的底面积,即俯视图中四边形的面积,易知S=1,h指的是锥体的高,从正视图和侧视图易知h=1,所以V=13Sh=13,故选C.4.古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳,获得可供食用的大米,用于舂米的“臼”多用石头或木头制成.一个“臼”的三视图如图所示,则凿去部分(看成一个简单的组合体)的体积为()A.63B.72C.79D.99答案A由三视图得,凿去部分是一个半球与一个圆柱的组合体,其中半球的半径为3,体积为124333=18,圆柱的底面半径为3,高为5,体积为325=45.所以凿去部分的体积为18+45=63.故选A.5.(2019福建福州模拟)已知圆锥的高为3,底面半径

4、为3,若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上,则这个球的体积为()A.83B.323C.16D.32答案B设该圆锥的外接球的半径为R,依题意得,R2=(3-R)2+(3)2,解得R=2,所以所求球的体积V=43R3=4323=323,故选B.6.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为()A.64-163B.64-323C.64-16D.64-643答案A由三视图可知,该几何体是一个正方体中间挖去两个顶点相接的圆锥,其中,两个圆锥的体积和V锥=13Sh=13224=163,V=V正方体-V锥=43-163=64-163.7.(2018山西太原模拟)某几何体的三视图如图所示,则该几何

5、体的表面积等于()A.6+1B.(24+2)4+1C.(23+2)4+12D.(23+2)4+1答案D由几何体的三视图知,该几何体为一个组合体,其下部是底面直径为2,高为2的圆柱,上部是底面直径为2,高为1的圆锥的四分之一,所以该几何体的表面积为4+34+24+1=(23+2)4+1,故选D.8.(2019河北衡水二模)如图是某个几何体的三视图,则这个几何体的表面积是()A.+42+4B.2+42+4C.2+42+2D.2+22+4答案B由三视图可知,该几何体是由一个半圆柱与一个三棱柱组成的几何体.其直观图如图所示,其表面积S=1221+12122+12+21222+222=2+2+2+42=

6、2+42+4,故选B.9.已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m),则该四棱锥的体积为m3.答案2解析由题意可知四棱锥的底面是平行四边形,其面积为21=2 m2,四棱锥的高为3 m,所以四棱锥的体积V=13213=2 m3.10.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84,则圆台较小底面的半径为.答案7解析设圆台较小底面半径为r,则另一底面半径为3r,由S=(r+3r)3=84,解得r=7.11.已知S,A,B,C是球O表面上的不同点,SA平面ABC,ABBC,AB=1,BC=2,若球O的表面积为4,则SA=.答案1解析根据已知把S-

7、ABC补成如图所示的长方体.因为球O的表面积为4,所以球O的半径R=1,2R=SA2+1+2=2,解得SA=1.12.已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球,现从该三棱锥顶端向锥内注水,小球慢慢上浮.当注入的水的体积是该三棱锥体积的78时,小球恰与该三棱锥各侧面及水面相切(小球完全浮在水面上方),求小球的表面积.解析由题意知,没有水的部分可看成一个各棱长相等的小三棱锥,其体积是大三棱锥体积的18,因为大三棱锥的各棱长均为4,所以大三棱锥体积为132341242-2332+22=1623,所以小三棱锥的体积是223,设其棱长为a,则1334a263a=223,所以a=2.设小球的半径为r,

8、则4133422r=223,所以r=66,所以小球的表面积S=416=23.13.如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=12AD,BAD=ABC=90.(1)求证:直线BC平面PAD;(2)若PCD的面积为27,求四棱锥P-ABCD的体积.解析(1)证明:在平面ABCD内,因为BAD=ABC=90,所以BCAD.又BC平面PAD,AD平面PAD,故BC平面PAD.(2)取AD的中点M,连接PM,CM.由AB=BC=12AD及BCAD,ABC=90得四边形ABCM为正方形,则CMAD.因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD平面AB

9、CD=AD,所以PMAD,PM底面ABCD.因为CM底面ABCD,所以PMCM.设BC=x,则CM=x,CD=2x,PM=3x,PC=PD=2x.取CD的中点N,连接PN,则PNCD,所以PN=142x.因为PCD的面积为27,所以122x142x=27,解得x=-2(舍去)或x=2.于是AB=BC=2,AD=4,PM=23.所以四棱锥P-ABCD的体积V=132(2+4)223=43.B组提升题组1.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.2+1B.2+3C.32+1D.32+3答案A由三视图可知该几何体是由底面半径为1 cm,高为3 cm的半个圆锥

10、和三棱锥S-ABC组成的,如图,三棱锥的高为3 cm,底面ABC中,AB=2 cm,OC=1 cm,ABOC.故其体积V=1312123+1312213=2+1cm3.故选A.2.(2017课标全国理,7,5分)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为()A.10B.12C.14D.16答案B由多面体的三视图还原直观图如图.该几何体由上方的三棱锥A-BCE和下方的三棱柱BCE-B1C1A1构成,其中CC1A1A和BB1A1A是梯形,则梯形的面积之和为2(2+4)2

11、2=12.故选B.3.一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示,则该几何体的体积为.答案13+26解析由三视图可知四棱锥为正四棱锥,底面正方形的边长为1,四棱锥的高为1,球的直径为正四棱锥底面正方形的外接圆的直径,所以球的直径2R=2,则R=22,所以半球的体积为23R3=26,又正四棱锥的体积为13121=13,所以该几何体的体积为13+26.4.(2017课标全国,16,5分)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCA平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为.答案36解析由题意作出图形,如图.设球O的半径为R,由题意知SBBC,SAAC,又SB=BC,SA=AC,则SB=BC=SA=AC=2R.连接OA,OB,则OASC,OBSC,因为平面SCA平面SCB,平面SCA平面SCB=SC,所以OA平面SCB,所以OAOB,则AB=2R,所以ABC是边长为2R的等边三角形,设ABC的中心为O1,连接OO1,CO1.则OO1平面ABC,CO1=23322R=63R,则OO1=R2-63R2=33R,则VS-ABC=2VO-ABC=21334(2R)233R=13R3=9,所以R=3.所以球O的表面积S=4R2=36.14