立体几何专题复习要点

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1、精品文档基本几何体1 柱体棱柱 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这些面所围成的几何体叫做棱柱。棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底； 其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。圆柱 以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。棱柱与圆柱统称为柱体。斜棱柱 棱柱底面是正多形正棱柱 棱垂直于底面直棱柱其他棱柱 L四棱柱 底面为平行四边形平行六

2、面体侧棱垂直于底面直平行六面体底面为矩形长方体底面为正方形正四棱柱侧棱与底面边长相等正方体ED侧面FCABl底面侧棱EDS顶点侧面高侧棱FC底面斜高ABDCOHAB2. 锥体棱锥 有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。 正棱锥 如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。正棱锥具有的性质：正棱锥各侧棱相等， 各侧面都是全等的等腰三角形， 各等腰三角形底边上的高相等 （它

3、叫做正棱锥的斜高） .正棱锥的高、 斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.。1欢迎下载精品文档每个四面体都有外接球，

4、球心 0 是各条棱的中垂面的交点， 此点到各顶点的距离等于球半径；每个四面体都有内切球， 球心 I 是四面体各个二面角的平分面的交点， 到各面的距离等于半径 .圆锥 以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。棱锥与圆锥统称为锥体。3台体棱台 用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点。圆台 用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和

5、截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴。圆台和棱台统称为台体。4球球面 半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。球体 球面所围成的几何体。球的性质：任意截面是圆面 （经过球心的平面， 截得的圆叫大圆， 不经过球心的平面截得的圆叫小圆）球心和截面圆心的连线垂直于截面，并且rR2d 2，其中 R 为球半径， r 为截面半径，轴球面d 为球心的到截面的距离。球心半径球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长O方体，球与正方体等的内接与外切.RdACDCrBAABO1OODCABAc注：球的有关问题转化为圆的问题解决.球的表面积、体积公式：S球4R2 ,V球4R3 （其中 R 为球的半

6、径）3纬度、经度：纬度：地球上一点P 的纬度是指经过P 点的球半径与赤道面所成的角的度数.经度： 地球上 A, B 两点的经度差， 是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数，特别地， 当经过点A 的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是B 点的经度 .。2欢迎下载精品文档正四面体的内切球与外接球正四面体的内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a，那么正四面体的高 h6 a ， S底3 a2 ，Or34正四面体内切球的半径r6 a .12正四面体的外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式.那么正四面体外接球的半径R6 aR O4正方体的内切球与外接球设正方体的边长为 a

7、，那么正方体内切球的半径 rar3a，外接球的半径.22。3欢迎下载精品文档立体几何定理与常用结论（平行与垂直的定理除外）1、其他定理：（1）确定平面的条件：不公线的三点；直线和直线外一点；相交直线；（2）直线与直线的位置关系：相交； 平行； 异面；直线与平面的位置关系：在平面内； 平行； 相交（垂直是它的特殊情况）；平面与平面的位置关系：相交；平行；（3）等角定理：如果两个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等；如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角 ( 或直角 ) 相等；（ 4）射影定理 （斜线长、 射影长定理）：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线

8、段中，射影相等的两条斜线段相等； 射影较长的斜线段也较长； 反之，斜线段相等的射影相等； 斜线段较长的射影也较长； 垂线段比任何一条斜线段都短。（ 5）最小角定理： 斜线与平面内所有直线所成的角中最小的是与它在平面内射影所成的角。（ 6）异面直线的判定：反证法；过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不过该点的直线是异面直线。（ 7）过已知点与一条直线垂直的直线都在过这点与这条直线垂直平面内。（ 8）如果直线平行于两个相交平面，那么这条直线平行于两个平面的交线。（ 9）如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面。2、唯一性定理：（ 1）过已知点，有且只能作一直线和已知

9、平面垂直。（ 2）过已知平面外一点，有且只能作一平面和已知平面平行。（ 3）过两条异面直线中的一条能且只能作一平面与另一条平行。3、常用结论在四面体 ABCD 中：若 ABCD , BCAD ，则 ACBD ；且 A 在平面 BCD 上的射影是BCD 的垂心。若 AB AC AD ，则 A 在平面 BCD 上的射影是BCD 的外心。若 A 到 BC, CD , BD 边的距离相等，则 A 在平面 BCD 上的射影是BCD 的内心。4欢迎下载精品文档考点分析考点一、三视图1、空间几何体的三视图三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。具体包括：（ 1）正视图：物体前后方向

10、投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和长度；（ 2）侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和宽度；（ 3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；它能反映物体的宽度和长度；空间几何体的直观图2、斜二测画法建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX，OY，建立直角坐标系；画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的 0OX,OY , 使X OY=45 （或1350），它们确定的平面表示水平平面；画对应图形，在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于X 轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y 轴的线段，在直观图中画成平行于Y 轴，且长度变为原来的

11、一半；擦去辅助线，图画好后，要擦去X 轴、 Y 轴及为画图添加的辅助线（虚线）。（ 2）平行投影与中心投影平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点。考点二、体积、表面积1 多面体的面积和体积公式名称侧面积 (S 侧)全面积 (S 全)体 积(V)棱棱柱直截面周长 lS 侧+2S 底S 底 h=S 直截面 h柱直棱柱chS 底 h棱棱锥各侧面积之和1 S底 h1 chS侧+S底锥正棱锥321 h(S 上底 +S 下底 +棱台各侧面面积之棱和S 侧+S 上底 +S下底3台1 (c+c )h 正棱台上底下底 )2SS表中 S 表示面积， c、 c 分别表示上、下底面周长，h 表斜高，

12、 h表示斜高， l 表示侧棱长。5欢迎下载精品文档2旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球S侧2 r l r l (r +r ) l12S 全2 r( l +r)r( l +r) (r 1+r2) l + (r2221+r 2)4 RV22l )1212243 r h( 即 rrh h(r1+r 1r 2+r2)3 R33表中 l 、h 分别表示母线、高，r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r 1、r 2 分别表示圆台上、下底面半径， R表示半径。考点三、线线、线面、面面关系的判断考点四、平行与垂直关系的证明平行、垂直基础知识网络平行与垂直关系可互相转化平行关系垂直关系1. a,ba / b2

13、. a, a / bb平面几何知识, a平面几何知识3. a/4./, aa5./,线线平行L L线线垂直判定判定推论判定面面垂直定义性质性质性质判定判定线面平行面面平行线面垂直面面垂直性质性质平行判定总结（一）线线平行的判定1. 定义 : 在同一平面内 , 没有公共点的两条直线 .aba / ba b2. 平行于同一条直线的两条直线互相平行 .a / ba / cb / c。6欢迎下载精品文档3. 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行l /ll / mmlm4. 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行/aa / bb5. 垂直

14、于同一平面的两条直线平行 .aa / bb（二）线面平行的判定1. 定义：直线与平面无公共点 .aa /ab2. 如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行lml /l / m（三）面面平行的判定1. 定义：两个平面没有公共点 ./2. 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行ababA/a /b /。7欢迎下载精品文档3.一个平面内的两条相交直线与另一平面平行，则这两个平面平行.a /a /abA垂直判定总结（一）线线垂直的判定1. 定义：两直线所成角为 90o.2. 线面垂直的性质：若直线垂直平面，则直线垂直平面内的任何直

15、线.llaa3. 三垂线定理：在平面内的一条直线， 如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 .PAAPBaPAaa AB4. 三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直 .PAAPBaABaaPA（二）线面垂直的判定1. 定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面互相垂直 .2. 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 .l m l nmlnmnB。8欢迎下载精品文档3.两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.ba

16、aab（三）面面垂直的判定1. 定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角平面角是直角，就说两个平面互相垂直 .2. 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 .abbb。9欢迎下载精品文档考点五、空间的角异面直线所成的角，线面角，二面角异面直线所成的角，线面角，二面角的求法1求异面直线所成的角0,90 ：解题步骤： 一找（作）：利用平移法找出异面直线所成的角；（ 1）可固定一条直线平移另一条与其相交； （ 2）可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。常用中位线平移法二证： 证明所找（作）的角就是异面直线所成的角（或其补角）。常需要证明线线平行；三计算： 通过解三角形，求出异面直线所成的角；

17、2 求直线与平面所成的角0 ,90 ：关键找“两足” ：垂足与斜足解题步骤： 一找：找（作）出斜线与其在平面内的射影的夹角（注意三垂线定理的应用） ；二证： 证明所找（作）的角就是直线与平面所成的角（或其补角）（常需证明线面垂直） ；三计算： 常通过解直角三角形，求出线面角。3 求二面角的平面角0,解题步骤：一找：根据二面角的平面角的定义，找（作）出二面角的平面角；二证：证明所找 （作）的平面角就是二面角的平面角（常用定义法， 三垂线法， 垂面法）； 三计算：通过解三角形，求出二面角的平面角。考点六、空间的距离空间的距离的求法1、点到平面的距离解题方法1：直接法 ，一找： 根据点到平面的距离的定义，找（作）出点到平面的垂线段； 二证： 证明所找（作）的垂线段就是点到平面的距离；三计算： 通过解三角形，求出点到平面的距离。解题方法2：等体积法 ，即根据三棱锥体积的不变性，利用等体积法求出点到平面的距离。解题方法 3：转移法 ，即转化为另一点到该平面的距离（利用线面平行的性质）；2、 空间距离的相互转化面面距转化线面距转化转化转化转化点点距点面距点线距。10欢迎下载