中学数学常用的解题方法

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1、中学数学常用的解题方法 数学的解题方法是随着对数学对象的研究的深入而发展起来的。教师钻研习题、精通解题方法，可以促进教师进一步熟练地掌握中学数学教材，练好解题的基本功，提高解题技巧，积累教学资料，提高业务水平和教学能力。 下面介绍的解题方法，都是初中数学中最常用的，有些方法也是中学教学大纲要求掌握的。1、配方法 所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极

2、值和解析式等方面都经常用到它。2、因式分解法 因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。3、换元法 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。4、判别式法与韦达定理 一元二次方程ax2

3、+bx+c=0（a、b、c属于R，a0）根的判别，=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。 韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。5、待定系数法 在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数

4、学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。6、构造法 在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。7、反证法 反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一

5、种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。 反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。 归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、

6、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。8、面积法 平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。 用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。9、几何变换法 在数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简

7、单性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题，可以借助几何变换法，化繁为简，化难为易。另一方面，也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来，有利于对图形本质的认识。 几何变换包括：（1）平移；（2）旋转；（3）对称。10.客观性题的解题方法 选择题是给出条件和结论，要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型。选择题的题型构思精巧，形式灵活，可以比较全面地考察学生的基础知识和基本技能，从而增大了试卷的容量和知识覆盖面。 填空题是标准化考试的重要

8、题型之一，它同选择题一样具有考查目标明确，知识复盖面广，评卷准确迅速，有利于考查学生的分析判断能力和计算能力等优点，不同的是填空题未给出答案，可以防止学生猜估答案的情况。 要想迅速、正确地解选择题、填空题，除了具有准确的计算、严密的推理外，还要有解选择题、填空题的方法与技巧。下面通过实例介绍常用方法。（1）直接推演法：直接从命题给出的条件出发，运用概念、公式、定理等进行推理或运算，得出结论，选择正确答案，这就是传统的解题方法，这种解法叫直接推演法。（2）验证法：由题设找出合适的验证条件，再通过验证，找出正确答案，亦可将供选择的答案代入条件中去验证，找出正确答案，此法称为验证法（也称代入法）。当

9、遇到定量命题时，常用此法。（3）特殊元素法：用合适的特殊元素（如数或图形）代入题设条件或结论中去，从而获得解答。这种方法叫特殊元素法。（4）排除、筛选法：对于正确答案有且只有一个的选择题，根据数学知识或推理、演算，把不正确的结论排除，余下的结论再经筛选，从而作出正确的结论的解法叫排除、筛选法。（5）图解法：借助于符合题设条件的图形或图象的性质、特点来判断，作出正确的选择称为图解法。图解法是解选择题常用方法之一。（6）分析法：直接通过对选择题的条件和结论，作详尽的分析、归纳和判断，从而选出正确的结果，称为分析法。数学学习方法全面复习，把书读薄 从历年试卷的内容分布上可以看出，凡是考试大纲中提及的

10、内容，都可能考到，甚至某些不太重要的内容，在某一年可以在大题中出现，如98年数学一中，不但第三题是一道纯粹的解析几何题，而且还有两道题是与线性代数结合考了解析几何的内容，可见，猜题的复习方法是靠不住的，而应当参照考试大纲，全面复习，不留遗漏。 全面复习不是死记硬背所有的知识，相反，是要抓住问题的实质和各内容，各方法的本质联系，把要记的东西缩小到最小程度，(要努力使自已理解所学知识，多抓住问题的联系，少记一些死知识)，而且，不记则已，记住了就要牢靠，事实证明，有些记忆是终生不忘的，而其它的知识又可以在记住基本知识的基础上，运用它们的联系而得到。这就是全面复习的含义。突出重点，精益求精 在考试大纲

11、的要求中，对内容有理解，了解，知道三个层次的要求；对方法有掌握，会（能）两个层次的要求，一般地说，要求理解的内容，要求掌握的方法，是考试的重点。在历年考试中，这方面考题出现的概率较大；在同一份试卷中，这方面试题所占有的分数也较多。猜题的人，往往要在这方面下功夫。一般说来，也确能猜出几分来。但遇到综合题，这些题在主要内容中含有次要内容。这时，猜题便行不通了。我们讲的突出重点，不仅要在主要内容和方法上多下功夫，更重要的是要去寻找重点内容与次要内容间的联系，以主带次，用重点内容担挈整个内容。主要内容理解透了，其它的内容和方法迎刃而解。即抓出主要内容不是放弃次要内容而孤立主要内容，而是从分析各内容的联

12、系，从比较中自然地突出主要内容。如微分中值定理，有罗尔定理，拉格朗日定理，柯西定理和泰勒公式。由于罗尔定理是拉格朗日定理的特殊情况，而柯西定理和泰勒公式又是拉格朗日定理的推广。比较这些关系，便自然得到拉格朗日定理是核心，这这个定理搞深搞透，并从联系中掌握好其它几个定理，而在考试大纲中，罗尔定理与拉格朗日定理都是要求理解的内容，都是考试重点，我们更突出拉氏定理，可谓是精益求精。基本训练、反复进行 学习数学，要做一定数量的题，把基本功练熟练透，但我们不主张题海战术，而是提倡精练，即反复做一些典型的题，做到能一题多解，一题多变。要训练抽象思维能力，对些基本定理的证明，基本公式的推导，以及一些基本练习

13、题，要做到不用书写，就象棋手下盲棋一样，只需用脑子默想，即能得到正确答案。这就是我们在前言中提到的，在分钟内完成道客观题。其中有些是不用动笔，一眼就能做出答案的题，这样才叫训练有素，熟能生巧，基本功扎实的人，遇到难题办法也多，不易被难倒。相反，做练习时，眼高手低，总找难题做，结果，上了考场，遇到与自己曾经做过的类似的题目都有可能不会；不少考生把会做的题算错了，归为粗心大意，确实，人会有粗心的，但基本功扎实的人，出了错立即会发现，很少会粗心地出错。学习数学就是学习解题我们知道，学习数学需要通过复习来循序渐进地提高自己的数学能力。有的同学简单地把复习理解为做大量的题目，也有的同学认为复习就是记忆、

14、背诵课本中的有关概念、定理、公式等。可见，许多同学对复习的认识还存在误区：没有真正认识到数学学科的特点，在复习方法上没有和其他学科区别开来。数学是应用性很强的学科，学习数学就是学习解题。搞题海战术的方式、方法固然是不对的，但离开解题来学习数学同样也是错误的。其中的关键在于对待题目的态度和处理解题的方式上。首先是精选题目，做到少而精。只有解决质量高的、有代表性的题目才能达到事半功倍的效果。然而绝大多数的同学还没有辨别、分析题目好坏的能力，这就需要在老师的指导下来选择复习的练习题，以了解高考题的形式、难度。其次是分析题目。解答任何一个数学题目之前，都要先进行分析。相对于比较难的题目，分析更显得尤为

15、重要。我们知道，解决数学问题实际上就是在题目的已知条件和待求结论中架起联系的桥梁，也就是在分析题目中已知与待求之间差异的基础上，化归和消除这些差异。当然在这个过程中也反映出对数学基础知识掌握的熟练程度、理解程度和数学方法的灵活应用能力。例如，许多三角方面的题目都是把角、函数名、结构形式统一后就可以解决问题了，而选择怎样的三角公式也是成败的关键。最后，题目总结。解题不是目的，我们是通过解题来检验我们的学习效果，发现学习中的不足的，以便改进和提高。因此，解题后的总结至关重要，这正是我们学习的大好机会。对于一道完成的题目，有以下几个方面需要总结：在知识方面，题目中涉及哪些概念、定理、公式等基础知识，

16、在解题过程中是如何应用这些知识的。在方法方面：如何入手的，用到了哪些解题方法、技巧，自己是否能够熟练掌握和应用。能不能把解题过程概括、归纳成几个步骤（比如用数学归纳法证明题目就有很明显的三个步骤）。能不能归纳出题目的类型，进而掌握这类题目的解题通法（我们反对老师把现成的题目类型给学生，让学生拿着题目套类型，但我们鼓励学生自己总结、归纳题目类型）。高考数学冲刺：如何提高解题能力高考临近，如何有效地利用最后的时间提高数学复习的针对性和实效性，是所有考生共同面临的问题。记者特邀北京市十一学校数学学科主任、高级教师张鹤，特级教师、精华学校数学主讲教师齐智华，山东师范大学附中数学高级教师田明泉为高三的同

17、学助力。专家认为，临战的躁动并不奇怪，解决的办法除了要做好心理调整外，还需正确认识数学学科的特点，针对自己在前段时间复习中的实际问题，进行专项训练，查缺补漏。最后几天的复习，千万不能陷入题海之中，要在题海中学会游泳，掌握复习的主动权。落实基础提升解题能力张鹤认为，第一，最后几天复习，考生一定要扎扎实实地落实好基础知识。高考试题中，80的题目是基础题，这要求考生必须关注基础知识的落实，而能力就是对基础知识的灵活应用。考生要弄清高中数学的每一章节的最基本的问题是什么？如何解决？研究的基本方法是什么？在能力要求上要达到什么目标？第二，思想方法是高考复习的灵魂。以解析几何复习为例，解析几何研究的是几何

18、问题，要得到的也是几何的结论。但它使用的方法却不是几何问题中常用的演绎推理的思维方法，而是代数的知识和方法。这个基本思想也就决定了解析几何的两大任务：一是，根据曲线的几何条件，把它的代数形式表示出来；二是，通过曲线的方程来讨论它的几何性质。关注1：怎样把几何问题转化为代数问题？首先，在复习中，要主动地去理解几何对象的本质特征。这是实现几何问题代数化的基础和落脚点。解析几何毕竟是几何，决不能忽视对几何对象的几何特征的认识与理解。解析几何审题的主要目的之一，就是要理解几何对象的几何属性，为准确的代数化打好基础。其次，完成好几何问题向代数问题的转化，还要善于将几何性质通过代数形式表达出来。考生要有意

19、识地找一些几何对象常见的、比较典型的几何特征，进行有针对性的代数化练习。几何问题代数化是实现解析几何基本思想的基础和出发点。在最后的复习阶段，一定要领会在解决解析几何问题中必须重视的两个问题。一是，所研究的几何对象具有什么样的几何特征；如果几何特征不清楚，也就不可能准确将其“代数化”，这就要在审题上下够功夫。还有，如何写出它们的代数形式。常见的典型的“代数化”要非常熟练。关注2：提高将“代数结论”向“几何结论”的转化的意识和能力。总之，在解析几何的复习中，只有重视对以上两个问题的关注，才能深刻领悟到解析几何的思维方法，并努力尝试应用这种思维模式去解决问题，如此才可能使解析几何的最后的复习落到实

20、处。学会用高数方法解难题齐智华认为，2005年数学高考试卷将凸现“新三大数学能力”：第一，猜证结合的数学思想；第二，解题方法高等化注重程序、淡化技巧，充满运动与辨证；第三，几何问题代数化。（一）猜证结合的数学思想。高考突破高分全靠“推理”，而人间的推理只有两种：一是猜（数学猜想似真推理），二是证（证明推理）。我们必须学会猜证结合的数学思想方法。猜想推理是实验性的科学推理，“先猜后证”是数学家、物理学家、化学家、生物学家、历史学家、政治家、军事家、神探用于发明和破案的常规方法。同时，猜证结合是高速解决“选择填空题”的法宝，是“难题探路突破高分”的利剑。（二）解题方法高等化。高中课程中，原平面解析

21、几何属于高等数学，我国于1964年下放到中学。现在的高中新课程增加了“向量”（向量代数）、“导数”（微积分）和“概率统计”，它们都是高等数学的基础。高等数学与初等数学的主要区别是：高等数学注重程序（通法），淡化技巧；而初等数学注重技巧，难免陷入“偏难怪”的泥坑。考生要善于将初等数学的“难题”，转化成高等数学的解题方法，如转化为导数法或向量法，这样，难题就将化为“容易”题。（三）几何问题代数化。这是我国著名数学家吴文俊教授大声疾呼的问题。几何问题代数化是几何学发展的现代里程碑。在新考卷中将突出地表现在三个方面：（1）向量与三角函数的综合；（2）向量、导数与解析几何的综合；（3）立体几何的一道大题

22、可用现代向量法也可用古老的几何法求解。用向量法求解就是程序操作，几乎没有难点；而几何法就会碰到难以克服的难点。重视模拟考试 提高应试能力田明泉认为，高考前几天，学生通常应采用自测“模拟考试”的形式引导最后的复习。在自测考试过程中考生需要注意哪些问题呢？第一，认真备考，研究考试。（1）考生要明确解题时间的限制非常关键。考试要求在一定的时间内，独立解答试题。数学高考是120分钟对150分，解题速度慢就是“隐性失分”，所以提高解题速度，特别是解客观题的速度，考生要注意总结解客观题方法。在做解答题时，书写要简明、扼要、规范，不要嗦重复，更不要“小题大做”，只要写出“得分点”即可。观察近几年的高考数学试

23、卷可以发现，选择题侧重于速度的测试功能，填空题一般以中档难度的题为主，解答题突出难度测试功能。因此，要求考生在尽可能短的时间内完成选择题、填空题，尽快进入解答题，具体时间分配因人而异。（2）在高考阅卷中，经常遇到某些考生由于审题不仔细或没有理解题意，从而答题不严密、不规范，造成不应有的失分。这部分考生不能正确理解和运用数学语言（文字、符号和图表语言），特别是不能准确阅读理解题设文字材料或图表构造表述的数学命题，造成一些令人惋惜的丢分，复习中要有意识加强训练。（3）数学试卷题量虽不算大，但是有相当的难度，很少有人能够做完、得满分。但难度也是相对的，根据解答题评卷实行“分段评分”的特点，考生不妨做

24、个心理换位，根据自己的实际情况，从平时做作业“全做全对”的要求中，转移到“立足于完成部分题目或题目的部分”上来，这样试卷的难度就降下来了。积极争取“分段得分”，尽量避免整道大题一分不得。第二，及时总结，不断提高。高三的每次模拟考试都是一次高强度、大容量的思维活动过程。因此，考生要认真准备每一次考试，珍惜每一次考试得到的经验教训，并且做好考后小结，重点归纳失分的原因，对症下药研究应试对策。第三，回归基础，追根溯源。每年高考数学试题都会有新的变化，但是仔细分析和观察就不难发现，其中相当多试题考查均侧重于“双基”。在考前比较短的时间里，与其把时间大量地耗费在新题、偏题、怪题和难题上，不如认真复习一下自己已做过的习题，特别是曾经做错的题目。这样可以在较短的时间里，收到比较好的复习效果。