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1、float共计32位(4字节)31位是符号位，1表示该数为负，0反之3023位，一共 8位是指数位(-128127)22 0位，一共23位是尾数位，尾数的编码一般是原码和补码IEEE标准从逻辑上用三元组S,E,M表示一个数N,如下图所示：最高4立帯低俺SEMn = (-1)5 x m x 2en,s,e,m分别为N,S,E,M对应的实际数值，而N,S,E,M仅仅是一串二进制位。 S(sign)表示N的符号位。对应值 s满足：n0时，s=0; *0 时，s=1。 E(exponent)表示N的指数位，位于S和M之间的若干位。对应值e值也可正可负。 M(mantissa)表示N的尾数位，恰好，它位
2、于N末尾。M也叫有效数字位(sinificand )、 系数位(coefficient),甚至被称作 小数”。IEEE标准754规定了三种浮点数格式：单精度、双精度、扩展精度。前两者正好对应C语言里头的float、double或者FORTRAN里头的real、double精度类型。限于篇幅，本文仅 介绍单精度、双精度浮点格式。单精度:N共32位，其中S占1位，E占8位，M占23位。双精度:N共64位，其中S占1位，E占11位，M占52位。值得注意的是，M虽然是23位或者52位，但它们只是表示小数点之后的二进制位数， 也就是说，假定 M为“010110011”在二进制数值上其实是“ .01011
3、0011。而事实上，标准规定小数点左边还有一个隐含位，这个隐含位通常，哦不，应该说绝大多数情况下是1，那什么情况下是 0呢？答案是N对应的n非常小的时候，比如小于2A(-126)(32 位单精度浮点数)。不要困惑怎么计算出来的，看到后面你就会明白。总之，隐含位算是赚来了一位 精度,于是M对应的m最后结果可能是m=1.010110011”或者“m=0.010110011. ”四、计算 e、m首先将提到令初学者头疼的规格化(normalized) ”、非规格化(denormalized) ”。噢，其实并没有这么难的，跟我来！掌握它以后你会发现一切都很优雅，更美妙的是，规格化、非规格化本身的概念几乎
4、不怎么重要。请牢记这句话：规格化与否全看指数E!下面分三种情况讨论 E，并分别计算e和m:1、 规格化：当E的二进制位不全为 0,也不全为1时，N为规格化形式。此时 e被解释 为表示偏置(biased )形式的整数,e值计算公式如下图所示：上图中，|E|表示E的二进制序列表示的整数值 ,例如E为10000100,贝U |E|=132,e=132-127=5。k则表示E的位数，对单精度来说，k=8,则bias=127，对双精度来说，k=11,则 bias=1023。此时m的计算公式如下图所示：标准规定此时小数点左侧的隐含位为1,那么m=|1.M|。如M=101，则|1.M|=|1.101|=1.
5、625, 即 m=1.625(.101 = 2A(-1)*1 + 2A(-2)*0 + 2A(-3)*1 = 0.625)2、非规格化：当 E的二进制位全部为 0时，N为非规格化形式。此时 e, m的计算都 非常简单。注意，此时小数点左侧的隐含位为0。 为什么e会等于(1-bias)而不是(-bias)，这主要是为规格化数值、非规格化数值之间的平滑过渡设计的。后文我们还会继续讨论。有了非规格化形式，我们就可以表示0 了。把符号位S值1,其余所有位均置0后，我们得到了 -0.0;同理，把所有位均置 0,则得到+0.0。非规格化数还有其他用途，比如表示 非常接近0的小数，而且这些小数均匀地接近0,
6、称为逐渐下溢(gradually underflow) 属性。3、 特殊数值： 当E的二进制位全为1时为特殊数值。此时，若M的二进制位全为0, 则n表示无穷大，若 S为1则为负无穷大，若 S为0则为正无穷大；若M的二进制位不全 为0时，表示NaN(Not a Number)，表示这不是一个合法实数或无穷，或者该数未经初始化。五、范例仔细研读第四点后，再回忆一下文章开头计算n的公式，你应该写出一个浮点编码的实际值n 了吧？ 还不能吗？不急，我先给你示范一下。我们假定N是一个8位浮点数，其中，S占1位，E占4位，M占3位。下面这张表罗列了N可能的正数形式，也包含了e、m等值，请你对照着这张表，重温
7、一下第四点，你会慢慢明白的。说实在的，这张表花了 我不少功夫呢，幸好TeX画表格还算省事！这张表里头有很多有趣的地方，我提醒一下：看N列，从上到下，二进制位表示是均匀递增的，且增量都是一个最小二进制位。这不是偶然，正是巧妙设计的结果。观察最大的非规格数，发现恰好就是M全为1, E全为0的情况。于是我们求出最大的非规格数为：上面的公式中，h为M的位数(如范例中为3)。注意，公式等号右边的第一项同时又是 最小规格数的值(如范例中为 8/512 );第二项则正是最小非规格数的值(如范例中为12)即该浮点数能表示的最小正数。看m列，规格化数都是1+ x的形式，这个1正是隐含位1;而非规格化数隐含位为0,所以没有1+。看n列，非规格化数从上到下的增量都是1/512,且过渡到规格化数时，增量是平滑的，依旧是1/512。这正是非规格化数中e等于(1-bias)而不是(-bias)的缘故，也是巧妙设计的结果。再继续往下看，发现增量值逐渐增大。可见，浮点数的取值范围不是均匀的。
32位单精度浮点数的IEEE表示法
