高中数学导数及其应用专题

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1、.专题 导数及其应用考点精要1了解导数概念的实际背景2理解导数的几何意义3了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数不超过三次）4了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）5会利用导数解决某些实际问题热点解析导数的几何意义及其应用，基本初等函数的导数公式及导数运算的四则运算法则是高考的重点与热点，要会利用导数求曲线的切线，注意区分在某点处的切线与过某点的曲线的切线求函数在点（x0，）处的切线方程或切线斜率；求函数的单

2、调增区间或单调减区间；求函数在（a，b）上的极值，求在a，b上的最大值、最小值等等，在近几年高考试题中频频出现知识梳理1一般地，函数y=在x=x0处的瞬时变化率是=我们称它为函数y=在x=x0处的导数，记作或y|x=x0，即=2函数在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k=3导函数= y=4c=0，（x1）=1，（x2）=2x，5基本初等函数的导数公式：（1）若=c，则=0；（2）若=xn（n），则=nxn-1；（3）若=sinx，则=cosx；（4）若=cosx，则=sinx；（5）若=ax，则=axlna；（6）若=ex，则=ex；（7）若=logax，则=；（8）若=lnx，则=；6

3、导数运算法则：（1）=（2）=+；（3）7.导数的应用体现在三个方面：（1）求曲线的切线：其方法是，先求函数在某点处的导数得切线斜率，再用点斜式建立切线方程，后化为一般式求曲线的切线时要注意两种不同的要求：一种是求“函数在某点处的切线”，这个点就是切点；一种是求“函数过某点的切线”，则这个点可以是切点，也可以不是切点。这两种要求的切线的求法有区别（2）求函数的极大（小）值与最大（小值）求可导函数的极值的步骤：求导数；这一步是基础，要求利用导数公式及运算法则正确地求出导函数求方程=0的根；这一步用到方程知识，注意=0的根应在y=的定义域中检验在方程=0的根（又叫函数驻点）的左、右侧的符号是否发生

4、变化：如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y=在这个根处取得极大值；如果相反，在这个根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数y=在这个根处取得极小值如果求闭区间a，b上函数的最值，则应在、及开区间（a，b）内的极值中间作比较，最大的就是最大值，最小的就是最小值（3）研究函数的单调性设函数y=在某个区间D内可导，且，则在这个区间上为增函数；若，则在这个区间上为减函数（注意：这里=0在D的任意一个子区间内不能恒成立，否则，函数在这个子区间内为常函数，为水平线段，不具有单调性）（4）不等式的恒成立问题与能成立（存在性）问题不等式的恒成立问题若在上恒成立，等价于在上的最小值成立，若在上恒成立

5、，等价于在上的最大值成立对任意，都有成立的充要条件是不等式的能成立（存在性）问题若在上能成立，等价于在上的最大值成立若在上能成立，等价于在上的最小值成立。例题精讲: 例1. 曲线y=xex+2x+1在点（0,1）处的切线方程为_例2. 有下列命题：x=0是函数y=x3的极值点三次函数=ax3+bx2+cx+d有极值点的充要条件是b2-3ac0奇函数=mx3+（m-1）x2+48（m-2）x+n在区间（-4，4）上是单调函数其中假命题的序号是_例3. 已知函数=x3+bx2+cx+d的图像过点P（0，2），且在点M（-1，f（-1）处的切线方程为6x-y+7=0（1）求函数y=的解析式；（2）求

6、函数y=的单调区间例4 （没有图像）已知函数R）. （1）若曲线在点处的切线与直线平行，求a的值； om （2）求函数的单调区间和极值；（3）当，且时，证明：解：（I）函数所以又曲线处的切线与直线平行，所以 4分 （II）令当x变化时，的变化情况如下表：来+0极大值由表可知：的单调递增区间是，单调递减区间是所以处取得极大值，9分 （III）当由于只需证明令因为，所以上单调递增，当即成立。故当时，有13分例5 18.（本小题共14分）已知函数（）若，求函数的极值和单调区间；(II) 若在区间上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.解：（I）因为，2分当，令，得 ，3分 又的定义域为，随的变化

7、情况如下表：0极小值所以时，的极小值为1 .5分 的单调递增区间为，单调递减区间为；6分（II）解法一：因为 ，且， 令，得到 ，在区间存在一点，使得成立，充要条件是在区间上的最小值小于0即可.7分 （1）当，即时，对成立，所以，在区间上单调递减，故在区间上的最小值为， 由，得，即9分（2）当，即时， 若，则对成立，所以在区间上单调递减， 所以，在区间上的最小值为，显然，在区间上的最小值小于0不成立11分 若，即时，则有极小值所以在区间上的最小值为，由，得 ，解得，即.13分综上，由(1)（2）可知：符合题意.14分解法二：若在区间上存在一点，使得成立， 即，因为, 所以，只需7分令，只要在区

8、间上的最小值小于0即可因为，令，得9分（1）当时：极大值 因为时，而， 只要，得，即11分 （2）当时：极小值 所以，当 时，极小值即最小值为，由， 得 ，即.13分 综上，由(1)（2）可知，有14分例 6 已知函数.（）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；（）若对于都有成立，试求的取值范围；解: (I) 直线的斜率为1.函数的定义域为，因为，所以，所以. 所以. .由解得；由解得.所以的单调增区间是,单调减区间是. 4分(II)，由解得；由解得.所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.所以当时，函数取得最小值，.因为对于都有成立，所以即可.则. 由解得.所以的取值范围是.8分例

9、7 18.（本小题共14分）已知函数（I）若，求函数的解析式； （II）若，且在区间上单调递增，求实数的取值范围. 解：（）因为 ，2分 由即得，4分所以的解析式为.5分()若，则， ，6分 （1）当，即时，恒成立，那么在上单调递增，所以，当时，在区间上单调递增；8分（2）解法1：当，即或时，令解得，9分列表分析函数的单调性如下：10分要使函数在区间上单调递增，只需或，解得或.13分 解法2：当，即或时， 因为的对称轴方程为9分要使函数在区间上单调递增，需或解得或.13分 综上：当时，函数在区间上单调递增.14分例 8 （12北京东城期末） 已知函数.（）若，求曲线在点处的切线方程；（）若函数

10、在区间上单调递增，求实数的取值范围解析解：（）当时，.， 3分 所以所求切线方程为即 5分 （）.令，得. 7分由于，的变化情况如下表：+00+单调增极大值单调减极小值单调增所以函数的单调递增区间是和. 9分 要使在区间上单调递增，应有 或 ， 解得或11分 又 且，12分 所以 即实数的取值范围 13分例9已知函数求函数的导函数；当时，若函数是上的增函数，求的最小值；当时，函数在上存在单调递增区间，求的取值范围【解析】 3分因为函数是上的增函数，所以在上恒成立，则有，即设为参数，则当，且时，取得最小值（可用圆面的几何意义解得的最小值）8分当时是开口向上的抛物线，显然在上存在子区间使得，所以的

11、取值范围是当时，显然成立当时，是开口向下的抛物线，要使在上存在子区间使，应满足或解得，或，所以的取值范围是则的取值范围是13分例10 18（本小题满分13分）已知函数，若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；求函数的单调区间；当，且时，证明：【解析】 函数的定义域为，又曲线在点处的切线与直线垂直，所以，即由于当时，对于，有在定义域上恒成立，即在上是增函数当时，由，得当时，单调递增；当时，单调递减当时，令当时，在单调递减又，所以在恒为负所以当时，即故当，且时，成立1函数y=x2+2x+1在x=1处的导数等于A2B3C4D52函数的导数是=ABCD3曲线y=x3-3x2+1在点（1，-1）处的切线方

12、程为Ay=3x-4By=-3x+2Cy=-4x+3Dy=4x+34 =x3-3x2+1是减函数的区间为A（2,）B（,2）C（,0）D（0,2）5函数=ax3+x+1有极值的充分必要条件是Aa0 BCa0D6设是函数的导函数，y=的图像如下右图所示，则y=的图像最有可能是7函数=x3+ax2+3x-9，已知在x=-3时取得极值，则a=A2B3C4D58函数=x3-3x+1，在闭区间-3，0上的最大值、最小值分别是A1，-1B1，-17C3，-17D9，-199函数y=在其定义域内可导，则“=0”是函数y=在点x=x0处有极值的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件10

13、函数=（x-3）ex的单调递增区间是A（,2）B（0,3）C（1,4）D（2,）11过原点作曲线y=ex的切线，则切点的坐标为_；切线的斜率为_12曲线y=x3-3x2+1在点（1,-1）处的切线方程为_13若可导函数的导函数为，且满足=3x2+2x，则=_14点P在曲线y=x3-x+上移动，设以点P为切点的切线的倾斜角为，求的取值范围_15是=x3+2x+1的导函数，则的值是_16如图，函数的图像是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为（0,4），（2，0），（6，4），则_；函数在x=1处的导数=_17若曲线=ax2+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_18设直线y=x+b

14、是曲线y=lnx（x0）的一条切线，则实数b的值为_19函数=lnx的图像在点（e，f（e）处的切线方程是_20函数y=的单调减区间是_21若函数=x3-3a2x+1的图象与直线y=3只有一个公共点，则实数a的取值范围是_22若函数=在区间（1,4）内为减函数，在区间（6,+）上为增函数，试求实数a的取值范围23已知函数=ax3+bx2+cx在点x0处取得极大值5，其导函数y=的图像经过点（1,0）,（2,0），如右上图所示求：（）x0的值；（） a,b,c的值；（）的极小值答案:例1. y=3x+1 例2 例3（1）=x3-3x2-3x+2 （2）(,1-)上单调递增，(1-，1+)上单调递

15、减，在(1+,)上单调递增针对训练1C 2D 3B 4D 5C 6D 7D 8C 9B 10D 11(1,e),e 123x+y-2=0 13614153 162 17a0 18ln2-1 19y= 20(,0)和(0,1) 21-1a1 22 23（）x0=1（）a=2，b=-9，c=12（）4高考链接1（09北京）设是偶函数，若曲线在点处的切线的斜率为1，则该曲线在点处的切线的斜率为_。2（07北京文）是的导函数，则的值是3（08北京文）如图，函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f(f(0)= ; 函数f(x)在x=1处的导数f

16、（1）= .4（11北京文）（本小题共13分）已知函数.（）求的单调区间；（）求在区间0,1上的最小值.5（10北京文） （本小题共14分） 设定函数，且方程的两个根分别为1，4。（）当a=3且曲线过原点时，求的解析式；（）若在无极值点，求a的取值范围。6（08北京）（本小题共13分）已知函数是奇函数.（）求a,c的值；（）求函数f(x)的单调区间.答案1 略 2 （3） 3 2 -24（共13分）解：（）令，得与的情况如下：x（）（0+所以，的单调递减区间是（）；单调递增区间是（）当，即时，函数在0，1上单调递增，所以（x）在区间0，1上的最小值为当时，由（）知上单调递减，在上单调递增，所以在区间0，1上的最小值为；当时，函数在0，1上单调递减，所以在区间0，1上的最小值为5(共14分)解：由 得 因为的两个根分别为1,4，所以 （*）（）当时，又由（*）式得解得又因为曲线过原点，所以故（）由于a0,所以“在（-，+）内无极值点”等价于“在（-，+）内恒成立”。由（*）式得。又解 得即的取值范围6（本小题共13分）已知函数，且是奇函数（）求，的值；（）求函数的单调区间解：（）因为函数为奇函数，所以，对任意的，即又所以所以解得（）由（）得所以当时，由得变化时，的变化情况如下表：00所以，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增当时，所以函数在上单.