光学衍射和干涉现象的计算机仿真

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1、光学衍射和干涉现象的计算机仿真目 录摘要2Abstract3引言4一 光的衍射现象的仿真511光的衍射现象512惠更斯菲涅耳原理513夫朗和费衍射7131夫朗和费矩形孔衍射理论7132夫朗和费矩形孔衍射实验的MATLAB仿真8133夫朗和费圆孔衍射理论10134夫朗和费圆孔衍射实验的MATLAB仿真11135夫朗和费单缝衍射理论12136 夫朗和费单缝衍射实验的MATLAB仿真13137 夫朗和费多缝衍射理论15138 夫朗和费多缝衍射实验的MATLAB仿真16二 光的干涉现象的仿真1821 光的干涉理论分析1822 杨氏双缝干涉的MATLAB仿真19三 结束语22参考文献22致谢22光学衍射

2、和干涉现象的计算机仿真摘要介绍了夫朗和费矩形孔、圆孔、单缝和多缝四种衍射，并通过MATLAB软件对其做了计算机仿真，获得了衍射图样和光强分布图。同时还分析了光的干涉的基本理论，通过MATLAB软件对杨氏双缝干涉实验进行了计算机仿真，获得了干涉图样和光强分布图。并对改变实验参数所获得的条纹图样进行了对比分析，得出的结果和实际理论推导都相一致，为实际中的理论分析和实验教学提供了方便。关键词：衍射，干涉，MTALAB，计算机仿真.AbstractIntroduced Fraunhofer rectangular hole, hole, slit and multiple slit diffracti

3、on of four and their made by MATLAB software, computer simulation and optical diffraction patterns obtained intensity distribution. Also analyzed the basic theory of interference of light through the MATLAB software on Youngs double slit experiment, computer simulation, obtained interference pattern

4、 and intensity distribution. And changing the experimental parameters obtained fringe pattern were compared, the results and the actual theoretical analysis are consistent with the practice of teaching theory and experiment provides a convenient.Keyword：Diffraction ,Interference, MATLAB,Computer sim

5、ulation.引言光的干涉和衍射是光学里最基本也是最重要的两种特性，为了加深对衍射和干涉的了解，其中的一些概念、原理往往需要用实验来进行验证，但是在现实的教学中，很多实验参数是现有设备所不能提供的，这就给实验操作带来了极大的限制，从而不能满足需求。因此，开创新的教学模式是非常有必要，也是迫在眉睫的事。为了解决实验硬件设备所不能提供的需要问题，计算机仿真就成了一种新的趋势。方便，准确，是软件仿真的突出点。它能够准确的把实验理论数据通过计算机仿真展现，避免了一些贵重仪器的经常性使用，并且能够把一些复杂的理论概念形象生动的展现出来，让学生更容易接受和掌握。MATLAB拥有强大的数值计算和图形处理功

6、能，其中很多的指令表达式与数学、工程中常用的形式相似，简单易学。本文就通过MATLAB强大的科学数值计算和出色的图形处理功能对夫朗和费衍射和杨氏双缝干涉实验进行了分析和图样仿真。一 光的衍射现象的仿真11光的衍射现象光的衍射是指光波在传播过程中遇到障碍物时，所发生的偏离直线传播的现象。光的衍射，也可以叫光的绕射，既光可绕过障碍物，传播到障碍物的几何阴影区域中，并在障碍物后的观察屏上呈现出光强的不均匀分布。通常将观察屏上的不均匀光强分布称为衍射图样。 图1-1光的衍射现象让一个足够亮的点光源S发出的光透过一个圆孔，照射到屏幕K上，并且逐渐改变圆孔的大小，就会发现：当圆孔足够大时，在屏幕上看到一个

7、均匀光斑，光斑的大小就是圆孔的几何投影；随着圆孔逐渐减小，起初光斑也相应的变小，而后光斑开始模糊，并且在圆斑外面产生若干相间的同心环带，当使用白色光源时，这是一组色彩相间的彩色环带；此后再使圆孔变小，光斑及圆环不但不跟着变小，反而会增大起来。这就是光的衍射现象。光的衍射现象与光的干涉现象就其实质来讲，都是相干光叠加引起的光强的重新分布，所不同之处在于，干涉现象是有限个相干光波的叠加，而衍射现象则是无限多个相干光波叠加结果。因此，对衍射现象的理论处理，从本质上来说与干涉现象相同，但是由于衍射现象的特殊性，在书许上遇到了很大的困难，以至许多有实际意义的问题得不到严格的解，因而，实际的衍射理论都是一

8、些近似解法。这里就介绍一下惠更斯菲涅耳原理。12 惠更斯菲涅耳原理最早成功地用波动理论解释衍射现象的是菲涅耳，他将惠更斯原理用光的干涉理论加以补充，并予以发展。惠更斯原理是描述波动传播过程的一个重要原理，其主要内容是：如图1-2所示，一波源S，在某一时刻所产生的波面阵面为，则面上的每一点都可以看作是一个次波源，它们发出球面次波，其后某一时刻的波面阵，既是该时刻这些球面次波的包迹面，波阵面的法线方向就是该波的传播方向。惠更斯原理能够很好的结实光的直线传播，光的反射和折射方向。菲涅耳在研究了光的干涉现象后，考虑到次波来自于同一光源，应该相干，因而波阵面一点的光振动应该是在光源和该点之间任一波面上的

9、各点发出的次波场叠加的结果。这就是惠更斯菲涅耳原理。利用惠更斯菲涅耳原理可以解释衍射现象：在任意给定的时刻，任一波面上的点都起着次波波源的作用，它们各自发出球面次波，障碍物以外任意点上的光强分布既是没有被阻挡的各个次波源发出的次波在该点相干叠加的结果。根据惠更斯菲涅耳原理，图1-3所示，单色光源S对于空间的任意点P的作用，可以看作是S和P之间任一波面上各点发出的次波在P点相干叠加的结果。假设波面上任意点Q的光场复振幅为(Q)，在Q点取一个面元，则面元上的次波源对P点光场的贡献为 (1-1) 图1-2惠更斯原理 图1-3单色点光源S对P点光作用式中，C是比例系数；r=,K()称为倾斜因子，它是元

10、波面法线和的夹角（称为衍射角）有关的量，按照菲涅耳的假设：当=0时，K有最大值；随着的增大，K迅速减小；当/2时，K=0；因此，波面上只有ZZ范围内的部分对P点光振动有贡献。所以P点的光场复振幅为 （1-2）这就是惠更斯菲涅耳原理的数学表达式，称为惠更斯菲涅耳原理公式。 当S是点光源时，Q点的光场复振幅为= （1-3）式中，R是光源到Q点的距离。在这种情况下，可以从积分号中提出来，但是由于K（）的具体形式未知，不可能由（1-1）式确切地确定值。因此，从理论上来讲，这个原理是不够完善的。 13夫朗和费衍射根据光源、障碍物、屏幕三者位置关系，可将衍射分为二种：一种是光源屏幕与障物之间的距离都为无限

11、远时，这种衍射称为夫朗和费衍射。如图所示： 图1-4该为夫朗和费衍射装置图，透镜L1是将点光源S发出的光变为平行光，透镜L2是使通过夹缝的平行光会聚到屏幕上。由于夫朗和费衍射在实验室中较为多见，而且在理论上也比较简单，这里就分析下夫朗和费衍射的基本理论和运用MATLAB软件对其衍射图样进行仿真。 131夫朗和费矩形孔衍射理论对于图1-4所示的夫朗和费衍射装置，若衍射孔是矩形孔，则在透镜焦平面上观察到的衍射图样如图 所示，这个衍射图样的主要特征是衍射亮斑集中分布在两相互垂直的方向上，并且X轴上的亮斑宽度与Y轴上亮斑宽度之比，恰与矩形孔在两个轴上的宽度关系相反。根据 (1-4) 可知，透镜焦平面上

12、P（x,y）点的光场复振幅为 (1-5)式中，=(0,0)=Cab是观察屏中心点P0处的光场复振幅；a,b分别是矩形孔沿x1、y1轴方向的宽度；、分别为 则在P(x,y)点的光强度为 (1-6)式中，I0是P0点的光强度，且有。132夫朗和费矩形孔衍射实验的MATLAB仿真运行MATLAB，输入以下程序：lamda=500e-6;a=1e-3;b=1e-3;f=1;m=600;ym=6000*lamda*f;ys=linspace(-ym,ym,m);xs=ys;n=255;for i=1:ma; sinth1=xs(i)/sqrt(xs(i)2+f2);sinth2=ys./sqrt(ys.

13、2+f2);angleA=pi*a*sinth1/lamda;angleB=pi*b*sinth2./lamda;B(i,:)=(sin(angleA).2.*sin(angleB).2.*6000./(angleA.2.*angleB.2);endsubplot(2,1,1);image(ys,xs,B);colormap(gray(n);subplot(2,1,2);plot(ys,B(m/2,:),k);运行该程序，可获得夫朗和费矩形孔衍射图样和光强分布图，如图1-5(a)、图1-5(b)所示：图1-5 a=mm,b=mm, =500nm的夫朗和费矩形孔衍射图样（a）和光强分布图(b)图

14、1-6 a=mm,b=mm,=500nm的夫朗和费矩形孔衍射图(a)和光强分布图(b)由此可以得出以下几点结论：1 矩形孔衍射的光能量主要集中在中央亮斑处。2 通过图1-5和图1-6的对比可以发现，当矩形孔面积增大时，亮斑的面积反而减小。通过理论推导时，知中央亮斑的面积公式为 （1-7）从该式可看出，中央亮斑面积是与矩形孔面积成反比的，从而也可以说明该实验的仿真图样与实际理论推导结果是一致的。133夫朗和费圆孔衍射理论夫朗和费圆孔衍射的讨论方法与矩形孔衍射的讨论方法相同，只是由于圆孔结构的几何对称姓，采用极坐标处理更加方便。如图1-7所示，设圆孔半径为a，圆孔中心Q1位于光轴上，则圆孔上任一点

15、Q的位置坐标、，与相应的直角坐标x1,y1的关系为 类似地，观察屏上任一点P的位置坐标、与相应的直角坐标的关系为 图1-7夫朗和费圆孔衍射光路由此，P点的光场复振幅按照式，在经过坐标变换后为 （1-8）式中= 是衍射方向与光轴的夹角，称为衍射角。在这里，已利用了sin的近似关系。根据零阶贝塞尔函数的积分表示式 可将（1-8）式变换为 （1-9）这里已经利用了为偶函数的性质。再由贝塞尔函数的性质 （1-10）式中，为一阶贝塞尔函数，可得 （1-11）因此，P点的光强度为 = （1-12）式中，I0=S2(A/f)2是光轴上P0点的光强；S=a2是圆孔的面积；是圆孔边缘与中心点在同一方向上光线间的

16、相位差。（1-12）就是夫朗和费圆孔衍射的光强度分布公式，它是光学仪器理论中一个十分重要的公式。134夫朗和费圆孔衍射实验的MATLAB仿真运行MATLAB，输入以下仿真程序：f=500;a=0.06;lamda=500e-6;x=linspace(-20,20,300);X,Y=meshgrid(x);theta=atan(sqrt(X.2+Y.2)/f);alpha=2*pi*a*sin(theta)/lamda;I=(2*besselj(1,alpha)./alpha).2;Iw=zeros(300,300);Iw(:,:)=I;I0=20;Iw=15*Iw; imshow(Iw); 运

17、行仿真程序可获得夫朗和费圆孔衍射图样，如图1-8、图1-9所示：图1-8 a=0.06mm,=500nm的夫朗和费圆孔衍射图样 图1-9 amm, =500nm的夫朗和费圆孔衍射图样由仿真获得的图1-8和图1-9可以看出，夫琅禾费圆孔衍射图样为同心圆环，明暗交错，不等距。能量主要分布在内亮斑中，称为爱里斑。由爱里斑的半径计算公式知，当入射光的波长一定时，圆孔半径越大，爱里斑越小。这与实验现象相吻合。135夫朗和费单缝衍射理论前面已经介绍过夫朗和费矩形孔衍射，如果矩形孔一个方向的尺寸比另一个方向大得多，如ba，则该矩形孔的衍射就变成一个单缝衍射。这事，沿y方向的衍射效应不明显，只在x方向有亮暗变

18、化的衍射图样。按照（1-2）式，衍射屏上P点的光场复振幅为 (1-13)图1-10 单缝夫朗和费衍射装置式中，=Ca是观察屏中心点P0点处的光场复振幅。相应P点的光强度为 (1-14)式中，I0= ，为衍射角。136 夫朗和费单缝衍射实验的MATLAB仿真用MATLAB对其进行仿真，仿真程序如下：f=500;a=0.06;lamda=500e-6;x=linspace(-10,10,600);theta=atan(x/f);alpha=2*pi*a*sin(theta)/lamda;I=(sinc(alpha).2;Iw=zeros(60,600); for i=1:60Iw(i,:)=I;e

19、ndIw=Iw*256;figure;subplot(2,1,1);image(alpha,I,Iw);colormap(gray);subplot(2,1,2);plot(alpha,I);运行该程序可获得夫朗和费单缝衍射图样和光强分布图，如图1-11(a)、图1-11(b)所示，图1-11、图1-12和图1-13为均为500nm，缝宽a分别为0.06mm、0.1mm和1mm的条纹图样和光强分布图。图1-11 a=0.06mm, =500nm的夫朗和费单缝衍射图样(a)和光强分布图(b)图1-12 a=0.1mm, =500nm的夫朗和费单缝衍射图样(a)和光强分布图(b) 图1-13 a=

20、1mm, =500nm的夫朗和费单缝衍射图样(a)和光强分布图(b)通过获得的图1-11、图1-12、图1-13可看出：（1）当入射光波长一定时，单缝宽度 a 越小，衍射条纹越宽，衍射现象越显著； （2）当缝宽a远大于波长时，衍射不明显，可视为为直线传播。以上仿真结果和理论结果都相符，仿真效果非常理想。 137 夫朗和费多缝衍射理论 所谓多缝是指在一块不透光的屏上，刻有N条等间距、等宽度的通光夹缝。夫朗和费多缝衍射的装置如图1-7所示，其每条夹缝均平行于y1方向，沿x1方向的缝宽为a，相邻夹缝的间距为d，在研究多缝衍射时，必须注意缝后透镜L2的作用。由于L2的存在，使得衍射屏上每个单缝的衍射条

21、纹位置与缝的位置无关，既缝垂直于光轴方向平移时，其衍射条纹的位置不变，所以，利用平行光照射多缝时，其每一个单缝都要产生自己的衍射，形成各自的一套衍射条纹。当每个单缝等宽时，各套衍射条纹在透镜焦平面上完全重叠，其总光强分布为它们的干涉叠加。假设图1-14中的S是线光源，则N个夹缝受到平面光波的垂直照射。如果选取最下面的夹缝中心作为x1的坐标原点，并只计x方向的衍射，则按照(1-8)式，观察屏上P点的光场复振幅为 (1-15)式中 它表示在x1方向上相邻的两个间距为d的平行等宽夹缝，在P点产生光场的相位差。相应于P点的光强度为 (1-16)式中，I0=Aab/(f)2是单缝衍射情况下P0点的光强。

22、图1-14 夫朗和费多缝衍射装置图由上述讨论可以看出，平行光照射多缝时，其每个夹缝都将在P点产生衍射场，由于这些光场均来自同一光源，彼此相干，将因干涉效应，使观察屏上的光强度重新分布，因此，多缝衍射现象包含有衍射和干涉双重效应。138 夫朗和费多缝衍射实验的MATLAB仿真接下来就通过MATLAB对多缝衍射的图样进行仿真，其仿真程序如下:lam=500e-6;N=4;a=2e-3;z=5;d=5*a;xm=2*lam*z/a;y0=xm;n=1001;x0=linspace(-xm,xm,n);for i=1:nsinphi=x0(i)/z;alpha=pi*a*sinphi/lam;beta

23、=pi*d*sinphi/lam;B(i,:)=(sin(alpha)./alpha).2*(sin(N*beta)./sin(beta).2;B1=B/max(B);endNC=255;Br=(B/max(B)*NC;subplot(1,2,1)image(y0,x0,Br);colormap(gray(NC);subplot(1,2,2);plot(B1,x0)运行该程序可获得夫朗和费多缝衍射图样和光强分布图，如图1-15(a)、1-15(b)所示，图1-15和图1-16分别为夹缝N=4，=500nm和N=8，=500nm的衍射图样和光强分布图。图1-15 N=4, =500nm夫朗和费多

24、缝衍射图样(a)和光强分布图(b) 图1-16 N=8, =500nm夫朗和费多缝衍射图样(a)和光强分布图(b)由以上获得的仿真图样可知，随着夹缝数N的增大，衍射图样有两大变化，一是光的能量在向主极大的位置集中；二是亮条纹变得更加细亮了。通过上述分析可看出，仿真图样所得出的结论与实际理论是相一致的。二 光的干涉现象的仿真 光的干涉理论分析 光的干涉是指两束或多束满足频率相同，振动方向相同，相位差固定这3个条件的光在空间相遇时，在重叠区域内形成稳定的强弱强度分布的现象。例如，图2-1所示两列单色线偏振光 （2-1） （2-2）在P点相遇，E1和E2振动方向间的夹角为，则在P点处的总光强为 图2

25、-1 两列光波在空间重叠 （2-3） 式中，I1、I2是二光束的光强，是二光束的相位 差，且有 由此可见，二光束叠加后的总强度并不等于这两列波的强度和，而是多了一项交叉项I12，它放映了这两束光的干涉效应，通常称为干涉项。干涉现象就是指这两束光在重叠区内形成的稳定的光强分布。所谓稳定，是指用肉眼或记录仪器能观察到或记录到条纹分布，既在一定时间内存在着相对稳定的条纹分布。显然，如果干涉项I12远小于两光束光强中较小的一个，就不易观察到干涉现象；如果两束光的相位差随时间变化，使光强度条纹图样产生移动，且当条纹移动速度快到肉眼或记录仪器分辨不出条纹图样时，就观察不到干涉现象了。在能观察到稳定的光强分

26、布的情况下，满足 m=的空间位置为光强极大值，且光强极大值Im为 (2-4)满足 m=的空间位置为光强极小值，且光强极小值Im为 (2-5) 当两束光强相等，I1=I2=I0,相应的极大值和极小值分别为 (2-6) (2-7)22 杨氏双缝干涉的MATLAB仿真这里就以比较经典的干涉实验，杨氏双缝干涉实验作分析和对其图样用MATLAB进行仿真。光强强度为: (2-8) 其中 为两列光波在P点位相差. 设两相干光源到接收屏上P点距离分别为其中D为双缝到接受屏的距离, a为双缝间距.因此相位差可表示为 两相邻亮条纹的间距这里就讨论下当I1=I2时的光强分布，既有 (2-9)运行MATLAB，输入以

27、下程序：lam=500e-9;a=2e-4;D=1;ym=5*lam*D/a;xs=ym;n=1001;ys=linspace(-ym,ym,n);for i=1:nr1=sqrt(ys(i)-a/2).2+D2);r2=sqrt(ys(i)+a/2).2+D2);phi=2*pi*(r2-r1)./lam;B(i,:)=sum(4*cos(phi/2).2);endN=255;Br=(B/4.0)*N;subplot(1,2,1);image(xs,ys,Br);colormap(gray(N);subplot(1,2,2);plot(B,ys) 运行该程序可获得杨氏双缝干涉图样和光强分布图

28、，如图2-2(a)和图2-2(b)所示： 图2-2 d=0.2mm,D=1m,=500nm的杨氏双缝干涉图样和光强分布图 图2-3 d=mm,D=1m,=500nm的杨氏双缝干涉图样(a)和光强分布图(b)由图可看出杨氏双缝干涉实验的图样是明暗相间的条纹，当入射光波长和光栅到屏的距离D不变，相邻亮条纹之间的间距随双缝间的距离d的增大而减小。光强分布图可以看出它是以0点所对应的水平线为对称的，相邻和之间的距离相等。仿真结果和实际理论推导相一致。三 结束语介绍了夫朗和费衍射的理论，借助MATLAB对其进行仿真，并同时分析了光的干涉理论和对杨氏双缝干涉实验进行了仿真，通过改变实验各项参数，获得了不同的衍射图样和光强分布图，与实际理论推导相一致。通过计算机仿真，可以轻松得到各类衍射和干射实验的条纹图样和光强分布图，简单明了，为理论教学除去了大量的繁杂工作，让学生能够更容易吸收，同时也充分的提高了实验理论教学的效率。参考文献1 母国光,战元令，光学M . 北京:人民教育出版社,19872 王仕璠，信息光学理论与应用，北京邮电大学出版社，2004年3月3 宋清 熊万杰.光学现象的计算机模拟J.中山大学学报论丛，2005年第05卷第3期4 崔祥霞、杨兆华、陈君，基于MATLAB的光学衍射与干涉实验仿真，泰山学院学报, 2009年03期5 MATLAB中文论坛. a