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1、概率论与数量统计第一章习题解答 1、写出下列随机试验的样本空间：（1） 记录一个班 一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。（2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的产品记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查的结果。（4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标。解：（1） 设该班有n人，则该班总成绩的可能值是0，1，2，100n。 故随机试验的样本空间S=i/n|i=0,1,2,100n。（2）随机试验的样本空间S=10,11,12,。（3）以0表示检查到一个次品，1表示检查
2、到一个正品，则随机试验的样本空间S=00，0100，0101，0110，0111，100，1010，1011，1100，1101，1110，1111。（4）随机试验的样本空间S=（x,y）|x2+y20，证明P（AB|A）P（AB|AB）。（2）若P（A|B）=1，证明P（|）=1。（3）若设C也是事件，且有P（A|C）P（B|C），P（A|）P（B|），证明P（A）P（B）。28、有两种花籽，发芽率分别为0.8，0.9，从中各取一颗，设各花籽是否发芽相互独立。求（1）这两颗花籽都能发芽的概率。（2）至少有一颗能发芽的概率。（3）恰有一颗能发芽的概率。29、根据报道美国人血型的分布近似地为：A
3、型为37%，O型为44%，B型为13%，AB型0 6%。夫妻拥有的血型是相互独立的。（1）B型的人只有输入B、O两种血型才安全。若妻为B型，夫为何种血型未知，求夫是妻的安全输血者的概率。（2）随机地取一对夫妇，求妻为B型夫为A型的概率。（3）随机地取一对夫妇，求其中一人为A型，另一人为B型的概率。（4）随机地取一对夫妇，求其中至少有一人是O型的概率。30、（1）给出事件A、B的例子，使得（i）P（A|B）P（A）。（2）设事件A，B，C相互独立，证明（i）C与AB相互独立。（ii）C与AB相互独立。（3）设事件A的概率P（A）=0，证明对于任意另一事件B，有A，B相互独立。（4）证明事件A，B
4、相互独立的充要条件是P（A|B）= P（A|）。31、设事件A，B的概率均大于零，说明以下的叙述（1）必然对。 （2）必然错。（3）可能对。并说明理由。（1）若A与B互不相容，则它们相互独立。（2）若A与B相互独立，则它们互不相容。（3）P（A）=P（B）=0.6，且它们互不相容。（4）P（A）=P（B）=0.6，且它们相互独立。32、有一种检验艾滋病毒的方法，其结果有概率0.005报导为假阳性（即不带艾滋病毒的人被认为带艾滋病毒）。今有140名不带艾滋病毒的正常人全部接受此种检验，被报道至少有一人带艾滋病毒的概率为多少？33、盒中有编号为1，2，3，4的4只球，随机地自盒中取一只球，事件A为
5、“取得的是1号或2号球”，事件B为“取得的是1号或3号球”，事件C为“取得的是1号或4号球”。验证：P（AB）=P（A）P（B），P（AC）=P（A）P（C），P（BC）=P（B）P（C），但P（ABC）P（A）P（B）P（C），即事件A，B，C两两独立，但A，B，C不是相互独立的。35、如果一危险情况C发生时，一电路闭合并发出警报，我们可以借用两个或多个开关并联以改善可靠性。在C发生时这些开关每一个都 应完全，且若至少一个开关闭合了，警报就发出，如果两个这样的开关并联连接，它们每个具有0.96的可靠性（即在情况C发生时闭合的概率），问这时系统的可靠性（即电路闭合的概率）是多少如果需要有一个可
6、靠性至少为0.9999的系统，则至少需要用多少开关并联？设各开关闭合与否是相互独立的。36、三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4。问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？设Ai=第i人能破译（i=1,2,3），则 37、设第一只盒子中装有3只蓝球，2只绿球，2只白球；第二只盒子中装有2只蓝球，3只绿球，4只白球。独立地分别在两只盒子中各取一只球。（1）求至少有一只蓝球的概率。（2）求有一只蓝球一只白球的概率。（3）已知至少有一只蓝球，求有一只蓝球一只白球的概率。38、袋中装有m枚正品硬币、n枚次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽），在袋中任取一枚，将它
7、投掷r次，已知每次都得到国徽。问这枚硬币是正品的概率为多少？【解】设A=投掷硬币r次都得到国徽B=这只硬币为正品由题知 则由贝叶斯公式知 39、设根据以往记录的数据分析，某船只运输的某种物品损坏的情况共有三种：损坏2%（这一事件记为A），损坏10%（事件B），损坏90%（事件C），且知P（A）=0.8，P（B）=0.15，P（C）=0.05。现在从已被运输的物品中随机地取3件，发现这3件都是好的（这一事件记为D）。试求P（A|D）, P（B|D）, P（C|D）（这里设物品件数很多，取出一件后不影响取后一件是否为好品的概率）。40、将A、B、C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为a，而输出为其他一字母的概率都是（1-a）/2。今将字母串AAAA，BBBB，CCCC之一输入信道，输入AAAA，BBBB，CCCC的概率分别为p，q，r（p+q+r=1），已知输出为ABCA，问输入的是AAAA的概率是多少？（设信道传输各个字母的工作是相互独立的）20
概率论与数理统计第一章习题解答
