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1、2.1 平面向量的概念及线性运算一、向量的有关概念（一）向量的有关概念1、向量的定义：既有_又有_的量叫做向量。2、表示方法：用_来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。用，或用，表示。3、模：向量的_叫向量的模，记作_或_。（二）几种特殊的向量1、零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作；零向量的方向是_，它与任意非零向量都共线。2、单位向量：长度为_单位长度的向量叫做单位向量，常用，表示。与平行的单位向量_。3、平行向量：方向_或_的_向量；平行向量又叫_，任一组平行向量都可以移到同一直线上规定：与任一向量_。4、相等向量：_ 且 _的两个向量，记。5、相反向
2、量：_ 且 _的两个向量，记。例1：下列说法中正确的是_。（1）向量就是有向线段；（2）零向量没有方向；（3）若向量与向量平行，则向量与向量的方向相同或相反；（4）两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；（5）若向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上。【解析】：（4）变式练习1：下列说法中正确的_。（1）单位向量都相等；（2）与是否相等，与向量与向量的方向无关；（3）若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；（4）若向量与向量共线，向量与向量共线，则向量与向量共线；（5）两向量、 相等的充要条件是且；（6）若，则或；（7）向量与向量平行，则
3、向量与向量的方向相同或相反；【解析】：（2）（3）变式练习2：下列说法中正确的_。（1）若向量与向量同向，且，则；（2）由于零向量方向不确定，故零向量不能与任意向量平行；（3）若向量与向量是共线向量，则A、B、C、D在一条直线上；（4）起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量。【解析】：（4）二、向量的线性运算及几何意义向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算()()减法求与的相反向量的和的运算叫做与的差()数乘求实数与向量的积的运算（1） （2）当0时，的方向与的方向相同；当0时，的方向与的方向相反。（3）当或时，。 结论：（1）设、为任意向量，、为任意实数，则有：
4、 （2） 当与异向共线时 当与同向共线时【和的模小于等模的和，大于等模的差的绝对值】 （3） ()()例2：化简：（1）_。 （2）_。 （3）_。（4）_。（5）_。ECBAD例3：根据右图所示填空（1） ； （2） ； （3） ； （4）_ _；（5）_。变式练习1：如图所示，在正六边形ABCDEF中，（ ）A： B： C： D：【解析】：D变式练习2：如图所示，四边形ABCD是梯形，ADBC，AC与BD交于点O，则()A： B： C： D：【解析】B变式练习3：在平行四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是()A：菱形B：正方形C：矩形D：梯形解析:由图知|，|.所以|，故四边形ABCD
5、为矩形.变式练习4：若O是ABC所在平面内一点，且满足，试判断ABC的形状。【解析】:，又|=|，|=|，以AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，此平行四边形为矩形，ABAC，ABC是直角三角形.例4：如右图：在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且，则_。【解析】：例5：在三角形OAB中，延长BA到C，使ACBA，在OB上取点D，使得DBOB，DC与OA交点E，设，用，表示，。【解析一】： 点A是BC的中点 2 （）22 22【解析二】： 点A是BC的中点 2 22变式练习1：在平行四边形ABCD中，设，3，M为BC的中点，用、表示。【解析】：()变式练习2：在正方形ABC
6、D中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么等于（ ）A： B：C： D：【解析】：D三、向量共线定理对于向量（）与共线，当且仅当有唯一一个实数，使得。注意：（1）、向量证明与共线，只需证明存在实数，使得即可。（2）、如果，数仍然存在，此时并不唯一，是任意数值。特别地：（1）两条线段平行与两条线段共线是不一样的，而两个平行向量就是共线向量。（2）要证明三点共线需要说两点 三点确定的向量共线；两向量有公共点。例6：已知任意两非零向量、，试作，证明：A、B、C三点共线。【解析】： ()()，()()， 所以A、B、C三点共线。综上：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。对于任意向量
7、、及任意实数、，恒有。变式练习1：试证起点相同的三个向量、32的终点在一条直线上。【解析】：如图，设，32，则22，2，又因为与有共同的起点A，故A、B、C三点共线。变式练习2：设、是不共线的两个非零向量，（1）若2，3，3，求证：A、B、C三点共线；（2）若8k与k2共线，求实数k的值。【解析】：（1），24，2（2）8k与k2共线，故存在实数，使得8k(k2)，得8kk2，即得或 k4例7：已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2，则等于（ ）A：2 B：2 C： D：【解析】：A 2，故A是BC的中点。变式练习1：设D为ABC所在平面内一点，且3，则（ ）A： B：C：
8、 D：【解析】由3，点D在BC的延长线上，且BC3CD，选A 变式练习2：设()()，是任一非零向量，则在下列结论中：；。正确结论的序号是_。【解析】变式练习3：设P是ABC内的一点，()，则ABC的面积与PBC的面积之比为()A：2B：3C： D：6【解析】:设BC的中点为D，则=2.)=，如图，过A作AEBC，交BC于点E，过P作PFBC，交BC于点F，则.=3.答案:B课 后 综 合 练 习1、下列说法中正确的是 ( )A：与的和与同向、长度等于与的长度之和B：与的差与同向、长度等于与的长度之差C：当与同向时，与同向、长度等于与长度之和D：当与反向时，与同向、长度等于与的长度之差【解析】
9、：C2、已知四边形ABCD是平行四边形，那么下列等式中恒成立的是 ( )A： B： C： D：【解析】：A3、下列各式中结果为的有（ ） A： B： C： D：【解析】：C4、下列四式中可以化简为的是（ ） A： B： C： D：【解析】：A5、已知，如右图ABCDEF是一个正六边形，O是它的中心，其中，则（ ）A： B： C： D： 【解析】：D6、等于()A： B： C： D：【解析】：C7、在平行四边形ABCD中，等于()A： B： C： D：【解析】：A8、下列四式不能化简为的是()A：() B：()() C： D： 【解析】：A9、若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是
10、()A： B：C：D：【解析】：B10、下列命题中是真命题的是（ ）对任意两向量、均有：；对任意两向量、与是相反向量；在三角形ABC中，；在四边形ABCD中，()()；A： B： C： D：【解析】：D11、设P是三角形ABC所在平面内的一点，2，则（ ）A： B： C： D：【解析】：B 2 P为AC中点12、已知点O、A、B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且，则（ ）A：点P在线段AB上 B：点P在线段AB的反向延长线上C：点P在线段AB的延长线上 D：点P不在直线AB上【解析】：B 23 2() 213、已知非零向量，满足1，1，且4，则 _。【解析】如图所示设Oa，Ob，则|B|ab|.以OA与OB为邻边作平行四边形OACB，则|O|ab|.由于(1)2(1)242. 故|O|2|O|2|B|2，所以OAB是AOB为90的直角三角形，从而OAOB，所以OACB是矩形，根据矩形的对角线相等有|O|B|4，即|ab|4.9
必修四平面向量的概念及线性运算讲义
