特殊行列式与行列式计算方法总结

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1、.专业整理 .特殊行列式及行列式计算方法总结一、几类特殊行列式1. 上（下）三角行列式 、对角行列式 （教材 P7 例 5、例 6）2. 以副对角线为标准的行列式a11a12La1n00L0a1n0L00La2, na2na21a22L010LMMMMMMMMM0N0an 1,2Lan 1,nan 1,nann0001an1Lan1an 2Lan ,n 1annn ( n1)(1) 2a1n a2,n 1 L an13. 分块行列式 （教材 P14 例 10）一般化结果 ：AnCn mAn0n mAnBm0m nBmCm nBm0n mAnCn mAn( 1)mn An BmBmCm nBm0

2、m n4. 范德蒙行列式 （教材 P18 例 12）注：4 种特殊行列式的结果需牢记！以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！二、低阶行列式计算0 a1na2, n 100 00 0二阶、三阶行列式 对角线法则（教材 P2、P3）三、高阶行列式的计算【五种解题方法 】1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式 ；2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式；. 学习帮手 .专业整理 .3) 利用行列式的行 （列）扩展定理以及行列式的性质 ，将行列式降阶进行计算 适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并且非零元素的代数余子式很容易计算 ；4)递推法或数学归纳法 ；5)升阶法（又称加

3、边法 ）【常见的化简行列式的方法】1. 利用行列式定义直接计算特殊行列式例 1 （ 2001 年考研题 ）00L01000L200MMMM MMD1999L000020000L00000L002001分析：该行列式的特点是每行每列只有一个元素，因此很容易联想到直接利用行列式定义进行计算 。解法一：定义法D(1) (n 1,n 2,.,2,1, n) 2001! ( 1)0 1 2 . 1999 0 2001! 2001!解法二：行列式性质法利用行列式性质 2 把最后一行依次与第n-1, n-2,2,1 行交换（这里 n=2001 ），即进行 2000 次换行以后 ，变成副对角行列式 。00L0

4、0200100L0102001 100L2002001 12001(20011)D (1)( 1)22001! 2001!MMMM M(1)M01999L00020000L000. 学习帮手 .专业整理 .解法三：分块法00L01000L200MMMM MMD1999L000020000L00000L002001利用分块行列式的结果可以得到00L0100L202000(2000-1)D =2001 MMMM M=2001 (-1)2！2000!=200101999L0020000L00解法四：降阶定理展开按照每一行分别逐次展开，此处不再详细计算 。2. 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果

5、的特殊行列式例 21 a11111 a11D11 b111111 b分析：该行列式的特点是1 很多，可以通过 r1r2 和 r3r4 来将行列式中的很多1化成 0.解：. 学习帮手 .专业整理 .aa00110011 a1111 a11D0bbab011001111 b1111 b1100r2r10a11r4r1ab00110011 b1100r4r30a112b2ab01a01000b例 3a13a12b1a1b12b13a23a22b2a2 b22b23， (ai 0)Da32b3a3 b32b33a33a43a42b4a4 b42b43分析：该类行列式特点是每行a 的次数递减 ， b 的

6、次数增加 。 特点与范德蒙行列式相似 ，因此可以利用行列式的性质将D 化成范德蒙行列式 。解：1( b1 )( b1 )2( b1 )3a1a1a11( b2 )( b2 )2( b2 )3D a13a23a33 a43a2a2a2( b3 ) ( b3 )2( b3 )31a3a3a31( b4 )( b4 )2( b4 )3a4a4a4a13a23a33a43 V ( b1 , b2 , b3 , b4 )a1a2a3a4333a3bibj)aa a4(123j i 4 aia j1练习：（ 11-12 年 IT 专业期末考试题 ）111若实数 x, y, z 各不相等 ，则矩阵 Mxyz

7、 的行列式 M _x 2y 2z 23.利用行列式的行 （列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计. 学习帮手 .专业整理 .算例 4ab0L000abL00DnLL000Labb00L0a分析：该行列式特点是a 处于主对角线 ， b 在 a 后的一个位置 ，最后一行中 b 是第一个元素 ， a 是最后一个元素 。解：按第一列展开 ：ab0L00b0abL00a bD n a ( 1)1 1LL( 1)n 1b000LabO Oa b000L0aa an 1( 1)n 1b bn 1an( 1) n 1 bn练习：（ 11-12 年期中考试题 ）xy0000xy0000x00D n00

8、0xyy000x4. 行（列）和相等的行列式例 5abLbD nbaLbM MMMbbLa分析 ：该行列式的特点是主对角线上元素为a ，其余位置上都是b 。 可将第. 学习帮手 .专业整理 .2,3，n 列加到第 1 列上 。（ 类似题型 ：教材 P12 例 8，P27 8(2) ）解：1bLb1bLbDn1aLb1a bL0 a ( n 1)bM M a ( n 1)bMMMM MM1bLa10La b a(n 1)b( a b)n 15. 箭头形（爪行）行列式例 6011L1120L0D 103L0LL100Ln分析：该类行列式特点是第一行、第一列及主对角上元素不为0，其余位置都为 0.解

9、此类行列式方法 ，是将行列式化成上三角行列式。解：分别从第 2,3,n 列提出因子 2,3，n ，然后将第 2,3,n 列分别乘以 -1 ，再加到第 1 列上 。011L1n111L1i23n123Lni2L11000100nD n! 101L0n!001L0n! i 2(i )LLLL100L1000L1注：爪形行列式非常重要 ，很多看似复杂的行列式通过简单变化以后都可以化成爪形行列式进行计算 ！练习：1) 教材习题 P28: 8(6)2) （11-12 年期末考试题 ）. 学习帮手 .专业整理 .a23L(n 1)n2a0L0030aL00AnLLn 100La0n00L0a3)（11-1

10、2 年 IT 期末考试题 ）xa1a 2a n 1a nx1000x0200D n 1x00n 10x000n例 7x1a2a3Lana1x2a3LanD a1a2x3LanLLa1a2a3Lxn分析：该类行列式特点是每一行只有主对角线上的元素与第一个元素不同。解：. 学习帮手 .专业整理 .x1a2a3Lana1x1x2 a20L0D a1x10x3 a3L0LLa1x100Lxn anx1a2a3Lanx1a1x2a2xn anx3 a3( x1a1) ( x2a2 ) L ( xnan )110L0101L0MMMMM100L1naia2an1Li 1 xiaix2a2anxn( x1a

11、1) ( x2a2 ) L( xnan )01L0MMMM00L1nnai( xi ai )1i 1 xiaii 16. 递推法或数学归纳法该方法用于行列式结构具有一定的对称性，教材 P15 例 11 就是递推法的经典例题 。利用同样的方法可以计算教材P27 8(4) 。7. 升阶法通常计算行列式都采用降阶的方法，是行列式从高阶降到低阶，但是对于某些行列式，可以通过加上一行或一列使得行列式变成特殊行列式，再进行计算 。例 8 （教材 P28 8(6)）1+a11L111+a2L1Dn =MM, (ai 0)MM11L1+an分析：该题有很多解法 ，这里重点介绍升阶法。因为行列式中有很多1，因此

12、可以增加一行1，使得行列式变成比较特殊或者好处理的行列式。注意：行列. 学习帮手 .专业整理 .式是方形的 ，因此在增加一行以后还要增加一列，以保持行列式的形状。为了使行列式的值不改变 ，因此增加的列为 1,0,0,0.111L1111L101+a11L1-1a10L0nD定理 311+aL1ri -r10aL0 =a a .a (1+1 )n= 0= -1221 2ni =1aiMMMMMMMMMM011L1+an-100Lan例 9 （教材 P27 6(4)）1111abcdD=b2c2d 2a2a4b4c4d 4分析：此行列式可以应用性质6 将行列式化为上三角行列式，也可以对比范德蒙行列

13、式的形式 ，通过添加一行和一列把行列式变成范德蒙行列式以后再进行计算。解法一：ra2 r1111430b ac ad ar3 ar2D0b(ba)c(ca)d (da)r2ar10 b2 (b2a2 ) c2 (c2a2 ) d 2 (d 2a2 )按第一111=(ba)( ca)( da)bcd列展开b2 (bc2 (c a)d 2 (da)a)c2c1100c3(ba)(ca)(da)bcbd bc1b2 (b a) c2 ( c a) b2 (b a) d 2 (d a) b2 (b a)按第一cbd b(ba)( ca)( da)行展开2222c (c a) b (b a) d (d a) b (b a)(ab)(ac)(ad)(bc)(bd )(c d )(ab cd )解法二：. 学习帮手 .专业整理 .11111abcdxD5a2b2c2d2x2a3b3c3d3x3a4b4c4d4x4( xa)( xb)( xc)( xd )(b a)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c)x3 的系数是D ，因此 D 等于 x3 的系数的相反数 ，由此可计算得到结果 。. 学习帮手 .