圆里的截长补短ppt课件

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1、圆里的截长补短天津石化一中 曹诚 2003.09标题：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.ABCM分析：把知条件及可得结论标在图上：606060 60BAC=60，。.标题：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.ABCM分析：把知条件及可得结论标在图上：606060 60BAC=60，。.把能表示的60角用圆弧表示：标题：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.ABCM分析：把知条件及可得结论标在图上：6060 60BAC=60，。.把能表示的60角用圆弧表示：标题：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求

2、证：MA=MB+MC.ABCM分析：把知条件及可得结论标在图上：60 60BAC=60，。.把能表示的60角用圆弧表示：标题：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.ABCM分析：把知条件及可得结论标在图上：BAC=60，。.把能表示的60角用圆弧表示：60标题：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.ABCM分析：把知条件及可得结论标在图上：BAC=60，。.把能表示的60角用圆弧表示：标题：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.ABCMBAC=60，。.分析1：补短法延伸BM到N，使MN=CM，NCMN=BAC

3、=60，连结CN.MA=NB，MA？NB？MAC NBC，AC=BC，MAC=NBC，AMC=BNC，AMC=60，BNC=60，CMN是等边三角形，CMN是等边三角形，标题：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.ABCM。.证法1：延伸BM到N，使MN=CM，N连结CN.MA=NB，MAC NBC，AC=BC，MA=MB+MC.AB=BC=CA，BAC=ABC=60.CMN=BAC=60，CMN是等边三角形，BNC=60.AMC=ABC=60，AMC=BNC.MAC=NBC，标题：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.ABCMBAC=6

4、0，。.分析2：补短法延伸MB到S，使BS=MC，SACM=ABS，连结AS.MA=MS，MA？SA？AC=AB，ABS=ACM，MC=SB，MAC SAB，AMB=60，MA=MS=AS，MA=AS，ABCM。.证法2：延伸MB到S，使BS=MC，S连结AS.AC=AB=BC，那么ABS=ACM.MAC SAB，AMB=ACB=60，MA=MS=AS，MA=SA.MA=MB+MC.标题：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.ACB=60，标题：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.ABCM。.分析3：补短法延伸MC到T，使CT=BM，T

5、ABM=ACT，连结AT.MA=MT，MA？TA？AB=AC，ACT=ABM，BM=CT，MAB TAC，AMC=60，MA=MT=AT，MA=AT，ABCM。.证法3：延伸MC到T，使CT=BM，T连结AT.那么ACT=ABM，AC=AB=BC，MAB TAC，AMC=ABC=60，MA=MT=AT，MA=TA.MA=MB+MC.标题：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.ABC=60，标题：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.ABCM。.分析4：补短法延伸CM到F，使MF=BM，FABM=CBF，连结BF.MA=FC，MA？FC？A

6、B=CB，BM=BF，MAB FCB，BAC=60，BMF=BAC=60，BFM是等边三角形，BFM是等边三角形，ABCM。.证法4：延伸CM到F，使MF=BM，FFMB=FBM=60，连结BF，MA=FC，AB=AC=CB，BAC=ABC=60.BM=BF，MAB FCB，那么BMF=BAC=60，那么BFM是等边三角形，ABM=CBF，MA=MB+MC.标题：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.标题：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.ABCM。分析5：截长法在AM上截取AE=MC，EBCM=BAM，连结BE.ME=MB，MB？E

7、B？BC=BA，CM=AE，MBC EBA，AMB=60，ME=MB=BE，MB=EB，ABCM。证法5：在AM上截取AE=MC，EBCM=BAE，CM=AE，ME=MB；BC=BA=AC，ACB=60.MBC EBA，AMB=ACB=60，ME=MB=BE，MA=ME+AE=MB+MC.连结BE.标题：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.标题：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.ABCM分析6：截长法在MA上截取MK=MC，KKAC=MBC，连结KC.AK=MB，AK？BM？AC=BC，AKC=BMC，AKC BMC，KCM是等边三

8、角形，BMC=120，.AKC=120，KCM是等边三角形.ABCM证法6：在MA上截取MK=MC，KKAC=MBC，连结KC.AK=MB，AC=BC=AB，ABC=ACB=60，AMC=ABC=60，AMB=ACB=60，BMC=120，AKC BMC，KCM是等边三角形，.AKC=120=BMC，MA=AK+MK=MB+MC.标题：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.标题：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.ABCM分析7：截长法在AM上截取AD=MB，DMBC=DAC，连结DC.MD=MC，MC？DC？CB=CA，BM=AD，M

9、CB DCA，DMC=60，.MD=MC=DC，MC=DC，ABCM证法7：在AM上截取AD=MB，DMBC=DAC，连结DC.CB=CA=AB，ABC=60.BM=AD，MCB DCA，DMC=ABC=60，.MD=MC=DC，MC=DC.MA=AD+MD=MB+MC.标题：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.标题：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.ABCM。分析8：截长法在MA上截取MH=MB，HBAH=BCM，连结BH.AH=MC，AH？CM？AB=CB，ABH=CBM，AHB CMB，ABC=60，HBM=60，HBM是等边

10、三角形.HBM是等边三角形.ABCM。证法8：在MA上截取MH=MB，HBAH=BCM，AHB CMB，AH=MC，连结BH.AB=CB=BC，ACB=ABC=60.AMB=ACB=60，HBM是等边三角形，HBM=60=ABC，ABH=CBM.MA=MH+AH=MB+MC.标题：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.“截长补短是初中平面几何中化难为易的一种常用解题思想。此题是一道典型例题。这里表现 8 种证法，是要阐明实践解题时怎样补、怎样截。在作好辅助线后要及时看到所产生的辅助条件，结合知条件打通思绪。此题的其它证法附于后面。ABCM证法9：BC=AC=AB，由托勒密定理得BCMA=ACMB+ABMC.MA=MB+MC.标题：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.ABCM。证法10：记MA交BC于点P.AMC=AMB.BCM=BAM，MCP MAB，MA=MB+MC.标题：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.P =；MC CPMA AB同理，=.MB BPMA AC +=+=1，MB MC BP CPMA MA AC ABAC=AB，AC(=AB，BC=AC=AB，.