寒假总动员高二数学寒假作业专题17直接证明与间接证明学

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1、专题17 直接证明与间接证明学一学-基础知识结论1.综合法证明（1）综合法的的定义一般地，从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.（2）综合法的的基本思路：执因索果综合法又叫“顺推证法”或“由因导果法”.它是由已知走向求证，即从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后导出待证结论或需求的问题综合法这种由因导果的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法（3）综合法的思维框图：用表示已知条件，为定义、定理、公理等，表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：（已知） （逐步推导结论成立的必要条件） （

2、结论）温馨提醒：（1）从“已知”看“可知”，逐步推出“未知”，由因导果，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件；（2）用综合法证明不等式，证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹；（3）因用综合法证明命题“若A则D”的思考过程可表示为： （4）综合法证明不等式时常用的不等式（1）a2+b22ab（当且仅当a=b时取“=”号）；（2）（a，bR*，当且仅当a=b时取“=”号）；（3）a20，|a|0，(ab)20；（4）（a，b同号）；（a，b异号）；（5）a，bR，（6）不等式的性质定理1 对称性：abba。定理2 传递性：。定理3 加法性质：。推论 。定理4

3、乘法性质：。推论1 。推论2 。定理5 开方性质：。2.分析法证明（1）分析法的定义一般地，从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，逐步寻找使命题成立的充分条件，直至所寻求的充分条件显然成立（已知条件、定理、定义、公理等），或由已知证明成立，从而确定所证的命题成立的一种证明方法，叫做分析法.（2）分析法的基本思路：执果索因分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”.它是从要证明的结论出发，分析使之成立的条件，即寻求使每一步成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.分析法这种执果索因的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理

4、方法。（3）分析法的思维框图用表示已知条件和已有的定义、公理、公式、定理等，所要证明的结论，则用分析法证明可用框图表示为：（结论） （逐步寻找使结论成立的充分条件） （已知）（4）分析法的格式要证，只需证，只需证，因为成立，所以原不等式得证。温馨提醒：（1）分析法是综合法的逆过程，即从“未知”看“需知”，执果索因，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是寻找它的充分条件（2）由于分析法是逆推证明，故在利用分析法证明时应注意逻辑性与规范性，即分析法有独特的表述3综合法与分析法的横向联系（1） 综合法是把整个不等式看做一个整体，通过对欲证不等式的分析、观察，选择恰当不等式作为证题的出发点，其难点在于

5、到底从哪个不等式出发合适，这就要求我们不仅要熟悉、正确运用作为定理性质的不等式，还要注意这些不等式进行恰当变形后的利用分析法的优点是利于思考，因为它方向明确，思路自然，易于掌握，而综合法的优点是宜于表述，条理清晰，形式简洁我们在证明不等式时，常用分析法寻找解题思路，即从结论出发，逐步缩小范围，进而确定我们所需要的“因”，再用综合法有条理地表述证题过程分析法一般用于综合法难以实施的时候（2） 有些不等式的证明，需要把综合法和分析法联合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P若由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立，这种边分析边综合的证明

6、方法，称之为分析综合法，或称“两头挤法”分析综合法充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系，分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点 命题“若P则Q”的推演过程可表示为： 4.反证法证题间接证明不是从正面确定命题的真实性，而是证明它的反面为假，或改证它的等价命题为真，间接地达到目的，反证法是间接证明的一种基本方法（1）反证法定义一般地，首先假设要证明的命题结论不正确，即结论的反面成立，然后利用公理，已知的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件或公理、定理、定义及明显成立的事实等矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而证明了原命题成立，这样的证

7、明方法叫做反证法.（2）反证法的基本思路：假设矛盾肯定” 分清命题的条件和结论 做出与命题结论相矛盾的假设 由假设出发，结合已知条件，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明原命题为真（3）反证法的格式：用反证法证明命题“若p则q”时，它的全部过程和逻辑根据可以表示如下： 温馨提醒：（1）反证法是间接证明的一种基本方法.它是先假设要证的命题不成立，即结论的反面成立，在已知条件和“假设”这个新条件下，通过逻辑推理，得出与定义、公理、定理、已知条件、临时假设等相矛盾的结论，从而判定结论的反面不能成立，即证明了命题的结论一定是正

8、确的.(2) 反证法的优点：对原结论否定的假定的提出，相当于增加了一个已知条件.（4）反证法的一般步骤： （1）反设：假设所要证明的结论不成立，假设结论的反面成立； （2）归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾与已知条件、已知的公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾；（3）结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立 温馨提醒：（1）结论的反面即结论的否定，要特别注意：“都是”的反面为“不都是”，即“至少有一个不是”，不是“都不是”；“都有”的反面为“不都有”，即“至少有一个没有”，不是“都没有”；“都不是”的反面是“部分是或

9、全部是”，即“至少有一个是”，不是“都是”；“都没有”的反面为“部分有或全部有”，即“至少有一个有”，不是“都有”（2）归谬的主要类型： 与已知条件矛盾； 与假设矛盾（自相矛盾）；与定义、定理、公理、事实矛盾学一学-方法规律技巧间接证明(反证法)反证法体现出正难则反的思维策略（补集的思想）和以退为进的思维策略，故在解决某些正面思考难度较大和探索型命题时，有独特的效果常用的有这样几方面： 要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；比如“存在性问题、唯一性问题”等； 如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形.比如带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的数学问题. 例1、已知f(x)ax(a1)(1) 证明f(x)在(1，)上为增函数；(2) 用反证法证明方程f(x)0没有负数根【答案】详见解析【解析】 (1) 设1x1x2，则x2x10，ax2x11，ax10，x110，x210，从而f(x2)f(x1)ax2ax1ax1(ax2x11)0，所以f(x)在(1，)上为增函数(2) 设存在x00(x01)使f(x0)0，则ax0.由0ax0101，即x02，此与x00矛盾，故x0不存在 希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！