全国硕士研究生入学考试数学二

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1、2006年全国硕士研究生入学考试数学（二）一、填空题（1）曲线的水平渐近线方程为 .（2）设函数在处连续，则 .（3）广义积分 .（4）微分方程的通解是 .（5）设函数由方程确定，则= .（6）设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则= .二、选择题（7）设函数具有二阶导数，且，为自变量在处的增量，与分别为在点处对应的增量与微分，若，则（A）（B）（C）（D） 【 】（8）设是奇函数，除外处处连续，是其第一类间断点，则是（A）连续的奇函数.（B）连续的偶函数（C）在间断的奇函数（D）在间断的偶函数. 【 】（9）设函数可微，则等于（A）.（B）（C）（D） 【 】（10）函数满足一个微分方程是（A

2、）（B）（C）（D）（11）设为连续函数，则等于（A）（B）（C）（D） 【 】（12）设与均为可微函数，且. 已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是（A）若，则.（B）若，则.（C）若，则.（D）若，则.【 】（13）设均为维列向量，是矩阵，下列选项正确的是（A）若线性相关，则线性相关.（B）若线性相关，则线性无关.（C）若线性无关，则线性相关.（D）若线性无关，则线性无关. 【 】（14）设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的-1倍加到第2列得，记，则（A）（B）（C）（D） 三 解答题15试确定A，B，C的常数值，使得，其中是当。16171819 20 设函数满足

3、等式()验证.()若.21 已知曲线的方程为（）讨论的凹凸性；（）过点（-1，0）引的切线，求切点，并写出切线的方程；（）求此切线与（对应于的部分）及轴所围成的平面图形的面积。22 已知非齐次线性方程组证明方程组系数矩阵A的秩求的值及方程组的通解23 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量是线性方程组A=0的两个解, ()求A的特征值与特征向量 ()求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得.题解 高数一、填空题（1）曲线的水平渐近线方程为（2）设函数 在x=0处连续，则a=（3）广义积分（4）微分方程的通解是（5）设函数确定，则 当x=0时，y=1， 又把方程每一项对x求导， 二、选择题（7）设函

4、数具有二阶导数，且为自变量x在点x0处的增量，则A（A）（B）（C）（D）由严格单调增加 是凹的即知（8）设是奇函数，除外处处连续，是其第一类间断点，则是B（A）连续的奇函数（B）连续的偶函数（C）在x=0间断的奇函数（D）在x=0间断的偶函数（9）设函数则g(1)等于C（A）（B）（C）（D） ，（10）函数满足的一个微分方程是D（A）（B）（C）（D） 特征根为1和-2，故特征方程为（11）设为连续函数，则等于C（A）（B）（C）（D）（12）设均为可微函数，且在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是D（A）若（B）若（C）若（D）若 今 代入(1) 得 今 故选D三、解答题（15）试确

5、定A，B，C的常数值，使其中是当.解：泰勒公式代入已知等式得整理得比较两边同次幂函数得B+1=AC+B+=0式-得代入得代入得（16）求解：原式=（17）设区域计算二重积分解：用极坐标系（18）设数列满足，证明：（1）存在，并求极限 （2）计算证：（1）单调减少有下界根据准则1，存在在两边取极限得因此（2）原式 离散散不能直接用洛必达法则先考虑 用洛必达法则（19）证明：当时，证：令只需证明单调增加（严格） 单调减少（严格）又故单调增加（严格）得证（20）设函数内具有二阶导数，且满足等式（I）验证（II）若 求函数证：（I）（II）令（21）已知曲线L的方程（I）讨论L的凹凸性（II）过点引L

6、的切线，求切点，并写出切线的方程（III）求此切线与L（对应部分）及x轴所围的平面图形的面积解：（I）（II）切线方程为，设，则得点为（2，3），切线方程为（III）设L的方程则由于（2，3）在L上，由线代(6) 设A= 2 1 ,2阶矩阵B 满足BA=B +2E,则|B|= . -1 2解:由BA=B +2E化得B(A-E)=2E,两边取行列式,得 |B|A-E|=|2E|=4,计算出|A-E|=2,因此|B|=2.(13)设a1,a2,as 都是n维向量，A是mn矩阵，则（ ）成立.(A) 若a1,a2,as线性相关,则Aa1,Aa2,Aas线性相关.(B) 若a1,a2,as线性相关,则

7、Aa1,Aa2,Aas线性无关.(C) 若a1,a2,as线性无关,则Aa1,Aa2,Aas线性相关.(D) 若a1,a2,as线性无关,则Aa1,Aa2,Aas线性无关.解: (A)本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解.若a1,a2,as线性相关,则存在不全为0的数c1,c2,cs使得 c1a1+c2a2+csas=0,用A左乘等式两边,得c1Aa1+c2Aa2+csAas=0,于是Aa1,Aa2,Aas线性相关.如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是:1. a1,a2,as 线性无关 r(a1,a2,as )=s.2. r(AB) r(B).矩阵(Aa1,Aa2

8、,Aas)=A( a1, a2,as ),因此r(Aa1,Aa2,Aas) r(a1, a2,as ).由此马上可判断答案应该为(A).(14)设A是3阶矩阵,将A的第2列加到第1列上得B,将B的第1列的-1倍加到第2列上得C.记 1 1 0 P= 0 1 0 ,则 0 0 1(A) C=P-1AP. (B) C=PAP-1. (C) C=PTAP. (D) C=PAPT. 解: (B)用初等矩阵在乘法中的作用得出B=PA , 1 -1 0C=B 0 1 0 =BP-1= PAP-1. 0 0 1(22)已知非齐次线性方程组 x1+x2+x3+x4=-1, 4x1+3x2+5x3-x4=-1，

9、 ax1+x2+3x3+bx4=1 有3个线性无关的解. 证明此方程组的系数矩阵A的秩为2. 求a,b的值和方程组的通解. 解: 设a1,a2,a3是方程组的3个线性无关的解,则a2-a1,a3-a1是AX=0的两个线性无关的解.于是AX=0的基础解系中解的个数不少于2,即4-r(A)2,从而r(A)2.又因为A的行向量是两两线性无关的,所以r(A)2.两个不等式说明r(A)=2. 对方程组的增广矩阵作初等行变换: 1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1(A|b)= 4 3 5 -1 -1 0 1 1 5 3 , a 1 3 b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a 由r(A)=2

10、,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换: 1 0 2 -4 2 0 1 -1 5 -3 . 0 0 0 0 0得同解方程组 x1=2-2x3+4x4， x2=-3+x3-5x4，求出一个特解(2,-3,0,0)T和AX=0的基础解系(-2,1,1,0)T,(4,-5,0,1) T.得到方程组的通解: (2,-3,0,0)T+c1(-2,1,1,0)T+c2(4,-5,0,1)T, c1,c2任意.(23) 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3,向量a1=(-1,2,-1)T, a2=(0,-1,1)T都是齐次线性方程组AX=0的解. 求A的特征值和特征向量. 求作正交矩阵Q和对角矩阵L,使得 Q TAQ=L. 解: 条件说明A(1,1,1)T=(3,3,3)T,即 a0=(1,1,1)T是A的特征向量,特征值为3.又a1,a2都是AX=0的解说明它们也都是A的特征向量,特征值为0.由于a1,a2线性无关, 特征值0的重数大于1.于是A的特征值为3,0,0.属于3的特征向量:ca0, c0.属于0的特征向量:c1a1+c2a2, c1,c2不都为0. 将a0单位化,得h0=(,)T.对a1,a2作施密特正交化,的h1=(0,-,)T, h2=(-,)T.作Q=(h0,h1,h2),则Q是正交矩阵,并且 3 0 0 Q TAQ=Q-1AQ= 0 0 0 . 0 0 0