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1、云南省陆良县2020届高三数学上学期第二次适应性考试试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1. 若集合，则A. B. C. D. 或2. 已知a为实数，若复数为纯虚数，则 A. B. C. D. 23. 的值等于A. B. C. D. 4. 若，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D. 5. 在半径为2的圆形纸板中间，有一个边长为2的正方形孔，现向纸板中随机投飞针，则飞针能从正方形孔中穿过的概率为A. B. C. D. 6. 宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分
2、别为5，2，则输出的A. 5B. 4C. 3D. 27. 的展开式中，含的项的系数是A. B. C. 25D. 558. 函数的图象大致为A. B. C. D. 9. 等差数列的首项为2，公差不等于0，且，则数列的前2020项和为 A. B. C. D. 10. 已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为6，那么该双曲线的离心率为A. 2B. C. D. 11. 已知如图所示的三棱锥的四个顶点均在球O的球面上，和所在的平面互相垂直，则球O的体积为A. B. C. D. 12. 已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. 二、填空题
3、（本大题共4小题）13. 已知x，y满足不等式组，则的最小值为_14. 曲线在处的切线的倾斜角为_15. 各项均为正数的等比数列的前n项和为，已知，则_16. 已知点在圆C：和圆M：的公共弦上，则的最小值为_三、解答题（本大题共7小题）17. 已知，设求的解析式并求出它的周期T在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，求的面积18. 如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A，B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面， 证明：平面平面ACD；当C点为半圆的中点时，求二面角的余弦值19. 随着经济的发展，个人收入的提高，自2020年1月1日起，个人所得税起征点和税率作了调整调整如下：纳税
4、人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如表：个人所得税税率表调整前个人所得税税率表调整后免征额3500元免征额5000元级数全月应纳税所得额税率级数全月应纳税所得额税率1不超过1500元部分31不超过3000元部分32超过1500元至4500元的部分102超过3000元至12000元的部分103超过4500元至9000元的部分203超过12000元至25000元的部分20假如小明某月的工资、薪金等税前收入为7500元，请你帮小明算一下调整后小明的实际收入比调整前增加了多少？某税务部门在小明所在公司利用分层抽样方法抽取某月
5、100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：收入元人数403010875先从收入在及的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选3人作为新纳税法知识宣讲员，用随机变量X表示抽到作为宣讲员的收入在元的人数，求X的分布列与数学期望20. 已知椭圆的离心率，一个长轴顶点在直线上，若直线l与椭圆交于P，Q两点，O为坐标原点，直线OP的斜率为，直线OQ的斜率为求该椭圆的方程；若，试问的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由21. 已知函数当时，求函数的单调区间；当时，证明：其中e为自然对数的底数22. 已知过点的直线l的参数方程是为参数，以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极
6、轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；若直线l与曲线C交于A，B两点，试问是否存在实数a，使得？若存在，求出实数a的值；若不存在，说明理由23. 已知，函数当时，求不等式的解集；若的最小值为3，求的值，并求的最小值答案和解析1.【答案】A【解析】解：，故选：A可以求出集合B，然后进行交集的运算即可本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题2.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查复数的运算以及复数的概念，根据复数是纯虚数建立条件关系是解决本题的关键，属于基础题根据复数的运算法则进行化简，结合复数是纯虚数，进行求
7、解即可【解答】解：，复数是纯虚数，且，得且，即，故选：A3.【答案】B【解析】解：，故选：B由题意利用二倍角公式，求得要求式子的值本题主要考查二倍角公式的应用，属于基础题4.【答案】B【解析】解：，b，c的大小关系为故选：B利用指数函数、对数函数的单调性能求出a，b，c的大小关系本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题5.【答案】D【解析】解：利用面积型几何概型公式可得，圆形铜片的面积，中间方孔的面积为，油滴正好落入孔中的概率为正方形的面积与圆的面积的比值，即油滴正好落入孔中的概率为故选：D利用题意将原问题转化为面积比
8、值的问题，据此整理计算即可求得最终结果本题考查几何概型及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于基础题6.【答案】B【解析】解：当时，满足进行循环的条件，当时，满足进行循环的条件，当时，满足进行循环的条件，当时，不满足进行循环的条件，故输出的n值为4，故选：B由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答7.【答案】B【解析】解：二项式的展开式中，通项公式为，令，解得，此时为；令，解得，此时；所以展开式中含的项的系数是
9、故选：B根据二项式展开式的通项公式求出展开式中的常数项和含项，再求结果即可本题考查了二项式展开式通项公式的应用问题，是基础题8.【答案】C【解析】【分析】本题考查了函数图形的识别，关键掌握函数的奇偶性，和函数值，属于基础题先判断函数奇函数，再求出即可判断【解答】解：，则函数为奇函数，故排除AD，当时，故排除B，故选：C9.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查等差数列的通项公式、以及裂项相消法求数列的和，熟记公式即可，属于常考题型先设等差数列的公差为d，根据题中条件求出公差，得到再由裂项相消法即可求出结果【解答】解：设等差数列的公差为d，由，可得，所以，因此，所以，所以数列的前2020项和为：
10、故选：B10.【答案】A【解析】解：由抛物线，可得，则，故其准线方程为，抛物线的准线过双曲线的左焦点，抛物线的准线被双曲线截得的线段长为6，又，则双曲线的离心率为故选：A先求出双曲线的焦点坐标，再利用抛物线的准线被双曲线截得的线段长为6，可得，借助于，求出a，即可求出双曲线的离心率本题考查双曲线与抛物线的简单性质，考查计算能力是中档题11.【答案】C【解析】解：，的外接圆的半径为，和所在平面相互垂直，球心在BC边的高上，设球心到平面ABC的距离为h，则，球O体积为故选：C证明，可得的外接圆的半径为，利用和所在平面相互垂直，球心在BC边的高上，设球心到平面ABC的距离为h，则，求出球的半径，即可
11、求出球O的体积本题考查球O的体积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键12.【答案】A【解析】【分析】本题考查根的存在性及根的个数判断，将函数有3个零点转化为与有三个交点是关键，考查等价转化思想与数形结合思想的综合运用，属于中档题将函数有3个零点转化为与有三个交点，在同一坐标系中作出两函数的图象，即可求得实数a的取值范围【解答】解：，函数有3个零点方程有3个根与有三个交点，由得：当时，函数取得极大值；，在同一坐标系中作出两函数的图象如下：由图可知，当时，与有三个交点，即函数有3个零点故选A13.【答案】2【解析】解：，的几何意义为动点到原点距离的平方作出x，y满足不等式组对应的平面区域如图：
12、由图可知：原点到直线的距离最小由点到直线距离公式得，的最小值为故答案为：2由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内动点到原点距离的平方，结合点到直线的距离公式求解本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题14.【答案】【解析】解：的导数为，可得曲线在处的切线的斜率为，由，可得，故答案为：求得函数y的导数，可得切线的斜率，由直线的斜率公式，可得倾斜角本题考查导数的几何意义，考查直线的斜率公式的运用，运算能力，属于基础题15.【答案】150【解析】解：依题意，数列是各项均为正数的等比数列，所以，也成等比数列，因为，所以，所以故答案为：150数列是各项均为正数的等比数列，
13、所以，也成等比数列，又因为，所以，故本题考查了等比数列的性质，等比数列的前n项和，属于基础题16.【答案】16【解析】解：根据题意，圆C：和圆M：，联立，变形可得：，即两圆公共弦所在直线的方程为，若点在圆C和圆M的公共弦上，则有，即，则，又由，则，当且仅当时等号成立，故，即的最小值为16；故答案为：16根据题意，联立两个圆的方程，变形可得两圆公共弦的方程，即可得，据此可得，结合基本不等式的性质分析可得答案本题考查直线与圆的位置关系，涉及基本不等式的性质以及应用，属于基础题17.【答案】解：由，则，即函数的周期，故，周期为因为，所以，所以，又，所以，所以，又，由余弦定理得：，所以，所以，即，故答
14、案为：【解析】平面向量数量积的运算得：，即函数的周期，由余弦定理及三角形面积公式得：因为，所以，又，由余弦定理得：所以，即，得解本题考查了平面向量数量积的运算、余弦定理及三角形面积公式，属中档题18.【答案】证明：是圆O的直径，平面ABC，平面ABC，又，平面ACD，四边形DCBE是平行四边形，平面ACD，又平面ADE，平面平面ADE当C点为半圆的中点时，以C为原点，以CA，CB，CD为坐标轴建立空间坐标系如图所示：则0，0，0，0，设平面DAE的法向量为，平面ABE的法向量为，则，即，令得0，令得1，二面角是钝二面角，二面角的余弦值为【解析】由，得平面ACD，证明四边形DCBE是平行四边形得
15、，故而平面ACD，于是平面平面ACD；建立空间坐标系，求出两半平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小本题考查了面面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题19.【答案】解：按调整起征点前应纳税为：；按调整起征点后应纳税为：；所以小明实际收入增加了220元；由频数分布表可知抽取的7人中占4人，中占3人，X的取值可能值0，1，2，3；所以X的分布列为：X0123P；【解析】分别计算小明调整前后的税收，实际收入比调整前增加的为税收减少的部分由频数分布表可知抽取的7人中占4人，中占3人，X的取值可能值0，1，2，3；列出分布列，利用期望定义公式计算即可本题考查了税收的计算，离散型随机变量
16、的期望的计算和定义，属于基础题20.【答案】解：因为直线与x轴的交点坐标为，所以，则由得，所以，所以椭圆的方程为：；设，当直线PQ的斜率存在时，设其方程为，联立，整理得，则，解得，则，所以，又点O到直线的距离，所以，又因为，所以，所以，当直线PQ的斜率不存在时，故的面积是定值1【解析】根据条件可得，由离心率得c，进而求出b；分别算出PQ斜率存在与不存在时的面积本题考查直线与椭圆的综合，涉及直线与椭圆形成的三角形面积表示，属于中档题21.【答案】解：由题意可知，函数的定义域为，当时，恒成立，故的单调递增区间为，当时，在区间，时， 0/，在区间时，的单调递增区间为，单调递减区间为，当时，在区间，时
17、， 0/，在区间时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，由，只需证，令，设，则，当时，单调递减；当时， 0/，单调递增，当时，取得唯一的极小值，也是最小值，的最小值是成立，故成立【解析】利用导数，对a分情况讨论，分别求出函数的单调区间；当时，由，只需证，令，利用导数求出函数的最小值，再证出，故成立本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，是中档题22.【答案】解：由为参数，消t得直线l的普通方程为由，得，代入，得曲线C的直角坐标方程为；由于曲线C的直角坐标方程为，则圆心，圆心到直线l的距离，根据垂径定理可得，即，解得实数【解析】把直线参数方程中的参数t消去，可得直线的普通方程，由，得，
18、结合，可得曲线C的直角坐标方程；求出圆心坐标与半径，再求出圆心到直线l的距离，由垂径定理列式求得a值本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与圆位置关系的应用，是中档题23.【答案】解：当时，不等式即，化为当时，化为：，解得；当时，化为：，化为：，解得；当时，化为：，解得综上可得：不等式的解集为：；由绝对值三角不等式得，由柯西不等式得，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为3【解析】直接利用绝对值不等式的应用求出结果利用关系式的变换和柯西不等式的应用求出结果本题考查的知识要点：绝对值不等式的解法及应用，柯西不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型
云南省陆良县高三数学上学期第二次适应性考试试题理含解析通用
