专题5第2讲椭圆、双曲线、抛物线的基本问题

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1、第 2 讲椭圆、双曲线、抛物线的基本问题(建议用时： 60 分钟 )一、选择题24x的焦点到双曲线2y2()1抛物线 yx3 1 的渐近线的距离是13A.2B 2C 1D 3解析2的焦点，双曲线2y2的渐近线是，抛物线 y 4xx1yF(1,0)33x即 3xy 0，故所求距离为|30|332 122.选B.答案Bx2y2F(3,0)，过222(2013 新课标全国卷 )已知椭圆 E：a b 1(ab0)的右焦点为点 F 的直线交椭圆于 A，B 两点若 AB 的中点坐标为 (1， 1)，则 E 的方程为()x2y2x2y2A.45361B36271x2y2x2y2C.27181D189 1解析

2、直线 AB 的斜率 k011，31222x1y11122)，所以a2b2122设 A(x， y )， B(x ，yx2y2a2b21，y y2x x222bb112.又 x1x22，y1y2 2，所以 k得22，x1x2ay1 y2a 2b21所以 a22，又 a2 b2c29，22x2y2由得 a 18，b 9.故椭圆 E 的方程为 1891.答案 Dx2y224x3已知双曲线 a2b2 1(a0，b0)的一个焦点与抛物线y的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为()24 2x2y2A 5x5y1B541y2x225 2C.5 4 1D5x4y1解析由于抛物线 y24x的焦点为

3、，即，又 c5，可得aF(1,0)c1ea522224 5 ，结合条件有 abc 1，可得 b 5，又焦点在 x 轴上，则所求的2 5 2双曲线的方程为 5x 4y 1.答案D2x2y24(2014 湖州一模 )已知抛物线y4px(p 0)与双曲线 a2b21(a0， b0)有相同的焦点 F，点 A 是两曲线的交点，且 AFx 轴，则双曲线的离心率为()5 1B 21A.2C 31D2 212解析依题意，得 F(p,0)，因为 AFx 轴，设 A(p，y)，y0，y24p2，所以 yp24p2c22p.所以 A(p,2p)又点 A 在双曲线上，所以 a2 b2 1.又因为 cp，所以 a24c

4、242 24c 4c 22 22 1，化简，得 c 6a c a 0，即 a6 a 10.所以 e 3c a2 2，e21.答案B已知双曲线C 与椭圆x2 y2 1 有共同的焦点 F，F，且离心率互为倒数 若516 1212双曲线右支上一点 P 到右焦点 F2 的距离为 4，则 PF2 的中点 M 到坐标原点O 的距离等于()A 3B4C 2D1解析由椭圆的标准方程， 可得椭圆的半焦距 c16 122，故椭圆的离心率 e121，则双曲线的离心率e2 1 2.因为椭圆和双曲线有共同的焦42e1x2y2点，所以双曲线的半焦距也为 c2.设双曲线 C 的方程为 a2b2 1(a0，b0)，c2222

5、2则有 a e2 21，b2 ca 2 1 3，所以双曲线的标准方程为2y212x3 1.因为点 P在双曲线的右支上， 则由双曲线的定义， 可得 |PF|PF |2a 2，又 |PF2| 4，所以 |PF1|6.因为坐标原点O 为 F1F2 的中点， M 为PF2 的中点1所以 |MO |2|PF1| 3.答案 Ax2y26(2014 重庆卷 )设 F1，F2 分别为双曲线 a2b21(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P，使得 |PF1 2 ，129|PF |3b|PF| |PF|4ab，则该双曲线的离心率为()45A.3B3C9D34解析不妨设 P 为双曲线右支上一点， |PF1

6、1，2 2 ，根据双曲线的| r|PF | r定义，得 r 1r 2 2a，1213b 2a23b 2a1293b2a 3b2a又 r r 3b，故 r2，r2.又 rr4ab，所以2 29b4ca2b2b 24 24ab，解得 a3(负值舍去 )，故 eaa2a 13 153，故选 B.答案B山东卷 抛物线1：y1 2的焦点与双曲线2：x22的右焦C2px (p0)3y 17 (2013)C点的连线交 C1 于第一象限的点 M .若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线，则 p()33A. 16B 82343C 3D 31 22p解析抛物线 C1： y2px的标准方程为 x 2

7、py，其焦点为 F 0，2；双曲x2231线 C2：3 y 1的右焦点 F 为(2,0)，其渐近线方程为 y 3 x.由 y px，1333 p所以 px 3，得 x 3 p，所以点 M 的坐标为3 p，6 .由点 F，F ，M 三4 3点共线可求 p 3 .答案二、填空题Dx2y28(2013 陕西卷 )双曲线 16 m1(m0)的离心率为54，则m 等于 _由题意得 c 16m，所以16m 5解析44，解得 m9.答案9x2y29(2014 辽宁卷 )已知椭圆 C：94 1，点 M 与 C 的焦点不重合，若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A，B，线段 MN 的中点在 C 上，则 |A

8、N|BN|_.x2y2解析椭圆 94 1 中， a3.如图，设 MN 的中点为 D，则 |DF 1| |DF 2| 2a6.D，F1，F2 分别为 MN，AM，BM 的中点，|BN| 2|DF 2|， |AN|2|DF 1|，|AN| |BN|2(|DF1|DF2 |)12.答案1210(2014 合肥二模 )设抛物线 y28x 的焦点为 F，准线为 l ，P 为抛物线上一点，PAl ，A 为垂足，如果 AF 的斜率为3，那么 |PF| _.解析抛物线的焦点为F(2,0)，准线为 x 2，因为 PA准线l，设 P(m，n)，则 A( 2，n)，因为 AF 的斜率为 3，所以n3，得 n4 3，

9、点22P 在抛物线上，所以8m(4 3)2 48，m 6.因此 P(6,43)，|PF|PA| |6(2)|8.答案 8x2y211(2013 福建卷 )椭圆 T：a2b2 1(ab0)的左、右焦点分别为F1， F2，焦距为 2c.若直线 y 3(xc)与椭圆 T 的一个交点 M 满足 MF1 F22MF 2F1，则该椭圆的离心率等于 _解析 直线 y 3(xc)过点 F1，且倾斜角为 60，所以MF 1F2 60，从而MF 2 F1 30，所以 MF 1MF 2，在 RtMF 1F2 中， |MF 1|c，|MF 2|3c，所2c2c以该椭圆的离心率e2ac3c 31.答案3112(2013

10、 江卷浙 )设 F 为抛物线 C：y2 4x 的焦点，过点 P(1,0)的直线 l 交抛物线 C 于 A， B 两点，点 Q 为线段 AB 的中点，若 |FQ| 2，则直线 l 的斜率等于 _解析设直线 l 的方程为 yk(x 1)，A(x1 ， 1，2 ， 2，Q(x0， 0y )B(x y )y )yk x1 ，由y24x，得： k2x2 (2k24)xk20，42k2则 x1 x2 k2 ，4y1y2k(x1 x22) k，2 k22故 x0 k2，y0k.由 x01 2 y0 0 22，22k222 2 k 4.得k2所以 k1.答案1三、解答题13已知过抛物线y22px(p0)的焦点

11、，斜率为 22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)两点，且 |AB|9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点， C 为抛物线上一点，若 OCOAOB，求 的值解 (1)直线 AB 的方程是 y2 2 x p2 ，与 y22px 联立，从而有 4x2 5pxp20，所以 x1 x25p4，5p由抛物线定义，得 |AB|x1x2p 4 p 9，所以 p 4，从而抛物线方程为y2 8x.(2)由于 p4,4x25pxp2 0 可简化为 x25x40，从而 x1 1，x2 4，y1 2 2，y2 4 2，即 A(1， 2 2)， B(4,4 2)；设 C(x3 ，y3

12、)，则 OC(x3， y3 )(1， 2 2)(4,4 2)(41,4 22 2)，又 y23 8x3，即2 2(2 1)28(41)，即(21)2 41，解得 0 或 2.14设抛物线 C：y2 4x，F 为 C 的焦点，过 F 的直线 l 与 C 相交于 A，B 两点(1)设 l 的斜率为 1，求 |AB|的大小；(2)求证： OAOB是一个定值(1)解由题意可知抛物线的焦点F 为(1,0)，准线方程为 x 1，直线 l 的方程为 yx1，设 A(x1， y1 )， B(x2，y2)，yx1，由 y24x得 x2 6x10，x1x2 6，由直线 l 过焦点，则 |AB| |AF|BF| x

13、1 x228.(2)证明设直线 l 的方程为 xky1，xky1，由 y24x得 y2 4ky 4 0. y1y2 4k，y1y2 4， (x1，y1，(x2，y2OA)OB)OAOBx1x2y1y2 (ky11)(ky2 1)y1y2 k2y1y2k(y1 y2)1y1y2 4k24k214 3.OAOB是一个定值x2y215在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆 C1：a2b21(ab0)的左焦点为 F1 (1,0)，且点 P(0，1)在 C1 上(1)求椭圆 C1 的方程；(2)设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2： y24x 相切，求直线 l 的方程解 (1)因为椭圆 C1 的左

14、焦点为 F1( 1,0)，所以 c1.x2y2将点 P(0,1)代入椭圆方程 a2b2 1，1得b21，即 b1.所以 a2b2c2 2.2所以椭圆 C1 的方程为 x2 y2 1.(2)由题意可知，直线 l 的斜率显然存在且不等于 0，设直线 l 的方程为 y kx m，2x2由 2y1，消去 y 并整理得 (12k2)x24kmx 2m220.ykxm因为直线 l 与椭圆 C1 相切，所以116k2m24(12k2)(2m22)0.整理，得 2k2 m210，y24x，由消 y，得ykxmk2x2(2km4)xm2 0.直线 l 与抛物线 C2 相切，2(2km4)24k2m2 0，整理，得 km1，k2或 k2联立、，得2，2 ，m2，m2，l 的方程为 y222 x2或 y2 x 2.