八年级数学几何复习一

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1、几何复习一一、知识索引 (一)勾股定理 1. 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 在RtABC中，C=90，A、B、C的对边分别为a、b、c，则c2=a2+b2，a2=c2-b2，b2=c2-a2，进而有，这些都是勾股定理的常见表达式和变形式. 2. 勾股定理的逆定理：如果一个三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形时，应先确定最大边，算出最长边的平方及另两边的平方和，如果最长边的平方与另两边的平方和相等，则此三角形为直角三角形. 其一般步骤是： (1)确定最大边； (2)算出最大边的平方与另两边的

2、平方和； (3)比较最大边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形. 到目前为止判定直角三角形的方法有：(1)证明三角形中有一个直角；(2)证明三角形中有两边互相垂直；(3)勾股定理的逆定理. 3. 互逆命题与互逆定理 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是正确的命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 每个命题都有逆命题，但并不是所有的定理都有逆定理. 勾股定理和它的逆定理是一对互逆定理，

3、勾股定理是用于证明或求直角三角形三边关系及线段的平方关系，而勾股定理的逆定理则用于判断三角形是否是直角三角形. 勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理. 4. 勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即满足a2+b2=c2的三个正整数a、b、c称为勾股数. 下面介绍一种寻找勾股数的方法：如果a是一个大于1的奇数b、c是两个连续自然数，且有a2=b+c，则a、b、c为一组勾股数，如3是奇数，4、5为两个连续自然数，且32=4+5则3、4、5为一组勾股数，如果a、b、c为一组勾股数，则na、nb、nc也是组勾股数，其中，n(n1)为自然数，即每

4、组勾股数的相同倍数也是勾股数， 5. 运用勾股定理及其逆定理可解决下列问题： (1)已知直角三角形的任意两边，求第三边的长； (2)证明线段的平方关系； (3)正数轴上作出表示的点； (4)解决实际问题. 在些实际问题中，如解决圆柱侧面两点间的距离问题、航海问题、折叠问题、梯子下滑问题等，常直接或间接运用勾股定理及其逆定理(二)四边形(请先填空) 1. _叫做平行四边形，平行四边形的对边相等，_相等，_互相平分，是_对称图形；若a表示平行四边形的一边长，h表示该边上的高，则S平行四边形=_.2. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形；_的四边形是平行四边形；一组对边_的四边形是平行四边形；两条

5、对角线_的四边形是平行四边形；两组对角_的四边形是平行四边形。3. _叫做三角形的中位线，它_于三角形的第三边，且等于第三边的_。4. 矩形的四个都是_；矩形的对角线_；矩形的对边_；它既是轴对称图形，又是_图形，若a表示矩形的长，b表示矩形的宽，则S矩形=_5. 有三个角是直角的_是矩形；有一个角是直角的_是矩形；对角线_的平行四边形是矩形。6. 菱形的四边_，对边_，邻角_，对角_，对角线_，且每一条对角线_一组对角；菱形既是轴对称图形，又是_图形，对称轴是_，对称中心是_，若a表示菱形的边长，h表示高，则S菱形=_，若a、a分别表示两条对角线的长，则S菱形=_.7. 有一组邻边相等的_是

6、菱形；对角线_的平行四边形是菱形；四条边都相等的_是菱形。8. 正方形的四条边_，对边_，邻边垂直，四个角都是_，对角线相等且_，每一条对角线平分一组_，若a表示正方形的边长，则S正方形=_.9. 有一个角是直角的_是正方形，有一组邻边相等的_是正方形。10. 直角三角形_等于斜边的一半。11. 一组对边平行，另一组对边_的四边形叫做梯形_的梯形叫做等腰梯形；有一个角是直角的梯形叫做_.12. _的两个角相等的梯形是等腰梯形；对角线_的梯形是等腰梯形。13. 梯形的中位线_于两底，且等于_的一半。14. 梯形的面积S梯形=_=_.15. 梯形中常见辅助线的作法：(1)平移一腰，如图1-；(2)

7、过顶点作高，如图1-；(3)平移对角线，如图1-；(4)延长两腰，如图1-；(5)过一腰中点，如图1-、；答案请大家对照教科书看一下二、典型例题与思路剖析 例1. 如图1，在四边形ABCD中，A=90，且AB=3，BC=12，CD=13，AD=4，求四边形ABCD的面积。分析：连结BD，由已知条件，易知BD=5，抓住数字特征“5、12、13”，联想勾股定理的逆定理，可得BCD是Rt，于是，求出RtABD与RtBCD的面积之和，即为四边形ABCD的面积。解：连结BD，A=90又52+122=132，即BD2+BC2=CD2BCD为Rt，其中CBD=90S四边形ABCD=SABD+SBCD=6+3

8、0=36例2. (实际应用)如图2，铁路上A、B两点相距25千米，C、D为两村庄，DA垂直AB于点A，CD垂直AB于点B，已知DA=15千米，CB=10千米，现要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米？分析：要求E站应建在A站多少千米处，若设AE=x千米，则BE=(25-x)千米，在RtDAE和RtCBE中，由勾股定理和已知条件可知DE=CE，构造出方程即可求解。解：设AE=x千米，则BE=(25-x)千米在RtDAE和RtCBE中，由勾股定理得：DE2=AE2+AD2，CE2=BE2+BC2又DE=CEAE2+AD2=BE2+BC2即x

9、2+152=(25-x)2+102解得x=10，即E站应建在距A站10千米处注意：利用勾股定理，构造方程求解是方程思想的体现，也是数形结合的常见题型，所以在进行有关Rt的计算时不妨考虑使用。例3. 如图3，ABCD中，AC、BD相交于O，下列结论不正确的个数是( )OA=OC；BAD=BCD；ACBD；BAD+ABC=180(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个分析：根据平行四边形的性质可知正确，只有当ABCD是菱形时才正确。故选(A)点评：本题主要考查了平行四边形的性质，应熟练掌握。与平行四边形的性质有关的问题这类问题主要有如下几种类型：(1)求边长、周长、面积；(2)求角的度数或角

10、与角之间的关系；(3)利用性质说理等。解题关键是：根据图形特点，利用平行四边形的性质及相关知识进行解答，有时可能要化为直角三角形问题来解决。例4. 如图4，在ABCD中，DAB=60，E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；(2)若去掉条件DAB=60，上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由。分析：(1)由平行四边形的判定方法可知，只需证EC=AF，即ED=BF即可；(2)是个探索性问题，可先猜测其成立，然后再证明或推翻。解：(1)因为DCAB故ADE=CBF=60所以AED、BFC均为等边三角形。又AD=BC，

11、故ED=FB，EC=AF又ECAF，故四边形AFCE是平行四边形(2)成立理由：由DCAB，DAB=DCB，AD=BC，ADE=CBF可证AEDCFB，则ED=FB故EC=FA，又ECAF故四边形AFCE是平行四边形。点评：解决与判定一个四边形是平行四边形的有关问题时，一般应根据已知条件和图形特征，思考可能要用到的判定方法，若已知条件中有边的平行或相等的关系，则可考虑前三种判定方法；若已知条件中涉及到对角或对角线，则可考虑后两种判定方法。与平行四边形的判定有关的问题这类问题主要有如下几种类型：(1)证明一个四边形是平行四边形；(2)先证四边形是平行四边形，再根据其性质解决有关问题；(3)与平行

12、四边形的判定有关的探索题等。例5. 如图5，矩形ABCD的对角线相交于O，AOD=120，AB=6cm，求对角线的长分析：由矩形的两条对角线互相平分且相等，得OA=OD，又AOD=120，故ADB=30，在RtABD中，运用30角所对直角边等于斜边的一半即可求BD之长。解：由矩形ABCD，得AC=BD又OA=OD，AOD=120，故ODA=30在RtABD中，BD=2AB=26=12(cm)点评：本题主要考查矩形性质的应用，熟练掌握矩形性质及直角三角形的有关知识是解题关键。与特殊平行四边形有关的问题这类问题主要有如下几种类型 ：(1)求边长、周长、对角线长及面积；(2)证明一个四边形是矩形或菱

13、形或正方形；(3)与特殊平行四边形有关的探索题等。解决特殊平行四边形的有关问题，除了要运用各自的概念、性质等知识外，往往还要灵活运用有关知识，如直角三角形、等腰直角三角形、等边三角形的有关知识。例6. 如图6，在梯形ABCD中，ADBC，AD=8，BC=17，C=70，B=55，求DC的长。分析：要求DC的长，可考虑将DC移到一个三角形内去解决，此三角形应与已知条件相联系，故可过点D作DEAB，再在DEC中求DC。解：过D作DEAB交BC于E，则DEC=B=55，故CDE=55，故DC=EC=BC-BE，又ADBC，ABDE，故BE=AD=8，又BC=17，故DC=17-8=9点评：过上底端点

14、作腰的平行线是梯形的一种常用辅助线的作法，通过这种方法将梯形分割成平行四边形和三角形，从而可利用平行四边形的性质将分散的线段相对集中。与梯形有关的问题这类问题主要有如下几种类型：(1)求腰长或面积；(2)求角的度数；(3)证明一个四边形是梯形或等腰梯形或直角梯形，其中以等腰形为重点。解决梯形问题的基本思路是：梯形问题三角形或平行四边形问题，这种思路常常通过平移或旋转来实现。三、易错点提示： 1. 使用勾股定理时要分清直角边和斜边例1. 在ABC中，已知B=90，A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=6，b=8，求c的长。错解：ABC为Rt剖析：由B=90和b是斜边，而非思维定势中的C=90，

15、因此我们一般先定直角，再由它列公式，最后代入计算正确：RtABC中，B=902. 注意分类讨论例2. 已知三角形的两边分别为3和4，若这个三角形为Rt，求第三边的周长解：设第三边的长为x(1)当x为斜边时，x2=32+42解得x=5(2)当x为直角边时，42=32+x2解得3. 探究性问题例3. 矩形和菱形以其特殊的对称美而备受人们的喜爱，因此，墙砖一般设计为矩形，图案也以菱形居多，如图7，是一块长30cm，宽20cm的长方形瓷砖，E、F、G、H分别是BC、CD、DA、AB的中点，阴影部分为淡蓝色花纹，中间部分为白色，现有一面长4.2m，宽2.8m的墙壁准备铺这种瓷砖，试问：(1)这面墙最少要

16、贴这种瓷砖多少块？(2)全部贴满瓷砖后，这面墙壁最多会出现多少个面积相等的菱形？其中有花纹的菱形是多少个？分析：(1)计算所用瓷砖的块数实际上是有关图形面积的计算问题；(2)求菱形的个数问题是图案的设计组合问题，可通过画图，再用分类讨论和数形结合的思想来解决。解：(1)因墙壁总面积为4.22.8=11.76(m2)，每块瓷砖的面积为0.30.2=0.06(m2)故最少要这种瓷砖11.760.06=196(块)；(2)因每相邻4块瓷砖构成一个淡蓝色菱形，又4.20.3=14,2.80.2=14，故墙壁上共铺瓷砖14行14列，有花纹的菱形是1313=169(个)，同时白色菱形的个数与瓷砖块数相同，有196个，故面积相等的菱形共有169+196=365(个)点评：解答这类问题要善于观察图形的组合特点，找出其组合规律，再灵活运用有关的数学思想方法使问题获解。用心爱心专心