信号与系统程耕国上册课后习题答案

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1、信号与系统课后习题答案1.3习题精解1. 判断下列信号是否是周期的，如果是周期的，求出它的基频和公共周期。 (1) (2) (3) (4) 解:（1）因此，公共周期,基频 (2) 因此，公共周期基频(3) 由于两个分量的频率比值是无理数，因此无法找出公共周期。所以是非周期的。 (4) 两个分量是同频率的，基频 1/p Hz。因此，公共周期s。2.指出并证明下列信号中哪些是功率信号，哪些是能量信号，哪些既不是功率信号也不是能量信号。 (1) (2) (3) (4) 解: (1) 波形如题2解图(a)所示。显然是功率信号。W题2解图 (a)题2解图 (b) (2) 波形如题2解图(b)所示。显然是

2、能量信号。 (3) 能量信号 J (4) 功率信号，显然有 W3. 周期信号如题图3所示，试计算信号的功率。题3图解： 周期T=7 ，一个周期的能量为 信号的功率为 W4. 画出下列信号的波形。 (1) (2) (3) 解：的波形分别如题4解图（a）、(b)、(c)所示。题4解图5. 完成下列信号的计算。 (1) ； (2) ； (3) ； (4) 。 解：(1) ；(2) (3) (4) 6. 求下列积分。 (1) ; (2) ;(3) ; (4) 。 解： (1) (2) (因不在积分范围（-3，6）内) (3) (4) 。 （）7.画出题图7中的信号的一阶导数波形。题7图解：的波形分别如

3、题7解图（a）、(b)、(c)所示。题7解图8.对于题8图中的信号，为以下各式作图。 (1) (2) (3) (4) (5) （偶分量）(6) （奇分量）题8图解： 各波形如题8解图所示。题8解图9.周期信号如题9图所示，试计算信号的功率。题9图解： 周期T=7 ， 其能量为信号的功率为 W10.用基本信号或阶跃信号表示题10图中的信号，并求出它们的能量。题10图 解： (a) ，可以看成三个矩形。能量为 J(b) ，可以看成一个矩形和一个三角形相加。能量为 J(c) ，可以看成一个矩形和两个三角形相加。能量为 J11. 画出下列信号的波形。 (1) ; (2) ; (3); (4) ; (5

4、) ; (6) 解：各信号的波形如题11解图所示。题11解图12.求下列积分。 (1) ; (2) (3) ; (4) 解： (a) ; (b) (c) (d) 13. 画出下列各信号的波形。(1) (2) (3) (4) 解：各波形如题13解图所示。题13解图题14图14. 对于题14图中的信号，为以下各式作图。 (a) ； (b) ； (c) ； (d) ； (e) （偶分量）； (f) （奇分量）。解： 各波形如题14解图所示。题14解图15.求下列函数的卷积积分（1） ；（2） （3）（4） （5） 现求解如下：（1） ；解：（2） 解：（3）解：（4） 解：（5） 解：16.已知（1

5、）（2）求现求解如下：（1）,求解：把求导2次（2），求解：左式：右式：所以把代入上式，得17已知下列的值，求。（1）（2）现求解如下：（1）解：（2）解：18已知，求。解：当时当时上二式在成立，故得当时19已知，求。解：这里用到性质：2.3 习题精解1. 前四个勒让德(Legendre)多项式证明它们在区间(-1，1)内是正交函数集。解：在区间(-1，1)内，有在(-1，1)区间内满足( )。它们在区间(-1，1)内是正交函数集。 2 . 证明(n为正整数)，是在区间的正交函数集。它是否是完备的正交函数集？证明：在区间内，有(n为正整数)是在区间的正交函数集。但不是完备的。因为：在正交函数集

6、(n为正整数)之外，存在函数满足： 对于所有的和。3. 题3图给出冲激序列。求的指数傅里叶级数和三角傅里叶级数。题3图解： ，因为偶函数，上述4. (1) 直接用定义求题4图所示三角波的三角傅里叶级数。(2) 利用3题的结果求题2.4图所示三角波的三角傅里叶级数。 题4图解：1）利用直接法求解：；因为信号为去直为奇函数，所以； ，上述2）利用3题的结果求解：令则 ，所以5. 已知周期信号的前周期波形如题5图所示。根据下列各种情况的要求，画出在一个周期的波形。(1) 是偶函数，只含有偶次谐波；(2) 是偶函数，只含有奇次谐波；(3) 是偶函数，含有偶次谐波和奇次谐波；(4) 是奇函数，只含有偶次

7、谐波；(5) 是奇函数，只含有奇次谐波。(6) 是奇函数，含有偶次谐波和奇次谐波。 题5图 解：1）是偶函数，只含有偶次谐波 2）是偶函数，只含有奇次谐波 题5图（a） 题5图（b）3）是偶函数，含有偶次谐波和奇次谐波或 题5图（c） 题5图（d）4）是奇函数，只含有偶次谐波 5）是奇函数，只含有奇次谐波 题5图（e） 题5图（f）6. 周期信号的双边频谱如题6图所示，求其三角函数表示式。 题6图解：根据，求得 7. 已知周期矩形信号及如题7图所示。求：(1) 的参数为，则谱线间隔和带宽为多少？(2) 的参数为，则谱线间隔和带宽为多少？(3) 与的基波幅度之比为多少？(4) 基波幅度与的三次谐

8、波幅度之比为多少？题7图 解：（1） 谱线间隔为或带宽为或（2） 同理可求：谱线间隔为或带宽为或（3）（4） 8. 求题8图所示半波余弦脉冲的傅里叶变换，并画出频谱图。题8图解：=*=*=9. 计算下列信号的傅里叶变换。(1) (2) (3) (4) (5) 解：（1）=（2）=（3）=（4）（5）因为10. 试分别利用下列几种方法证明。(1) 利用符号函数；(2) 利用矩形脉冲取极限；(3) 利用积分定理；(4) 利用单边指数函数取极限解：（1）略（2）（3）略（4） 11. 若的傅里叶变换为，如题11图所示，求并画图。题11图解：题11解图12. 已知信号，的波形如题12图（a）所示，若有

9、信号的波形如题12图（b）所示。求。 题12图(a) 题12图(b)解：13. 若已知，确定下列信号的傅里叶变换：(1) (2) (3)解：（1）（2）-=（3）14. 已知三角脉冲的傅里叶变换为，试用有关定理求的傅里叶变换。解：*=15. 若已知，确定下列信号的傅里叶变换。(1) (2) (3) (4)解：（1）=（2）-2（3）-2（4）16. 分别利用线性性质、时域积分性质和时域卷积定理求题16图所示梯形脉冲的傅里叶变换，并大致画出情况下该脉冲的频谱图。题16图解：（1）利用线性性质 -（2）利用时域积分性质令则，如题16解图（a）所示。 （3）当时，图形如题16解图（b）所示。题16解

10、图（a）题16解图（b）17. 已知阶跃信号的傅里叶变换为；正弦、余弦函数的傅里叶变换为；。求单边正弦和单边余弦的傅里叶变换。解：同理可求：18. 求的傅里叶反变换。解：， 另一种解法：19. 求信号的傅氏变换。解：信号周期为：，则， 题19图20. 信号，若对其进行冲激采样，求使频谱不发生混叠的最低采样频率。解：令，则所以21. 有限频带信号的最高频率为100HZ，若对下列信号进行时域采样，求得最小采样频率。(1) (2)(3) (4)解：，设：(1) ，频域信号扩展，频带增大，(2) ，频域信号扩展，频带增大为的两倍，(3) ，的，的，故有的，(4)，频带增大为的两倍，确，3.1 习题精解

11、1求下列函数的拉普拉斯变换并注明收敛区。解：收敛域为。收敛域为。收敛域为。收敛域为。收敛域为。2利用拉普拉斯变换性质，求下列信号的拉普拉斯变换。 解： (1) 因为 利用复频域微分性质，有即 (2)(3)(4)因为 根据拉普拉斯变换时域频移性质，有3求下列函数的拉普拉斯反变换。 解： （1）根据时延性质（2）将整理成周期形式又 则是第一周期单个函数为、周期的周期函数，所以（3）因为由卷积定理知 其中 所以4用部分分式法求下列函数的拉普拉斯反变换。 解： （1）由于中，首先用长除法运算得对真分式展开成部分分式其中 则原式为 所以 （2）原式展开成部分分式所以 （3） （4） 5求下列函数拉普拉斯

12、反变换的初值。 解： （1）（2）由于是有理分式，但不是真分式，利用长除法将其分解为则（3）6求下列函数拉普拉斯反变换的终值。 解： （1）令，得极点有极点在虚轴上，故不能用终值定理，无终值。（2）因为，的极点均在的左半平面，故满足终值定理，因此有 7 已知的象函数为，求其傅里叶变换。解：的收敛坐标，在轴上有一个一阶极点，在左半平面有一个一阶极点。将展开为部分分式，得由式(3.5-6)得的傅里叶变换为4.3 习题精解1. 求出以下序列的z变换及收敛域。（1） （2）（3） （4）（5） （6）解：（1）ZT（2）ZT（3）ZT（4）ZT=1，（5）ZT=，（6）ZT=2. 求以下序列的z变换及

13、收敛域，并在平面上画出零-极点分布图。（1）（2）（3）解：（1） =0，零点为：； =0，极点为：零极点分布图如题2解图（a）所示，图中处的零极点相消。 （2） =零点：，极点：，零极点分布图如题2解图（b）所示。（3）令，则，因为 因此得到 极点为：，零点为：；在处的零极点相消，收敛域为：，零极点分布图如题2解图（c）所示。 （a） （b） （c）题2解图3. 已知：求出对应的各种可能的序列表达式。解：有两个极点：，因为收敛域总是以极点为边界，因此收敛域有以下三种情况：，三种收敛域对应三种不同的原序列。（1） 当收敛域为时，由收敛域可得原序列为左边序列。查表4-1可得 （2） 当收敛域为时

14、， 由收敛域可得对应的原序列为右边序列，而对应的原序列为左边序列，查表4-1可得 （3） 当收敛域为时，由收敛域可得原序列为右边序列。查表4-1可得 4.已知。分别求（1）的z变换；（2）的z变换；（3）的z变换。解：（1），（2），（3），5.已知，分别求：（1）收敛域对应的原序列；（2）收敛域对应的原序列。解：有两个极点：，所以利用部分分式进行展开为：其中所以（1）收敛域对应的原序列，由收敛域可得对应的原序列为左边序列，而对应的原序列为右边序列，查表4-1可得 （2）收敛域对应的原序列,由收敛域可得、对应的原序列都为右边序列，查表4-1可得 6.分别用长除法、部分分式法求以下的反变换：（1

15、）（2）解：（1）部分分式法：有两个极点：，所以利用部分分式进行展开为：所以由收敛域可得原序列为右边序列，查表4-1可得长除法 （2）部分分式法：有两个极点：，所以利用部分分式进行展开为：所以由收敛域可得原序列为左边序列，查表3-2可得长除法08-432-161287.设确定性实序列的自相关函数用下式表示：试用的Z变换和傅里叶变换分别表示自相关函数的Z变换和傅里叶变换。解： 令，则 =或者 =因为是实序列，因此=。8.设和分别是和的傅里叶变换，试求下列序列的傅里叶变换：（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）（9）解：（1） FT=令，则FT=（2） FT=（3） FT=

16、令，则FT=（4） FT=证明 =FT=令，则FT= = =（5） FT = = = =或者 FT=（6） 因为，对该式两边对求导，得到FT因此 FT=（7） FT=令，则FT= = = =或者FT=（8） FT=利用（5）题结果，令，则FT=（9） FT=令，则FT=9.已知求的傅里叶反变换。解：10.线性时不变系统的频率响应，如果单位序列响应为实序列，试证明的稳态响应为解：假设输入信号，系统单位脉冲响应为，系统输出为上式说明，当输入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列，且频率相同，但幅度和相位决定于网络传输函数，利用该性质解此题。= =上式中是的偶函数，相位函数是的奇函数，即=， =

17、11.试证当为实序列且具有偶对称或奇对称时，即或时，频谱具有线性相位。证明：因为当为实偶序列时，也是实偶函数，相角为0；当为实奇序列时，为是纯虚奇函数，相角为。12.设题图12所示的序列的傅里叶变换用表示，不直接求出，完成下列运算。题12图（1）；（2）；（3）；（4）确定并画出傅里叶变换实部的时间序列；（5）；（6）。解：（1） =（2） =（3） =（4）因为傅里叶变换的实部对应序列的共轭对称部分，即=按照上式画出的波形如题12解图所示：题12解图（5）=（6）因为因此 =13.试求如下序列的傅里叶变换。（1）（2）（3）（4）解：（1）（2）（3）（4）=或者 =14.设（1）是实偶序列

18、，（2）是实奇序列，分别分析推导在以上两种假设下，其的傅里叶变换的性质。解：令 （1）是实偶函数，两边取共轭，得到因此上式说明是实序列，具有共轭对称性质。由于是偶函数，是奇函数，那么因此该式说明是实函数，且是的偶函数。总结以上是实偶函数时，对应的傅里叶变换也是实偶函数。（2）是实奇函数，上面已经推出，由于是实序列，具有共轭对称性质，即由于是奇函数，是奇函数，那么因此该式说明是纯虚数，且是的奇函数。15.设，试求的共轭对称序列和共轭反对称序列，并分别用图表示。解： ，和的波形如题15解图所示。 题15解图16.设，分别求出的偶序列和奇序列的傅里叶变换。解： 因为的傅里叶变换对应的实部，的傅里叶变

19、换对应的虚部乘以j，因此FT=FT=17.若序列是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式求序列及其傅里叶变换。解： 18.若序列是实因果序列，其傅里叶变换的虚部为求序列及其傅里叶变换。解： 19.设系统的单位序列响应，输入序列为完成下列各题（1） 求出系统输出序列；（2） 分别求出、和的傅里叶变换。解：（1）*=+（2） 20.已知，式中，以采样频率对进行采样，得到采样信号和时域离散信号，试完成下面各题：（1）写出的傅里叶变换表达式；（2）写出和的表达式；（3）分别求出的傅里叶变换和的傅里叶变换。解： （1）上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数函数，其傅里叶变换可表示成：（2） ，（3

20、） =式中 = =式中 上式推导过程中，指数序列的傅里叶变换仍然不存在，只有引入奇异函数函数，才能写出其傅里叶变换表示式。5.3 习题精解1. 计算以下诸序列的N点DFT，在变换区间内,序列定义为（1）（2）（3）（4）（5）解：（1）（2）（3）（4）因为所以（5）时， 时，所以，即2. 已知下列，求。（1）（2）其中，m为正整数，N为变换区间长度。解：（1） （2） 3. 长度为N=10的两个有限长序列 作图表示、和。循环卷积区间长度L=10。解：、和分别如题3解图（a）、（b）、（c）所示。题3解图4证明DFT的对称定理，即假设证明证明： 因为所以 由于 所以 5如果，证明DFT的初值定

21、理证明： 由IDFT定义式可知当时6设长度N，且，令 ，r为正整数，求与的关系式。解： 令 ，则因为 所以7已知长度为N， 求与的关系。解： 8已知是N点的有限长序列，现将的每两点之间补进r-1个零值点，得到一个rN点的有限长序列试求的rN点与的关系。解：由DFT的定义得 所以9设,是长为N的有限长序列，证明（1） 如果（2）当N为偶数时，如果，则证明： （1）证明： （2）10两个有限长序列和的零值区间为对每个序列作20点DFT，即如果试问在哪些点上，为什么？解：记，而。长度为27，长度为20，二者的关系为只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上，才满足所以11设（1）求的4点DFT。（2）若是

22、与的4点循环卷积，求及其4点DFT。解：（1）（2）由上式得到12如果是一个周期为N的周期序列，则它也是周期为2N的周期序列，把看作周期为N的周期序列，其DFT为，再把看作周期为2N的周期序列，其DFT为，试利用确定。解：由DFT的定义得 令，则把用代换，把用代换，得 所以 13两个长为的矩形序列，分别作线形卷积和L=8点的循环卷积。问循环卷积的结果中哪些序列值与线形卷积的结果相同,并说明理由。 解：题13解图所示的是两个长为N=5的矩形序列进行线性卷积和L=8 点的循环卷积的示意图。可以看出，由于循环卷积的点数（L=8）比线性卷积的长度2N-1=9少1点，因此在移位为0时，循环卷积有混叠现象

23、，而在移位为1以后，循环卷积的混叠现象消失。所以，移位为1至7的循环卷积的值与线性卷积的值相同。题13解图14已知序列，对的Z变换在单位圆上等间隔采样N点，采样值为求有限长序列。解：由于 是以2为周期的周期函数，所以以N为周期，将看作一周期序列的DFS系数，则代入由于 所以 由题意知 所以根据有关与的周期延拓序列的DFS系数的关系有由于，所以因此 15已知复序列。其中和是实序列。序列的Z变换在单位圆的下半部的值为零。求的离散傅里叶变换后一半的值，并说明理由。解：设N为偶数，的后一半是指所对应的的值。由于，其中， 所以也对应于在单位圆下半部等间隔点上的取样值，因此的后一半的值全为零。16用微处理

24、机对实数序列作谱分析，要求谱分辨率，信号最高频率为1kHZ，试确定以下各参数：（1）最小记录时间；（2）最大采样间隔；（3）最少采样点数；（4）在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的N值。解：（1）已知，（2）（3）（4）频带宽度不变就意味着采样间隔T不变，应该使记录时间扩大一倍为0.04s实现频率分辨率提高一倍（F变为原来的1/2）17用微处理机对实数序列作谱分析,要求谱分辨率，信号最高频率为，试确定以下各参数：（1）最小记录时间；（2）最大采样间隔；（3）最少采样点数；（4）在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的N值。解：（1）因此（2）因为要求所以（3）（4）在频带宽度不

25、变的情况下，将频率分辨率提高一倍，即18希望利用长度为N=50的FIR滤波器对一段很长的数据序列进行滤波处理，要求采用重叠保留法通过DFT来实现。所谓重叠保留法，就是对输入序列进行分段（本题设每段长度为M=100个采样点），但相邻两段必须重叠V个点，然后计算各段与的L点（本题取L=128）循环卷积，得到输出序列，m表示第m段计算输出。最后，从中取出个，使每段取出的个采样点连接得到滤波输出。（1）求V；（2）求B；（3）确定取出的B个采样应为中的哪些采样点。解：为了便于叙述，规定循环卷积的输出序列的序列标号为0，1，2，,127。先以与各段输入的线性卷积考虑，中，第0点到48点（共49个点）不正

26、确，不能作为滤波输出，第49点到第99点（共51个点）为正确的滤波输出序列的一段，即B=51。所以，为了去除前面49个不正确点，取出51个正确的点连续得到不间断又无多余点的，必须重叠100-51=49个点，即V=49。下面说明，对128点的循环卷积，上述结果也是正确的。我们知道因为长度为N+M-1=50+100-1=149所以从n=20到127区域， ，当然，第49点到第99点二者亦相等，所以，所取出的第51点为从第49到99点的。综上所述，总结所得结论V=49，B=51选取中第4999点作为滤波输出。19如果通用计算机的速度为平均每次复数乘法需要5，每次复数加法需要1，用来计算N=1024点

27、DFT，问直接计算需要多少时间。用FFT计算呢？照这样计算，用FFT进行快速卷积对信号进行处理时，估算可实现实时处理的信号最高频率。解：当时，直接计算DFT的复数运算次数为次复数加法计算次数为次直接计算所用计算时间为用FFT计算1024点DFT所需计算时间为快速卷积时，要计算一次N点FFT（考虑到已计算好存入内存），一次N点IFFT和N次频率复数乘法。所以，计算1024点快速卷积的计算时间约为所以，每秒钟处理的采样点数（即采样频率）/秒。由采样定理知，可实时处理的信号最高频率为应当说明，实际实现时，还要你小一些。这是由于采样频率高于奈奎斯特速率，而且在采用重叠相加法时，重叠部分还要计算两次。重

28、叠部分长度与长度有关，而且还有存取数据指令周期等。20已知和是两个N点实序列和的DFT，若要从和求和，为提高运算效率，试设计用一次N点IFFT来完成。解：因为和均为实序列，所以，和为共轭对称序列，j为共轭反对称序列。可令和j分别作为复序列的共轭对称分量和共轭反对称分量，即计算一次N点IFFT得到由DFT的共轭对称性可知，故21设是长度为2N的有限长实序列，为的2N点DFT。（1）试设计用一次N点FFT完成计算的高效算法。（2）若已知，试设计用一次N点IFFT实现求的2N点IDFT运算。解：（1）在时域分别抽取偶书点和奇数点得到两个N点实序列和：根据DIT-FFT的思想，只要求得和的N点DFT,再经过简单的一级蝶形运算就得到的2N点DFT。因为和均为实序列，所以根据DFT的共轭对称性，可用一次N点FFT求得和。具体方法如下：令 则 2N点可由和得到这样，通过一次N点IFFT计算就完成了计算2N点DFT。当然还要进行运算量相对很少的，由求，和的运算。（2）和（1）相同，设则应满足关系式由上式可解出由以上分析可得到运算过程如下： 由计算出和 由和构成N点频域序列其中，进行N点IFFT得到由DFT的共轭对称性知 由和合成在编程实现时，只要将存放和的两个数组的元素分别依次存放的数组的偶数和奇数数组元素中即可。