高等代数一线性代数题库含答案

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1、线性代数线性代数行列式(determinant)4重点掌握5计算方法5行列式是数值5二阶行列式5Example5计算方法5三阶行列式5Example5行列式性质6行列式转置后，其值不变6互换任意两行（列），其值改号6如果有两行（列）的对应元素相等，其值为06若有一行（列）元素全为0，其值为06将其一行（列）的每个元素，同乘以k，其值=k乘以原行列式7有两行（列）的对应元素成比例，其值为07某一行（列）的元素为两数之和时，行列式关于该行可分解为两个行列式7把行列式的某一行（列）的每个元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变7N阶行列式8Laplace 展开8行列式的余子式 (

2、Cofactor)8代数余子式 (Algebraic cofactor)8某行乘以另一行的代数余子式，结果为08Example8特殊行列式9对角行列式 (Diagonal determinant)9上三角行列式 (Upper triangular determinant)9下三角行列式 (Lower triangular determinant)9常用公式10克莱姆法则10例题十二 范德蒙行列式10例题部分12例题一12例题二 解行列式中的未知数13例题三 证明题13例题四13例题五14例题六14例题七15例题八 加边法15例题九15例题十16例题十一17例题十二17例题十三18例题十四18矩

3、阵(Matrix)19重要概念19不是数值19几种特殊，重要以及辅助的矩阵19单位矩阵 (方阵)19行矩阵19列矩阵19对角矩阵 (方阵)19准对角矩阵20上三角矩阵20下三角矩阵20零矩阵20转置矩阵 (Transpose)20方阵的行列式21块矩阵22矩阵的运算22加减法22数乘23乘法23除法25初等变换27概念27互换变换 (Elementary transformation)28倍法变换28消去变换28定理29矩阵的秩29定义29定理30例题30矩阵和行列式的应用31加密，解密31计算机图形学31经济学的应用33例题部分34补充知识34例题一34例题二35例题三35例题四36例题五3

4、6例题六36例题七37例题八 矩阵多项式37例题九37例题十38例题十一38例题十二 二阶方阵的逆38例题十三 用块矩阵法求逆39例题十四40例题十五40例题十六40例题十七41例题十八42例题十九42例题二十43例题二十一 利用初等变换求逆43例题二十二44例题二十三44矢量(Vector)45定义45特殊的矢量45行矢量45列矢量45运算45加法45数乘45加法和数乘基本性质46例题部分46线性相关性46定义46性质以及推论47矢量组内的各个矢量间的线性相关性47矢量组的秩(Rank)48线性组合(Linear Combination)48例题部分52例题二 方程组变为矢量式52方程组53

5、齐次线性方程组53定义53非零解的性质53例题部分54非齐次线性方程组57行列式(determinant)重点掌握计算方法行列式是数值二阶行列式Example计算方法三阶行列式Example行列式性质行列式转置后，其值不变互换任意两行（列），其值改号如果有两行（列）的对应元素相等，其值为0若有一行（列）元素全为0，其值为0将其一行（列）的每个元素，同乘以k，其值=k乘以原行列式有两行（列）的对应元素成比例，其值为0某一行（列）的元素为两数之和时，行列式关于该行可分解为两个行列式把行列式的某一行（列）的每个元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变N阶行列式Laplace 展开

6、行列式的余子式 (Cofactor)代数余子式 (Algebraic cofactor)例的余子式，代数余子式分别有为的余子式为的代数余子式某行乘以另一行的代数余子式，结果为0Example特殊行列式对角行列式 (Diagonal determinant)上三角行列式 (Upper triangular determinant)下三角行列式 (Lower triangular determinant)常用公式克莱姆法则联立方程组Example例：已知，求解： 例题十二 范德蒙行列式公式一公式二Example 1考虑n+1阶的范德蒙行列式显然行列式，就是辅助行列式中元素的余子式，即而由的表达式知

7、，的系数为于是Example 2考虑n+1阶的范德蒙行列式显然行列式就是辅助行列式中元素的余子式，即而由的表达式知，x的系数为于是例题部分例题一例题二 解行列式中的未知数已知例题三 证明题例题四 归纳法求解：二阶三阶四阶例题五例题六例题七已知，求例题八 加边法例题九已知 评注：这个行列式除主对角线上的元素外，各行对应的元素分别相同，可利用加边的方法来计算，且化简后常变为箭形行列式例题十例题十一例题十二 求。其中为代数余子式例题十三已知 求以及/某一行乘以另一行的代数余子式等于0例题十四矩阵(Matrix)重要概念不是数值几种特殊，重要以及辅助的矩阵单位矩阵 (方阵)行矩阵列矩阵对角矩阵 (方阵

8、)准对角矩阵上三角矩阵下三角矩阵零矩阵转置矩阵 (Transpose)Example性质方阵的行列式Example性质块矩阵定义矩阵的运算加减法结构相同Example 1Example 2 块矩阵数乘乘法矩阵乘法的基本性质 Example 1 Example 2 且 求Example 3 矩阵方程设 Example 4 块矩阵 求除法伴随矩阵定义设 则其中 等为代数余子式逆矩阵 (Inverse matrix)定义可逆 (Invertible) 不可逆 (Noninvertible) 奇异的(Singular)求法基本性质Example 1求的逆矩阵有逆矩阵分别计算相应的代数余子式，可得 Ex

9、ample 2 解 线性方程组代数式 矩阵式 已知Example 3 块矩阵设 则 初等变换概念初等（矩）阵由单位矩阵经过一次初等变换而得的矩阵互换变换 (Elementary transformation)倍法变换消去变换定理任何非奇异方阵都可以用一系列的初等变换化为单位阵E对A实行一次行（列）变换，就相当于在A的左（右）边乘上一个相应的初等阵非奇异方阵A的逆等于一组初等阵的乘积矩阵的秩定义把矩阵的行秩，列秩和行列式秩统称为矩阵的秩，定理初等变换后不改变秩例题Example 1计算的秩Example 2已知，求矩阵和行列式的应用加密，解密设有字母表及其对应数字为， 则单词 Action =

10、设有可逆矩阵则加密为：，解密为：，计算机图形学首先，一张图如何用数学表现？其次，先后两张图的演变如何联系？图形的变化可分解为：平移；伸缩；转动这三种基本变化。伸缩变化其中一个点平移变化转动变化转动变化又可分为绕Z轴转动，绕X轴转动，绕Y轴转动。绕Z轴转动绕X轴转动绕Y轴转动Example一张图依次绕X轴转，绕Y轴转，绕Z轴转则 经济学的应用Leontief 哈佛 1973年投入产出模型闭合模型由其完成的工作木工电工粉刷工在木工家工作日216在电工家工作日451在粉刷工家工作日442问：每人日工资比例应为多少？解：设木工的日工资，电工的日工资，粉刷工的日工资，则根据平衡条件可得可解出开式模型(产

11、品模式)生产一元钱的煤电运需要三家的投入量煤00.650.55电0.250.050.10运0.250.050又对社会贡献，一个星期内，煤厂对外提供50000元的煤，电厂对外提供25000元的电，运输公司则对外提供0元的运输。求一个星期内，各厂总产值应该多少恰好满足上述需求。矩阵的特征值与特征矢相关定义设矩阵，其中为特征值，是特征矢一般 特征方程其中例题部分例题一，求特征值和特征矢可得即将代入方程组得即，解出将代入方程组得即，解出例题二 ,求的特征值和特征矢即：把代入原方程可得把代入原方程可得即：即：例题三，求其特征值以及特征矢把代入原方程可得把代入原方程可得例题四，求其特征值原式可化为，则其中

12、其中例题五 几个重要结论已知A的特征值为，特征矢为1 的特征值为，特征矢为2 的特征值为，特征矢为3 的特征值为，特征矢为4 A可逆，的特征值为，特征矢为5 设多项式， 则矩阵多项式 的特征值为，特征矢为例题六设A满足方程，求A的特征值设例题七设A满足，证明A的特征值只有1和0例题八已知向量，是的的特征矢，求k？解：A的特征值可求出分别代入，可得例题九设是的一个特征矢，求解：例题部分补充知识杨辉三角 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 11 5 10 10 5 1例题一 设，求 例题二，求 例题三3阶方阵 均为三维行矩阵又已知 求例题四四阶矩阵 均为四维列矩阵已知 求例题五A为n阶

13、方阵， 是A的伴随矩阵，证明 两边取行列式例题六A 为 3阶方阵，时A的伴随矩阵，且， 求 例题七A,B,A+B都是n阶可逆方阵，求设，则应该有两边左乘以A两边再左乘以得例题八 矩阵多项式已知，则例题九已知, 则例题十设n阶矩阵， 。求的逆从原式中分解出例题十一设A为n阶矩阵，且对某正整数m，有。证明可逆，并求的逆例题十二 二阶方阵的逆设，求重要结论二阶方针的逆：其元素，主换位，副变号。例题十三 用块矩阵法求逆设分别m，n阶可逆针，求设， 重要结论如果，如果，例题十四例题十五例题十六 例题十七设。 求A。其中，原式可化为两边同时左乘C，可得例题十八3阶A，B满足，且，求B原式两边同时右乘可得例

14、题十九已知，。且，求X由题目可知原式可化为例题二十QuestionA,B满足，且，求B例题二十一 利用初等变换求逆设，求例题二十二 设，求例题二十三已知 ， 求，以及结论结论： 1、，即交换律不满足 2、 但有可能 3、，但B可能不等于A，即消去律不满足。其中A为奇异矩阵矢量(Vector)定义特殊的矢量行矢量列矢量运算加法 数乘加法和数乘基本性质例题部分例题一 加法与数乘 线性相关性定义设是个维矢量，如果存在一组不全为0的，使得，则称为线性相关，如果只有，则为线性无关。性质以及推论单独一个零向量，线性相关。单独一个非零向量，线性无关。含有零向量的向量组，线性相关。n个n维标准单位向量，线性无

15、关。n个n维线性相关的充要条件是(n+1)个n维向量组，一定相关向量组相关的充要条件是，其中一个向量可由其他向量组合如果向量组的一部分相关，则向量组相关如果无关，而相关，则可由组合，且，其中唯一矢量组内的各个矢量间的线性相关性例：则1) 由和线性组合而成，非独立2) 和不能互相替代，均是独立的。矢量组的秩(Rank)定义向量组内找到个数最多的无关向量组，其个数即为秩线性组合(Linear Combination)例一 例二是的线性组合例三已知问能否由线性组合解：即即例四设问能否由和线性组合解：即：即：无解所以不能由和线性组合例五设问能否由线性组合解：即即是自由变量所以，有无穷多个可组合例六设，

16、是否线性相关？解：考察即 线性无关例七已知向量组线性无关，问的相关性解：考察 所以线性无关例八 求秩。求其秩所以，其秩为3例九 求秩求最大无关组及秩将排列成矩阵：例十求极大无关组已知，,个向量，是线性相关。求极大无关组，1) 个数2) 秩3) 谁是极大无关组的向量解：令是极大无关组 也是，也是例十一求极大无关组已知,求 1) ，矢量组线性无关 2) ，矢量组线性相关 3) 找极大线性无关组解： 时，线性相关；反之则线性无关，极大无关组即其本身。例题部分例题二 方程组变为矢量式例：令则原方程组可化为：方程组齐次线性方程组定义非零解的性质如果有两个解则已知,则也是解如果有解，则也是解，必须线性无关例题部分例题一即即取取基础解系例题二即即例题三求使方程组有非零解，并求通解当，有非零解，得把代入得 令把代入得 令非齐次线性方程组方程组解的结构则是的导出方程组设有的两个解则可看出 是的解如果有的一个解，的一个解则例题部分例题一，求通解增广矩阵所以，1)有解，2)有基础解2个变换后的方程组为即令，则对于导出方程组取或可得所以例题二求为何值时，下列方程组，无解，有唯一解，有无穷多个解例题三，求p,t为何值时，无解或有解并解之1 当时，p为任何值，无解2 当t-2 时，有解 当 时当 p= -8 时62