多目标决策问题

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1、第十五章 多標準決策問題本章內容：15.1 目標規劃 : 建立模式及圖解法15.2 目標規劃 : 解更複雜的問題15.3 計分模式15.4 層級分析法15.5用AHP建立優先權15.6用AHP建立整體優先順序線性規劃的基本假設：1. 可加性 (Additivity) ：目標函數或限制式變數之衡量單位必 須相同，如此才能相加減2. 比例性 (Proportionality) ：就限制式而言，每單位產出所需 之資源投入數均為固定，一定倍數的投入可以得到相同倍 數的產出3. 確定性 (Determinitic) ：目標函數係數及限制條件中之技術 系數以及擁有資源數量等均為已知且確定的數字，而不含 任

2、何機率分配4. 可分割性(Divisibility):線性規劃模型解答不一定是整數，可以是任意實數鑼15.1目標規劃：建立模型及圖解法例:尼可投資顧問公司考慮某顧客有80,000元要投資，投資組合限於以下兩種股票:股票價格年報酬/股風險指數/股美國石油$25$30.50休伯不動產5050.25這個顧客第一目標是風險最高水準為700，第二目標是要年回收至少 9,000 元，試以目標規劃找出最接近滿 足所有目標的投資組合。 根據優先順序的說明，本例題“目標”可表示如下： 主要目標（優先等級 1） 目標 1：找一個投資組合，它的風險在 700 以下。 次要目標（優先等級 2） 目標 2：找一個投資組

3、合，它所提供的年回收至少 9,000 元。建立限制式及目標方程式1. 先決定決策變數X 1=購買美國石油股的數目X 2 =購買休柏不動產股的數目2. 建立限制條件25X 1 + 50X2W 80,000 （可用資金）3. 建立目標方程式(1) 目標1之目標方程式(組合風險)：風險指標可小於等於或大於目標值700,目標方程式如下：+ -0.5X1 + 0.25X2 di + di = 700+di =組合風險指標超過目標值 700的部份di =組合風險指標少於目標值 700的部份(2) 目標2之目標方程式(年回收)：年收入指標可大於等於或小於目標值9000目標方程式如下:+ 3 Xi 5 X2d

4、 2 d 2 = 9000d 2 =組合年回收大於目標值 9000元的量d 2 =組合年回收小於目標值 9000元的量建立有逐位優先權的目標函數 目標1之目標函數（風險）風險指標不能超過700,吾人是否應關切低過 700的目標 值？明顯的回答否，因為小於 700相當於風險小，但是否應 關切超過700的目標值？答案是肯定的，因為投資組合風險 指標大過700相當於風險水準高過顧客所願接受者。所以， 相當於優先水準1的線性規劃目標函數，必須為求極小化d!值。優先水準1線性規劃Pi問題。+Min d i可用基金P 1目標 + -X 1, X2, d1 d1 三 0s.t. 25X i + 50X2 W

5、 80,000+ -0.5X i + 0.25X2 di + di = 700 3X i+ 5X2仝 9000 P 2 目標圖解法美國石油的股數圖15.2滿足P1可目標的投資組合在圖15.2，當Pi目標恰好達到di = 0及di = 0,目標方 程化簡為0.5X1 + 0.25X2= 700,左下角區域就是滿足可用資+金限制及 di = 0 的解點,因為任何 di = 0 的解點都達成優先 水準 i 的目標,此區域內的所有解點相點於風險小於 700 的 組合。目標 2 之目標函數 （ 年回收 ）找年回收至少 9,000 元的組合 ,我們只關切低於 9,000 元 的情況,因為年回收低於 9,0

6、00 元的組合是不被顧客所接 受,所以相當於優先水準 2 線性規劃目標函數是要極小化d-i值。優先水準 2 線性規劃 P2 問題如下：Min d 2s.t.25X1 + 50X2三80,000可用基金+-0.5X1 + 0.25X2 di + di = 700 P 1 目標+-3X 1 + 5X2 d2 + d2 = 9000 P 2 目標維持 P1 目標的達成+d1 = 0+ - -X1, X2, d1 d1 d2 三 0當P2目標恰好達到d+ = 0及d2= 0目標方程式化簡為3X1 +5X2= 9000，在滿足優先順序1目標之解中，X1 = 800, X2= 1,200 最接近滿足優先水

7、準 2 目標，因為這個解的年回收為 3(800) + 5(1,200) = 8,400( 註)。最適解對目標 2 的達成度比 目標低了 d-2= 600 元(= 9000 元 8400 元)。解：買 800 股美國石油及 1200 股休伯不動產，達成風險小於700，但年回收只有 8400 元。註：多標準決策問題不可能同時滿足所有目標水準，本例中不可能同時滿足優先水準 1 及優先水準 2。目標規劃圖解法步驟：1. 找出合理解點；它是滿足問題限制的點。2. 找出滿足最高優先目標的合理 ；如果沒有合理解能達成 最高優先目標，找出最接近達成最高優先目標的解。3. 向下移一位優先水準 ，找出不犧牲任何上

8、一優先目標達 成度的最適解。4. 重覆第 3 步，直到所有優先水準都已考慮過。X23000休 伯 不 動 產 的 股 數優先等級1的目標方程式+ -di = di = 0; 0.5Xi + 0.25X2 = 70020000達1000X1 = 800, X2= 1200不使主要目標退化的 次要目標最適解+di優先等級1目標的可行 投資組合d2 0優先等級2的目標方程式d2 v 0 d2 = d2 = 0; 3Xi + 5X2= 9000 可用資金：25X1 + 50Xz= 80,00001000200030004000美國石油的股數圖15.3滿足兩個目標的最適解（P2問題的解）目標規劃模式+M

9、in P 1（d1） P2（d2）這個 P1 及 P2 優先水準，並非偏差變數的加權，而只不過 是一個簡單的標籤，使我們記住目標的優先順序，現在寫出 完整的目標規劃模式如下：+Min P 1（d1） P2（d2）s.t.25X1 + 50X2 三 80,000可用基金0.5X1 + 0.25X2 d+ + di = 700 P 1 目標+-3X1+ 5X2 d2 + d2 = 9000 P 2 目標+ - -Xi, X2, di di d2 三 014建立目標規劃模式步驟：1. 找出目標及反映資源限制或其他妨礙目標達成的限制。2. 找出每個“目標”的優先水準；優先水準Pi的目標最重要，優先水準

10、P2的目標第二重要，依此類推。3. 定出決策變數。4. 以線性規劃式樣寫出限制式。5. 對每個目標建立目標方程式，右手邊是目標的目標值。+-在每個目標方程式內包含偏差變數 di及di以反映高過或低 過目標值的可能偏差。6. 寫出目標函數，它是具有優先順序的偏差變數的極小化。鑼15.2目標規劃：解更複雜的問題山庫斯辦公用品的問題山庫斯辦公室用品供應商的管理當局 ，訂出每月與顧客接 觸的目標，在往後的 4 週，公司的顧客服務策略是要它的 4 個業務員，對曾至公司購買用品的顧客作 200 次接觸。另外 要與新顧客作 120 次接觸。目標 5 的重要性是目標 4 的兩倍。 優先等級 1 目標 目標 1

11、：不能使用超過 680 小時的人力。 目標 2：不能使用少於 600 小時的人力。優先等級 2 目標目標 3：銷售利潤至少 70,000 元。優先等級 3 目標目標 4：至少接觸老顧客 200 次。目標 5：至少接觸新顧客 120 次。試寫出目標規劃模式及以電腦解其最適解。 建立目標方程式X 1 =拜訪老顧客的數目X 2 =拜訪新顧客的數目建立目標函數Min P 1（d1+） P1（d-2 ） P2（d-3 ） P3（d-4 ） P3（2d-5 ）+-s.t. 2X 1+ 3X2 - di + di = 680目標1+-2X i+ 3X2 - d2 + d2 = 600標2+-250X i+

12、i25X2- d3 + d3 = 70,000目標3+-X i- d4+ d4 = 200目標 ,+-X 2- d5+ d5 = i20目標 5+ - + - + - + - +X i ,X2,d 1d 1d2d2d,d,d,d,dd5 二 0+註：di =業務員所用小時數比目標值680 小時多出的部分di 業務員所用小時數比目標值680 小時少的部分+d2+ 業務員所用時間超過目標值600 小時之部分d-2 業務員所用時間低於目標值600 小時之部分+d3+ 銷售利潤大於目標值 70,000 元的部分d-3 銷售利潤低於目標值 70,000 元的部分+d4+ 與老顧客接觸次數超過目標200

13、次的部分d-4 與老顧客接觸次數低於目標200 次的部分+d5+ 與新顧客接觸次數超過目標i20 次的部分d-5 與新顧客接觸次數低於目標i20 次的部分19電腦解Min d1 + d2s.t. 2X1+ 3X2+-d1 + d1 = 6802X1+ 3X2+-d2 + d2 = 600解 P1 問題+-目標 1目標 2+-250X1+ 125M d3 + d3 = 70,000+1 d4+ d4= 200+2 d5 + d5 = 120+ - + - + - +1 ， X2， d 1， d 1， d2， d 2， d 3， d 3， d 4，d4，+d5，目標 3目標 4目標 5X20圖 1

14、5.4 P1 問題的電腦解 OBJECTIVE FUNCTION VALUE =0.00022VARIABLEVALUED1PLUS0.000D2MINUS0.000X1250.000X260.000D1MINUS0.000D2PLUS80.000D3PLUS0.000D3MINUS0.000D4PLUS50.000D4MINUS0.000D5PLUS0.000D5MINUS60.000REDUCED COST1.0001.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.000註：圖中 DIMINUSdiD2PLU& d+解: Xi = 20

15、0 次，X2= 66.67 次，d+ = 0, di = 0解 P2 問題解P2問題是在Pi問題中加一不使已獲得之第 1優先目標+解降格以求的限制條件，即要求所有以後的解都要滿足di+di = 0。Min d 3 +-s.t. 2X 1+ 3X2 - di + di = 680+-2X i+ 3X2 - d2 + d2 = 600+-250X i+ i25X2- d3+ d3= 70,000+Xi-d4+ d4 = 200X2-+-d5+ d5 = i20d+-i + d2= 0解：Xi = 270 次，X2= 20 次，d3 = 0P2問題的電腦解如下:OBJECTIVE FUNCTION

16、VALUE =120.000VARIABLEVALUEREDUCED COSTD1PLUS0.0000.000D2MINUS0.0001.000X1250.0000.000X260.0000.000D1MINUS0.0001.000D2PLUS80.0000.000D3PLUS0.0000.000D3MINUS0.0000.000D4PLUS50.0000.000D4MINUS0.0001.000D5PLUS0.0002.000D5MINUS60.0000.000解 P3 問題解P3問題是在P2問題中加入確保P2銷售利潤持續達成的 限制式，即加入d3 = 0。Min d 4 d5+-s.t.

17、2X 13X2d1 d1 = 680+-2X 13X2d2d2= 600+-250X 1125X2d3d3= 70,000+-X 1d4d4= 200+-X 2d5d5= 120+-d 1d2= 0d 3= 0圖 15.5 P3 問題的電腦解 OBJECTIVE FUNCTION VALUE =120.00037VARIABLEVALUED1PLUS0.000D2MINUS0.000X1250.000X260.000D1MINUS0.000D2PLUS80.000D3PLUS0.000D3MINUS0.000D4PLUS50.000D4MINUS0.000D5PLUS0.000D5MINUS6

18、0.000REDUCED COST0.0001.0000.0000.0001.0000.0000.0000.0000.0001.0002.0000.000 解：Xi = 250, X2= 60, d； = 50, d5 = 60。此解達成為管理當 局的目標，雖不滿足與新顧客至少接觸 120 次，但卻達成其 他目標。鑼15.4層級分析法層級分析法 (analytical hierarchy process,AHP)是用來解複雜的多準則決策問題。 AHP要求決策者判定每個決策 準則的相對重要性，然後利用這些決策準則來決定每個決策 方案的喜好程度。例：用黛安所面臨購車決策問題來介紹 AHP經過初步分

19、析 一些二手車的組裝及外型後，黛安將備選方案縮減到三部車 子：分別是本田雅哥、釷星、以及雪佛蘭的游騎兵。表 15.4 是黛安所收集的有關這些車子的資訊。黛安認為以下幾項是她買車時會考慮的決策準則:1價格2. 每加侖行駛里程數3. 舒適性4.車型表15.4汽車選擇的相關資訊決策方案特徵雅哥釷星游騎兵價格13100112009500車里八、紅藍哩/加侖192328內裝豪華高級標準車型錄音帶4門中型雙門跑車雙門小型音響系統AM/FM錄音帶，CDAM/FMAM/FM建立層級AHP的第一步是以圖形表示問題的整體目標、決策準則、以及備選方案。此圖形述了問題的層級架構。圖 15.6是汽 車選擇問題的層級架構

20、。整體目標:準則：決策方案:厂選出最好的車價格( MPG舒適性車型1 )雅哥針星 游騎兵丿( 、雅哥 針星 乂 游騎兵丿雅哥 針星 . 游騎兵 丿(A雅哥針星j 游騎兵 丿圖15.6汽車選擇問題的層次架構鑼15.5用AHP建立優先權以汽車選擇問題為例，說明如何利用AHP來找出下列各種狀 況下的排序：1. 根據 4 個決策準則對整體目標的貢獻2. 以價格準則比較三種車3. 以MGP準則比較三種車4. 以舒適性準則比較三種車5. 以車型準則比較三種車成對比較 成對比較是構成 AHP的基石。在建立4個決策準則的重要性 排序時，AHP要求黛安以成對比較的方式，說明每一個準則 相對於其他準則的重要性。也

21、就進行以下的成對比較：1. 價格對 MPG2. 價格對舒適性3. 價格對車型4. 舒適性對 MPG5. 車型對MPG6. 車型對舒適性AHP使用一種1到9的評分尺度。表15.5說明如何將決策者 對兩個準則之相對重要性的口語描述轉換成數字的評分。表15.5決策準則相對重要性的比較尺度極端重要98非常重要76很重要54口語評判分數稍微重要32一樣重要1表15.6是汽車選擇問題中黛安的 6個成對比較結果。根據表 中的資料，黛安所表達的意思是1. 價格比MPG稍微重要2. 價格比舒適性的重要性介於一樣重要與稍微重要之間3. 價格比車型的重要性介於一樣重要與稍微重要之間4. 舒適性比MPG勺重要性介於稍

22、微重要與很重要之間5. 車型比MPG勺重要性介於稍微重要與很重要之間6. 車型比舒適性的重要性介於一樣重要與稍微重要之間比較重要的準成對比較相對重要程度 分數則價格MPG價格稍微3價格-舒適性價格一樣和稍微之間2價格-車型價格一樣和稍微之間2MP舒適性舒適性稍微和很重要之間4MP車型車型稍微和很重要之間4舒適性-車型車型一樣和稍微之間2成對比較矩陣要決定4個決策準則的重要性排序，必須利用表15.6的分數建立成對比較矩陣。此 4列4行的矩陣如下：車型價格 MPG 舒適性價格MPG舒適性55表15.6中標示比較重要的準則 行內所列的準則，就是該 分數在成對比較矩陣中的 列的位置。遵從此一程序，將其

23、他 的分數填入成對比較矩陣中，得到以下的矩陣價格MPG舒適性車型價格322MPG舒適性4車型42因為對角線的元素是每一個準則自己和自己的比較，所以成對比較矩陣對角線元素的值永遠等於 1。此時成對比較矩陣如下：價格MPG舒適性車型價格1322MPG1舒適性41車型421剩下的工作就是完成矩陣中剩餘的格子。以價格對MPG勺比較說明如何取得這此空格的值。價格對MPG勺3分隱含著MPG 對價格的比較結果應該是 1/3分。於是，汽車選擇準則的完 整成對比較矩陣就是：價格MPG舒適性車型價格1322MPG1/311/41/4舒適性1/2411/2車型1/2421合成有了成對比較矩陣，我們就可以根據各決策準

24、則對整體目標 的貢獻度，計算它們的重要性排序。AHP的這個部分稱為合成。進行合成計算的數學程序已經超過本書的範圍（特性、根、特性向量）。但是，利用以下的三個步驟，可以得到與合 成結果很接近的近似結果。第1步將成對比較矩陣的母一行的值加總價格MPG舒適性車型價格1322MPG1/311/41/4舒適性1/2411/2車型1/2421總合2.33312.0005.2503.750第2步 將成對比較矩陣的每個元素除以它的行總和；產生的矩陣叫做正常化（normalized pairwise comparison matrix）成對比較矩陣。價格MPG舒適性車型價格0.4290.2500.3810.53

25、3MPG0.1430.0830.0480.067舒適性0.2140.3330.1900.133車型0.2140.3330.3810.267第3步 計算正常化矩陣每列元素的平均值；這些平均值就 是決策準則的相對重要性。價格MPG舒適性車型權重價格0.4290.2500.3810.5330.398MPG0.1430.0830.0480.0670.085舒適性0.2140.3330.1900.1330.218車型0.2140.3330.3810.2670.299兴權重：相對優先權。用以估計所比較的元素的相對優先權APH的合成程序根據各決策準則對整體目標的貢獻度，計算 它們的相對重要性。AHP得到價格

26、的權重為0.398，是所有選擇汽車的決策準則中最重要的一個。MPG則是最不重要的準則，權重為 0.085 。一致性在進行AHP程序時，需檢定其一致性。例如， A準則對B 準則的相對重要性是 3,而B準則對C準則的相對重要性是 2，在一致性情況下， A 準則對 C 準則的相對重要性應該是 6(3*2) 。如決策者所給的 A 準則對 C 準則的相對重要性是 4 或 5,則在成對比較的結果中將存在某些的不一致性。AHP透過計算一致性比率來衡量成對比較結果的一致性。這個比率如果超過0.1表示成對比較的結果是不一致。如果 一致性比率小於或等於 0.1，就認為成對比較的一致性屬於 合理的程度，AHP就可以

27、繼續進行合成的計算。汽車選擇問題決策準則比較結果的一致性比率的估計過程如下：第1步 將成對比較矩陣第1行的每個數值乘以第一項的權重；將第2行各數值乘以第二項的權重；對所有的 行向量重複此一動作。然後將各列加總得到一個稱為加權總加的向量。汽車選擇問題的計算如下:0.3981丄312 + 0.085I I1_211-们-111 11 111 11 |11414141 11 1；4； + 0.218 ；1+ 0.299 ；2一 2!1J1.687iI0.3470.907II1.2740.3980.1330.1990.1990.2550.0850.3400.3400.4360.0540.2180.43

28、60.5980.0750.1490.299第2步 將第1步所得到的加權總和向量的每個元素，除以 其相對應的準則權重。價格0.347MPG二 4.0770.0850.907舒適性二 4.1630.21車型24742計算第2步所得數值的平均值；以入max表示之。入 max：(4.236 + 4.077 + 4.163 + 4.264) = 4 俠 4.第4步 計算一致性指標（CI）如下:max 一 nCl= n 1其中n是被比較的項目的數目。於是我們得到4.1854Cl =4- 1 = 0.0616第5步 計算一致性比率（CR。其定義如下：clCR= RI其中RI為一隨機產生的成對比較矩陣的一致性

29、指標。而Rl（為一隨機指標，是隨機產生配對比較矩陣的一致性指標）的值則與被比較的項目的數目n有關，其值決定如下：n345678Rl0.580.901.121.241.321.41於是，汽車選擇問題的n = 4個準則，我們得到RI=0.90，以下一致性比率0.0616CR= 0.90 如前所述， 一致性比率在 0.10 以下是可以接受的。由於汽車 選擇準則成對比較的一致性比率為 0.068 ，因此這個成對比 較的一致性是可以接受的。汽車選擇問題的其他成對比較用成對比較法決定三種汽車在價格、MPG舒適性及車型等每個準則的相對優先順序。這須要黛安每次根據一個準則對所 有的車子進行成對比較。例如以價格為準則，黛安必須進行 以下的成對比較：