2019年天津市高考数学试卷理科解析版

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1、2019年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)第I卷注意事项：1. 每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。2. 本卷共8小题。参考公式：如果事件A、B互斥，那么P(A 一 B) =P(A) P(B).如果事件A、B相互独立，那么P(AB)= P(A)P(B).圆柱的体积公式V二Sh,其中S表示圆柱的底面面积，h表示圆柱的高.1棱锥的体积公式V =-Sh，其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高.3一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 A=-1,1,2,3,5, B =2,3,

2、4, C =x R |1, x 3，则(A|C)UB=()A.B.2,3?C.1,2,3?D. S2,3,4?【答案】D【解析】【分析】先求 A B，再求(A|C)UB。【详解】因为A|C =1,2，所以(AnC)UB =1,2,3,4.故选Do【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算.x + y -2 兰 0,x v +2 30,2.设变量x,v满足约束条件则目标函数z=/x v的最大值为（）乂_ 1,y-1,A. 2B. 3C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】画出可行域，用截距模型求最值。【详解】已

3、知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分。目标函数的几何意义是直线V = 4X - z在y轴上的截距，故目标函数在点A处取得最大值。X y + 2 =0由 V,，得 A（-1,1），X 所以 Zmax = V （一1） 5。【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定 目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结 合图形确定目标函数最值或范围即：一画，二移，三求.3.设 x R，则“ x2 -5x 0 ”是 “ | xT| ：1 ”的）A.充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件

4、D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定【详解】x2 -5x : 0，即 0 ： x :： 5，x1 cl等价于 0 ex v2，故 0vxc5推不出 x 1；由x 1 log.5 0.25 = 2，10.51 0.5.2 : 0.50，故 c : 1，所以 a : c :b。故选Ao【点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与1的大小区别对待。x7已知函数f(x) =Asin(x ：J(A 00,| ：卜：二)是奇函数，将 y = f x的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像对应的函数为g X 若g

5、x的最小正周期为2 n,且 g则 f 3()8A. -2B. 一、2C. .2D. 2【答案】A【解析】【分析】只需根据函数性质逐步得出A, ,值即可。【详解】f(x)为奇函数，可知f (0) = Asin= 0 ,由Fl 兀可得护=o ；一i把其图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得g(x)=Asin x ,2由g(x)的最小正周期为2二可得 =2 ,由 g(-) =，可得 A =2 ,4所以 f(x)=2si n 2x , f(3 ) =2si n32。84故选Co【点睛】在x二0处有定义的奇函数必有f (0) = o。x 2ax +2a x 18.已知a R，设函数f(x)若关于x的不等

6、式f(x)0在R上恒成立，则a的取值/al nx, x = 1,范围为()A. 0,1 丨B. b,2 丨C. 0,e】D.【答案】C【解析】【分析】In x先判断a亠0时，x2_2ax2a_0在(y,1上恒成立；若x_alnx亠0在(1,*：)上恒成立，转化为a 在(1,：)上恒成立。【详解】首先f(0) _0，即a_0,2 2 2 2当 0aE1 时，f (x) = x 2ax 2a=(xa) 2aa _2aa =a(2a) 0,当 a ：1 时，f(1) =10 , 故当a _0时，x2 -2ax 2a _ 0在(-二川上恒成立;若x-al nx_O在(I,*：)上恒成立，即xa在(1,

7、r)上恒成立,In x令 g(x)=xIn x则g(x)二晋专，(Inx)易知x二e为函数g(x)在(1, : J唯一的极小值点、也是最小值点,故 g(x)max =g(e) =e，所以 a 乞 e。综上可知，a的取值范围是0, e。故选C。【点睛】a f(x)在D上恒成立，等价于a f (x)min, x D ； a f(x)在d上恒成立，等价于a f (x)max , x D。第u卷 二.填空题：本大题共6小题.5 i9.i是虚数单位，则 =的值为1 +i【答案】13【解析】【分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模。【详解】解法一：-(5_i)(1_i)2-3ih+il(1 十

8、 i)(1 i)解法二：【点睛】所以解答与复数概念或运算有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a+ bi a, b R)的形式,再根据题意求解.( 1 &10. 2x是展开式中的常数项为 I 8x丿【答案】28【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式得出通项，根据方程思想得出r的值，再求出其常数项。【详解】Tr = C；(2x)8丄(占)=(1)r28C8rx8s，8x由 8 -4r =0 ,得 r = 2，故所求的常数项为(-1)2C； =28.【点睛】二项式中含有负号时，要把负号与其后面的字母看作一个整体，计算中要特别注意符号。11. 已知四棱锥的底面是边长为 J2的正方形，侧棱长均为

9、 J5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为n【答案】4【解析】【分析】根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径。【详解】四棱锥的高为、.亍二2 ,1故圆柱 高为1，圆柱的底面半径为-,2故其体积为二 11= 一。12丿4【点睛】圆柱的底面半径是棱锥底面对角线长度的一半、不是底边棱长的一半。x =2 + 2cos 日，12.设a R，直线axy2=：0和圆(二为参数)相切，贝V a的值为y =1 +2s inG3【答案】-4【解析】【分析】根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标，再根据直线与圆相切的条件得出a满足的方程，解

10、之解得。【详解】圆心坐标为(2,1)，圆的半径为2，所以222，.a2 1即 4a2 4a 1 = 4a24，3解得a = 3。4【点睛】直线与圆的位置关系可以使用判别式法，但一般是根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小作出判断。(x+1)(2y+1)13.设 x=0, y=0, x+2y=5，贝y的最小值为 【答案】4.,3【解析】【分析】把分子展开化为2xy 6，再利用基本不等式求最值。【详解】(x 1)(2y 1) _2xy x 2y 12xy 6 Z 2xy 6 .xy , xy等号当且仅当xy=3，即x=3,y=1时成立。故所求的最小值为4、3。【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证

11、等号是否能够成立。14.在四边形ABCD中，AD / BC, AB =2.3, AD =5,乙A = 30，点E在线段CB的延长线上，且AE 二 BE，则 BD AE 二【答案】-1【解析】【分析】 可利用向量的线性运算，也可以建立坐标系利用向量的坐标运算求解。【详解】解法一：如图，过点 B作AE的平行线交 AD于F , 因为AE =BE，故四边形 AEBF为菱形。2因为.BAD =30，AB = 23，所以 AF = 2，即 AF AD .5因为董扁為一叙AB二AD，5所以BD= (AD -AB)AB -2 AD)52 2 2AD5-2 3 53 一12一10 - -1.52解法二：建立如图

12、所示的直角坐标系，则B(2 .3,0)，D引。3因为 AD / BC , BAD =30，所以 CBE =30 , 因为 AE 二 BE，所以 BAE =30 ,所以直线BE的斜率为，其方程为3(x-2、3),直线AE的斜率为，其方程为3.3xy=（x2冋，由3_得 x=3, y = J,I 品所以 E（.、3, -1）【点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法,在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便。三.解答题.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤15.在VABC中，内角A,B,C所对边分别为a,b,c.已知b c = 2a，3csin B = 4asinC .（i）求cos

13、B的值;ji（n）求 sin |2 b +的值.【答案】（i） cosB （n） sini2B -4I 6丿【解析】【分析】i）由题意结合正弦定理得到a,b,c的比例关系n ）利用二倍角公式首先求得 sin 2B,cos2B的【详解】（I）解：在VABC中，由正弦定理得 3bsinC =4asinC，即 3b =4a 又因为 b兀后利用余弦定理osB的值2a，得到b玄公式sin CBsinC =csin，又由 3n B 二 4asinC ,cosB =22 b2aS2!2a c -b992 a ta(n)解:由（i）可得一 J15J15sin B = 1 - cos2 B，从而 sin 2B

14、= 2sin B cos B =48cos2B =cos2 B -sin2B 7，故871f7T5 73 7 135 + 716sin I2Bsin2Bcoscos2Bsin16 丿 6 68282【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定 理？余弦定理等基础知识.考查计算求解能力.216.设甲、乙两位同学上学期间，每天7： 30之前到校的概率均为 一 假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，3且任一同学每天到校情况相互独立（I）用X表示甲同学上学期间的三天中7： 30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；（n）设M为事件上学期间的三

15、天中，甲同学在7: 30之前到校的天数比乙同学在 7: 30之前到校的天数恰好多2”，求事件 M发生的概率20【答案】（I）见解析；（n）243【解析】【分析】I）由题意可知分布列为二项分布，结合二项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项分布的期望公式求解数学期望即可；7:30之前到校的概率均为-,3n）由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值【详解】i ）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天故XB3,|，从面PX鳥15所以，随机变量 X的分布列为:X0123P127498272随机变量X的数学期望E(X) =32.3n )设乙同学上学期间的三天中 7:30之前到校

16、的天数为 Y，则YB 3,-. I 3丿且 M 二X =3,Y=1UX =2,Y=0.由题意知事件7X = 3,Y =1：与IX =2,Y=0f互斥，且事件=3；与！丫 =1，事件7X =2!与！Y=Of均相互独立，从而由I )知：P(M )二 P :X =3,Y =1?LEX =2,Y =0?二P X =3,Y =1 P X =2,Y =0= P(X =3)P(Y =1) P(X =2)P(Y =0)8 2 4 120=x + x 27 9 9 27 243 【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题

17、的能力17.如图，AE _平面 ABCD, CF / AE, AD / BC , AD AB, AB=AD=1, AE = BC=2.li(I)求证：BF /平面ADE ;(n)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；1(川)若二面角 E -BD -F的余弦值为-，求线段CF的长.348【答案】（I）见证明；（H）4 （川）-97【解析】【分析】首先利用几何体的特征建立空间直角坐标系I）利用直线BF的方向向量和平面 ADE勺法向量的关系即可证明线面平行；n ）分别求得直线 CE的方向向量和平面 BDE的法向量，然后求解线面角的正弦值即可；川）首先确定两个半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值计算

18、公式得到关于CF长度的方程，解方程可得CF的长度.【详解】依题意，可以建立以 A为原点，分别以 AB, AD, AE的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系如图），可得 A 0,0,0 ,B 1,0,0 ,C 1,2,0 ,D 0,1,0 ,E 0,0,2 .设 CF 二 h h 0，则 F 1,2,h .I）依题意，AB二1,0,0是平面ADE的法向量,又 BF h,2,h，可得 BF AB =0，又因为直线BF二平面ADE，所以BF /平面ADE .n )依题意,BD =(-1,1,0), BE =(-1,0, 2), CE=(-1,-2,2),设n二x, y, z为平面 BDE的法

19、向量,A BD =0-x y =0则 nBEn，即-x 20，不妨令z=1，可得n = 2,2,1 ,因此有cosC|CE|4所以，直线CE与平面BDE所成角的正弦值为川)设m = x, y, z为平面BDF的法向量，则9m bD = o m = ox y = 0 ，即y2y+ hz= 0不妨令y=l，可得m二1,1-l h.丿由题意，有 cos m, nm n/ 24h_3；2 h2经检验，符合题意？所以，线段CF的长为8.7【点睛】本题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力2 218.

20、设椭圆 笃 笃=1(a b 0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为a b4,离心率为(I)求椭圆的方程；(n)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、 下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上若|ON | =|OF |( O为原点)，且OP _ MN，求直线PB的斜率.【答案】(I) (n)耳0或一乙臾.55【解析】【分析】I )由题意得到关于a, b, c的方程，解方程可得椭圆方程；n)联立直线方程与椭圆方程确定点P的值，从而可得 OP的斜率，然后利用斜率公式可得 MN的斜率表达式,最后利用直线垂直的充分必要条件得到关于斜率的方程，解方程可得直线的斜率【详解】i )设椭圆的

21、半焦距为c，依题意，24,-=，又a2=b2+c2，可得a = J5 , b=2, c=1.a 5所以，椭圆方程为n）由题意，设P Xp,yp Xp = 0 ,M Xm ,0 .设直线PB 斜率为k k = 0 ,又B 0, 2，则直线PB的方程为y二kx 2，与椭圆方程联立y 二 kx 2.2._ 2xy，一+二=1.54整理得4 5k2 x220kx =0，可得 xP20 k4 5k228 -10k代入 y 二 kx 2 得 yP-,4+5k2y 4 - 5k 2进而直线OP的斜率空:Xp-10k 在 y =kx 2 中，令 y =0，得 xM由题意得N 0, -1，所以直线 MN的斜率为

22、4 - 5k2k由OP _MN，得红卫J 一上-10k I 2 .丿化简得k2逬从而k 一乎.的所以，直线PB的斜率为 亠30或- 30-55【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质？直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力19.设3/是等差数列，bn是等比数列.已知a1 =4,bi =6 ,b2a2,b2as 4.(i)求Ca,和Cbn ?的通项公式;(n)设数列Cn 满足 G =1,G =1；1, 2kcnc2宀S,n =2k,(i)求数列a2n c?n -1 f的通项公式;2n(ii )求 E aicj (n e N).i 4

23、【答案】(I )an=3n 1；0=32n ( n )( i )a2nc2n-1 =941( ii )2nx ac n N行=27 22n，5 2nJ1 一n12 n N*i 4【解析】【分析】I)由题意首先求得公比和公差，然后确定数列的通项公式即可；n)结合I )中的结论可得数列 a2n c2n -1 ?的通项公式，结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进行等2n价变形，结合等比数列前n项和公式可得a aicj的值.i 4【详解】I )设等差数列寺的公差为d，等比数列fbn?的公比为q.依题意得，解得d,lq = 26q =2 4 d -2 =6 2d26q = 2 4 2d 产 4 T2

24、4d故 an =4 (n -1) 3=3n 1 , bn = 6 2nJ =3 2n.所以，a f的通项公式为an =3n -1, 也? 的通项公式为bn =3 2n.n) a2n c2n -1 二a2n bn -1 = 3 2n 1 3 2n -1 =9 4n -1. 所以，数列、a2n c2n 1-的通项公式为a2n C2“ 一1 - 9 4 1.2n2nii ) aiCi 二為i 1i A2naai Ci -1 八i =12nq a2ic2i -1i d=3 22n 4 -5 2n494 1 -4nn1-4诂 22n4 - 5 2n4 -n-12 n N* .【点睛】本题主要考查等差数列

25、 ？等比数列的通项公式及其前 n项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力20.设函数f(x) =ex cosx, g(x)为f x的导函数.（i）求f x的单调区间；（n）当 x / 时，证明 f（x） g（x） x 0 ；14 2辽丿（川）设Xn为函数U（X）= f （x） -1在区间Inji2m+ ,2mx+内的零点，其中l42丿n ：= N，证明312n xn :2-2 n -e 71sin x()-cosx0【答案】单调递增区间为 2k二丄，2k二 一（k Z）, f（x）的单调递减区间为44a 5 k ( Z . ()n)见证明;4（川）见证明【解析

26、】分析】I）由题意求得导函数的解析式，然后由导函数的符号即可确定函数f x的单调区间;n ）构造函数h x二f x xx，结合I ）的结果和导函数的符号求解函数h x的最小值即可证得题中的结论;当 x 2k,2k二I 4【详解】i ）由已知，有f所以，f X的单调递增区日川）令yn二Xn -2n二，结合fJI当刘4來函数的单调性和零点的性质放缩不等式即可证得题中的结果-sinx ).，有 sin x - cosx，得 f x ： 0 ,则 f x 单调递减;,有sin x ： cosx，得f x 0，则f x单调递增.r5 二4 k Z.f I x j的单调递减区间为I 2k: , 2k;n)

27、记 h x = f x fg -x .依题意及I )有： g x=e cosx-s inx ,g x : 0，故从而 g(x)2exsinx.当 x 42h(x) =f(x)g(x) -x12g(xg(x) RX 0.I 3T Itf Tt i因此hx在区间上单调递减，进而h（xHh -所以，当xw F， j4 2 JJI心,f(x) g(x)厂 x0川)依题意，u 人=f xn -1=0，即 exnCOSXn=1记 yn =Xn 2n二，贝y(31yn /2JI且 f yn =eyn cosyn=ex2n cos x _2n二 _en二 nN.由 f yn二 e；1 = f y 及 I)得 yny。.）知，当xT时g x 0 ,所以丿、兀兀Igx在越上为减函数，因此 g yn , g Y0 ： g - -0.14丿又由n）知i兀f yn g yn - - yn 0，故:yn,f yn e” g yneneneny ;: g yng ye 0 sin y-cosy。sin x-cosx0K所以 2nXn :2sin 心一cosx0.考查函数思想和【点睛】本题主要考查导数的运算 ？不等式证明？运用导数研究函数的性质等基础知识和方法化归与转化思想.考查抽象概括能力？综合分析问题和解决问题的能力