第三章--一元函数积分学及其应用

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1、第三章 一元函数积分学及其应用知识点拔：3.1 不定积分的概念及其性质一、不定积分的概念1、原函数的定义 设函数在区间I上有定义，如果存在可导函数，在区间I上对任意的都有有，则称函数为在I上的一个原函数.注释：（1）只有对都有成立，才是在I上的一个原函数，若有一点不满足都不能称为是的原函数.如就不是的一个原函数（2）原函数存在定理：若在区间I上连续，则在I上必存在原函数. 在I上连续只是存在原函数的充分条件，而不是必须条件.如在不连续，但它有原函数 若在区间I存在原函数且存在间断点，则其间断点必是第二类间断点.（3）如果在区间I上存在原函数，则的原函数有无穷多个.（4）在I上的任意两个原函数之

2、间，只相差一个常数.（5）若是的一个原函数，则是的全体原函数，而为任意常数.2、不定积分的概念定义 函数在区间I上的全体原函数，称为函数在I上的不定积分，记作：，即（为任意常数）.注意：二、不定积分的性质设，其中为的一个原函数，为任意常数，则（1），或；（2），或；（3）（必须在和都可积的前提下，也可以推广到有限个可积函数的情形）；（4）.三、不定积分的基本公式1、； 2、为常数；3、； 4、；5、； 6、，；7、； 8、；9、； 10、；11、； 12、；13、； 14、；15、； 16、；17、； 18、；19、； 20、；21、； 22、；23、，；24、； 25、；3.2 不定积分的积

3、分法一、直接积分法：即利用不定积分的基本公式和不定积分的性质直接积分.二、第一换元积分法（也叫凑微分法）设有原函数，可导，则有=.积分思路：首先在被积函数中分解一个“因式”出来，再把这个因式与结合凑成一个函数的微分，然后将这个函数作为新的积分变量，求出不定积分.积分过程：首先在被积函数中分解一个“因式” 出来，即 .常见的几种凑微分形式：； ； ； ；.三、第二类换元积分法设函数具有连续导数，且，又设具有原函数，则有=.积分思路：主要是选择适当的变换，来消除被积函数中的根号，然后求出不定积分.积分过程： .1、无理代换（1）若被积函数中含有根式（为正整数，为常数，且），一般令；（2）若被积函数

4、中含有根式的积分，一般令，即可转化为有理函数的不定积分；（3）若被积函数中含有两种或两种以上的根式时，可令（其中为各根式指数的最小公倍数）.2、三角代换若被积函数中含有，设；若被积函数中含有，设；若被积函数中含有，设.3、倒代换如果被积函数的分子和分母关于积分变量的最高次幂分别为和，且分子分母中均为“因式”时，可作倒代换来消去在被积函数的分母中的变量因子.如 ，又如：，可作代换.4、万能代换万能代换常用于三角有理式的积分，设，.5、三角函数有理式的积分（1）如果被积函数是关于和的一次分式时，可试用万能替换法；（2）若是关于的奇函数，即，可设；（3）如果是关于的奇函数，即，可作变换；（4）如果，

5、可设；（5）若被积函数是，且和中至少有一个数为奇数（不妨设，），可设；（6）若被积函数是，且和都是偶数，可由三角公式，代入被积函数化简，一种情况是含有或的奇数次幂，则用方法（5）求之；另一种情况是仍含有和的偶数次幂，则继续使用上述方法化简，转化为以和为变数的幂函数相乘，以此类推.（7）如果被积函数是，或，或，则利用积化和差公式，然后再求不定积分.四、分部积分法若，是可微函数，且不定积分存在，则也存在，且有.注释：（1）分部积分法，主要是解决被积函数是两类或两类以上不同函数乘积的不定积分，在使用分部积分法时，要恰当地选择和，即求比较困难，而求比较容易. 一般可依次选取的顺序为：反三角函数、对数函

6、数、幂函数、指数函数、三角函数，一般只要被积函数中含有对数函数或反三角函数时，常使用分部积分法.（2）在求指数函数和三角函数乘积的积分时，需使用两次分部积分，且每次选取和需是同类型的函数，否则两次积分后将出现恒等式. 当两次积分后等式右端将会出现原来的不定积分，此时移项解方程，可求得原来的不定积分，当等式右端不出现积分号时，必须加上任意常数.3.3 定积分的概念及性质一、定积分的概念1、定积分的定义设是定义在上的有界函数，在内任意插入个分点，将区间分为个小区间（），在每个小区间上任一取点，且的长度记为，作和式，若当时，上述和式的极限存在且与区间的分法无关，也与的取法无关，则称该极限值是函数在区

7、间上的定积分，记作，即.其中称为被积函数，称为积分表达式，称为积分变量，称为积分区间，分别称为积分下限和积分上限.注释：（1）定积分表示一个数，它的值只取决于被积函数和积分上、下限，而与积分变量使用什么字母无关，即.（2）定积分定义中曾假设，事实上，由定义知当时，有.而对于任意的，有. （3），.2、可积的必要条件若函数在上可积，则在上必有界.3、可积的充分条件（1）若函数在上连续，则在上可积.（2）若函数在区间上有界，且只有有限个间断点，则在上可积；或函数在上只有有限个第一类间断点，则在上可积.（3）分段连续函数是可积的.（4）若是上的单调有界函数，则在上可积. 也就是说，单调有界函数，即使

8、有无穷多个间断点，但这些不连续的点若存在一个极限点，则在上可积.（5）初等函数在其定义区间内的任一子区间上都是可积的.注释：这几个条件都是充分条件，不是必要条件；原函数的存在与可积之间没有必然的关系，函数存在原函数但不一定可积. 如： 在上存在原函数，但它在上不可积，；若函数可积，但不一定存在原函数. 如在上可积，但在区间上不存在原函数.二、定积分的几何意义函数在区间上的定积分是曲线与直线，以及轴所围成的曲边梯形面积的代数和，曲线在轴的上方取正号，在轴下取负号.1、若，则定积分表示由曲线与直线，以及轴所围成的曲边梯形面积，即；2、若，则定积分表示由曲线与直线，以及轴所围成的曲边梯形面积的负值，

9、即；3、若在区间内有正有负，则定积分表示由曲线与直线，以及轴所围成的各部分图形面积的代数和，即.三、定积分的性质性质1 两个可积函数和或差的定积分等于它们定积分的和或差，即一般地，若（为有限数）都是可积函数，则；性质2 被积函数中的非零常数因子可以提到积分号的外边，即；性质3 如果在上有，则，特别地，当时，有；性质4（区间可加性） 对任意的常数，有；性质5（单调性） 若在上有，则，特别地，若在上有，则；性质6（绝对可积性） 若在区间上可积，则在区间上也可积，且有 ，一般的有 ；特别地，若在区间上可积，则在区间上不一定可积，如；性质7（估值不等式） 设分别是在区间上的最小值与最大值，则；性质8（

10、积分中值定理） 设在上连续，则至少存在一点，使得，而称为在区间上的平均值； 3.4 定积分的计算一、几个重要结果1、奇偶函数的积分性质若在上是奇函数，则；若在上是偶函数，则；2、周期函数的积分性质设是以T为周期的函数，为常数，则有 ，其中为正整数.3、若在上连续，则，常用于计算形如或的定积分；4、几个常用的定积分变换公式设在上连续，则； ； .注释：常用于计算形如的定积分；二、牛顿莱布尼兹公式设函数在上连续，是的任一个原函数，则.注释：必须是在上的连续函数的一个原函数，否则将会导致解题错误，如=是错误的，因为虽然，但不是函数在上的一个原函数，才是在上的一个原函数，故正确解法是.三、定积分的换元

11、积分法与分部分法1、定积分的换元积分法设在上连续，若变量替换满足 （1）在（或上连续；（2）且当时，.则 .2、定积分的分部积分法设，在上连续，则或 .3.5 积分上限函数一、变限积分的概念若在上可积，是上的任意一点，则称为积分上限函数（或变上限积分）；而称为积分下限函数.二、变限函数的性质若在上可积，则变限函数在上连续.三、微积分基本定理（原函数存在定理）若在上连续，则在上可导，且即是的一个原函数.四、变限函数的导数公式若是连续函数，是可导函数，则（1）；（2）；（3）.3.6 广义积分一、无穷区间上的广义积分1、概念设函数在上有定义，且在任何有限区间上可积，如果极限存在，则称此极限值是函数

12、在上的无穷广义积分，也称广义积分是收敛的记作：；如果上述极限不存在，则称广义积分是发散的.类似地可以定义广义积分，若右式的极限存在，称广义积分是收敛的，否则是发散的.当和都收敛时，称广义积分是收敛的，且与的值无关，否则称广义积分是发散的.注释：判断的收敛性不能用的极限存在性；但如果已知是收敛的，而求它的值，可以通过计算是可以的.2、无穷广义积分的性质（1）若收敛，则，为常数.（2）若，都收敛，则也收敛，且有.（3）设在上连续，如果下面等式中有两项存在，则第三项也存在，且有.（4）若在任何有限区间上可积，且收敛，则也收敛，且有.3、常用的几个特殊广义积分的敛散性 二、无界函数的广义积分（也称瑕积

13、分）1、概念定义1 设在上有定义，而，称b为的瑕点.定义2 设在上有定义，为瑕点，且对任意的，在上可积，即极限存在，则称该极限值为无界函数在上的广义积分或叫瑕积分，记作：或，此时也称广义积分是收敛的；若上式的极限不存在，则称广义积分发散.类似地可以定义瑕点为时的广义积分，其中在上有定义，为瑕点，且在任何上可积.定义3 如果在内部有瑕点，则定义瑕积分 当且仅当右边的两个瑕积分都收敛时收敛，否则发散.2、瑕积分的性质（1）若为瑕点且积分收敛，则也收敛，且有，其中为常数.（2）若与的瑕点同为，且瑕积分与都收敛，则也收敛，且有.（3）定积分的分部积分法与换元积分法对瑕积分也成立.（4）设是的瑕点，在内

14、的任一闭区间上可积，若积分收敛，则 也收敛，且有.3、几个特殊积分的敛散性1当时，收敛；当时发散；2当时，收敛；当时发散；3当时，收敛；当时发散；3.7 定积分在几何上的应用一、定积分的元素法用元素法解决应用问题的步骤：（1）根据问题的具体情况，选取一个变量（如：）为积分变量，并确定其变化区间；（2）分割为个小区间，在其中任一小区间上求出该小区间的部分分量的近似值；（3）以所求量的元素为被积表达式，在区间上作定积分求.1、平面图形的面积计算（1）直角坐标系下的情形型的平面图形面积：（图（1），其中是由连续曲线和直线所围成图形的面积.型的平面图形面积：由连续曲线和直线所围成的平面图形的面积.（图

15、（2）.注释：较为复杂图形的面积计算，可将图形分割为若干小图形，使其符合型或型，然后求面积和（2）极坐标系的情形由连续曲线和射线围成的平面图形面积，（图（3）由连续曲线和射线所围成图形的面积（图（4）.（3）曲线方程是参数方程形式的情况设曲线C的参数方程为，在上具有连续导数，且不变号，且连续，则由曲线和直线，轴围成的平面图形的面积2、特殊的空间立体的体积计算（1）已知平行截面面积的立体体积设在空间直角坐标系中，有一个立体夹在垂直于轴的两个平行平面与之间，它被垂直轴的平面截得的截面面积为，且在上连续，则立体的体积.（2）绕坐标轴旋转的旋转的体积平面图形由曲线与直线，轴所围成.烧轴旋转一周而成的旋转体的体积为；绕轴旋转一周而成的旋转体的体积为；由连续曲线及直线，轴所围成的平面图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积；烧轴旋转一周而成的旋转体的体积.3、平面曲线的弧长计算（1）曲线为参数形式的平面曲线的弧长公式设曲线是由参数方程给出的光滑曲线，即在上具有连续的导数，则曲线段弧长为.（2）曲线方程为直角坐标方程的弧长公式设曲在上是光滑曲线，则曲线段的弧长为.（3）曲线方程为极坐标方程的弧长公式设曲线段是由极坐标方程，给出的光滑曲线，则曲线段的弧长为.15