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1、高考经典题解题研究（一）三角函数与平面向量【例1】（2009年全国高考第卷理科第（16）题）若，则函数的最大值为 .解法1：令， 函数的最大值为.解法2：（判别式法）令，则， 则整理得关于的方程有解，或，.函数的最大值为. 点评：对于可以转化为“关于自变量的一元二次方程型的函数”的值域（或最值）的问题，可以利用判别式法求解，但要保证在自变量取值范围内有解（最值问题要保证等号成立）.解法3：（基本不等式法）由解法2得， 当时取等号，函数的最大值为. 点评：对于或型的函数，先分离常数，然后用基本不等式求最值，但要注意基本不等式使用的条件（项全正、积或和为定、验证等号成立）.解法4：（导数法）由解法
2、2得得， 令，得或（舍去），易验证当时，.点评：导数法是最值的有效手段，但要熟练演出掌握求导公式和求导法则及其对极值和最值的判定方法.解法5：（根的分布法）由解法2知方程在上有解，令，对称轴，要使在上有解，只要，解得，.解法6：（数形结合法）由解法2得， 可以看作是点与点连线的斜率， 而点的轨迹是抛物线 的一部分，由图象得过点的直线与曲线相切时，斜率最大， 设切点为，则， 于是，由导数的几何意义，得， 切线的斜率为，.点评：数形结合是数学解题中的较高境界. 要求考生“见数联形，心中有形”，有机地把代数与几何的知识整合在一起，有一定的探索和创新能力.【例2】（2010年全国高考新课程卷理科第（1
3、6）题）在ABC中，D为边BC上一点，BD=DC，ADB=120，AD=2，若ADC的面积为，则BAC=_.解法1：由的面积为，得，过A作DC的垂线，设垂足为E，如图，则，点E在边DC上， ，. 特别地，由，知，.解法2：，在ADC，在ADB，在ABC中，由余弦定理得,. 解法3：，在ADC，又，又，解法4：先求得， 于是，在中，得， 从而，在中，由正弦定理，得 ， 结合，知，又在中， 由，得， 故解法5：， 设a，b，则b，| a |=2,| b |,于是ba，得， 由，得 ， 又，从而， 得 .解法6：如图，建立平面直角坐标系， 【例3】（2010年全国高考新课程卷文科第（16）题）在中，
4、D为BC边上一点，,.若,则BD=_.解法1：设，则，在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得 ，又，解得，故解法2：如上图，设，则由题设易知，向量与的夹角为，于是， ，从而，由，得 ， 又由，得，于是，又，解得，故解法3：如图，作于点E，,，易知设，则由，知，于是，在中，在中， 从而，由，得，即，由于，解得，故解法4：如图，建立平面直角坐标系，设，由题设易知 ，得，即，由于，解得，故解法5：如图，建立平面直角坐标系，先求满足条件“”的点A的轨迹，设点，易知，由，得， 即， 点A的轨迹为圆P，且圆心为，半径为，再结合题意求解，如图3-18，在中， ，得，即，由于，解得，故【例4】（2010年
5、全国高考第卷理科第（17）题）已知的内角A，B及对边a，b满足，求内角C.解法1：过点C作于D，如图，设， 则， 于是条件化为， 即，平方并整理得， 两边再平方得，于是是直角三角形，且解法2：由正弦定理得，即，又，解法3：由正弦定理得，即，两边平方并整理得，于是，或，当时，条件化为，故当时，综上，解法4：由正弦定理得， 由及三角函数的和差化积公式，得， 在中， 又，解法5：由，利用余弦定理、正弦定理及三角形面积公式，可得 ， 【例5】（2010年全国高考第卷理科第（8）题）中，点D在AB上，CD平分，若a，b，则 （ ）（A）ab （B）ab （C）ab （D）ab解法：由三解形内角平分线性质定理得， babab.应选B.解法：（特殊值法）构造直角三角形，让，则，abaab.应选B.解法：如图，CD平分，易知a，ab.应选B. 解法：由于CD平分， 设， A，D，B三点共线， 又由，及两式相除并化简，得，由解得，应选B.解法：由a，b，CD平分，点分所成的比，a bab.应选B.
高考经典题解题研究（一）三角函数与平面向量
