高考数学归纳法的常考题型
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1、高考数学归纳法的常考题型文/谭著名一、题意直接指明利用数学归纳法证题的探索题型例1 已知数列满足:.(1)猜想数列的单调性,并证明你的结论.(2)证明:.(1)解:由和,得.由,猜想:数列是递减数列.下面用数学归纳法证明.当n=1时,命题成立.假设当n=k时命题成立,即,易知,那么=,即,也就是说,当n=k+1时命题也成立.结合,可知命题成立.(2)证明:当n=1时,结论成立.假设当时命题成立,则有.当时,易知.当时,.也就是说,当时命题成立.结合,可知命题成立.小结 本题中明确说明“先猜想再证明”的数学归纳法的证题思路.观察、归纳、猜想、证明是解决这类探索型问题的思维方式,其关键在于进行正确
2、、合理的归纳猜想,否则接下来的证明只能是背道而驰了.二、与正整数有关的不等式证明通常采用数学归纳法的证明题型例2 等比数列的前n项和为,已知对于任意的,点均在函数且均为常数)的图像上.(1)求r的值.(2)当时,记,证明:对于任意的,不等式成立.(1)解:因为对于任意的,点均在函数且均为常数)的图像上,所以有.当时,.当时,.又数列是等比数列,所以,公比为,.(2)证明:当时, ,则,所以.下面用数学归纳法证明不等式成立.当时,左边=,右边=.由于,所以不等式成立.假设当时不等式成立,即成立,则当时,左边=.所以当时,不等式也成立.综合,可知不等式恒成立.小结 数学归纳法是证明不等式的一种重要
3、方法.与正整数有关的不等式,如果用其他方法证明比较困难时,我们通常会考虑用数学归纳法.用数学归纳法证明不等式时,我们应分析与相关的两个不等式,找出证明的目标式子和关键点,适当地利用不等式的性质、比较法、分析法、放缩法等方法证得结论.三、利用数学归纳法比较两个与正整数有关的代数式大小的题型例3 已知数列的前n项和(n为正整数).(1)令,求证数列是等差数列,并求数列的通项公式.(2)令,试比较与的大小,并予以证明.(1)证明:在中,令n=1,可得,即.当时,.又数列是首项和公差均为1的等差数列.于是有.(2)解:由(1)可得,所以, . -,得.于是确定的大小关系等价于比较的大小.由可猜想当证明
4、如下:(i)当n=3时,由上验算可知不等式显然成立.(ii)假设当时,成立.则当时,.所以当时猜想也成立.综合(i)(ii),可知对于一切的正整数,都有所以当时,;当时,.小结 两个式子的大小关系随取值的不同而不同.像这种情况学生要注意不要由时的大小关系,得出,应向后多试验几个值后,再确定所下结论的准确性,以免走弯路.四、用数学归纳法求范围的题型例4 首项为正数的数列满足(1)证明:若为奇数,则对于一切都是奇数.(2)若对于一切,都有,求的取值范围.(1)证明:已知是奇数,假设是奇数,其中为正整数,则由递推关系可得是奇数.根据数学归纳法,可知,都是奇数.(2)解:由得于是或.由于所以所有的均大于0.所以与同号.根据数学归纳法,可知,与同号.因此,对于一切,都有的充要条件是或.小结 解答本题是从特殊值切入,找到所求的结论(的范围),再用数学归纳法证明结论的一般性,即将退至具体的开始观察,以寻求的范围,然后证明其正确性.
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