四川省成都石室中学高二数学上学期入学考试试题含解析

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1、四川省成都石室中学2020学年高二数学上学期入学考试试题（含解析）一、选择题（共12小题；共60分）1.设集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题结合一元二次不等式的解法，考察集合的并集运算。【详解】可解得集合A，选B.【点睛】解决一元二次不等式应注意大前提是二次项系数大于零时才满足：小于取中间，大于取两边。2.在等比数列中，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】应当做整体处理，可看做，求出，再进行求解。【详解】，可求出=6，选D.【点睛】等比数列的求法主要是解决的问题，整体代换解决是数学中常用的方法，考生应强化指数的相关运算。3.已知为平面

2、，为直线，下列命题正确的是( )A. ，若，则B. ，则C. ，则D. ，则【答案】D【解析】选项直线有可能在平面内；选项需要直线在平面内才成立；选项两条直线可能异面、平行或相交.选项符合面面平行的判定定理，故正确.4.与直线的距离等于的直线方程为（ ）A. B. C. 或D. 或【答案】C【解析】【分析】本题考查平行直线间的距离公式。【详解】设直线方程为，两平行直线间的距离为，解得c=0或-2。直线的方程为 或正确答案选C。【点睛】平行直线间的距离公式为5.已知向量，若，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考察的是向量的数量积公式的坐标运算、同角三角函数的求法

3、、正切角的和角公式。【详解】= ，,选B.【点睛】本题不难，但综合性强，三角函数的基本公式能熟练运用，同角三角函数能进行快速转换是本题快速解题的关键。6.已知数列的通项公式为，则满足的的取值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考察了数列通项的表示方法、不等式分类讨论的基本思想。【详解】，可得，此时可分三种情况进行讨论： 时，时， 时，所以，选B.【点睛】解题遇到不等式中未知项在分母时，需进行分类讨论，讨论时要做到不重不漏。7.若正数，满足，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了利用基本不等式求解最值问题,解题的关键是基本不等

4、式的应用条件的配凑。【详解】解:， ,当且仅当,又,解得时取等号.所以D选项是正确的.【点睛】基本不等式解法中应掌握三种最基本类型：， ，8.己知，若的角平分线所在直线方程是，则直线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题主要考查的是点关于直线的对称点、直线关于直线的对称直线，可通过设B的对称点，再根据对称性质进行求解。【详解】分析试题：由题意可知直线和直线关于直线对称。设点关于直线的对称点为，则有，即。因为在直线上，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即。故A正确。【点睛】解决直线的对称性问题对考生来说相对较抽象，可结合草图来加强理解。9.某三棱锥的三视图如图所示，

5、则该三棱锥的外接球表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先把三视图转化为几何体，进一步用球体的表面积公式进行求解。【详解】如图所示，该几何体的外接球半径为，所以，外接球的表面积为。选D.【点睛】三视图还原几何体对部分考生来说难度大，考生应多结合实物加强理解。10.在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则角A的大小为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理化边为角，再切化弦，利用和角的公式，化简求解角A.【详解】根据，由此得到角A为，故选C.11.已知直三棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答

6、案】C【解析】分析】本题主要考查向量法求异面直线所成角的余弦值【详解】以垂直于的方向为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，如图所示：则，由于，则：，即，设异面直线与所成角为，所以异面直线与所成角的余弦值:故本题正确答案为【点睛】选择合适的坐标系是解题的关键。12.2020年11月11日是石室中学周年校庆日，学校数学爱好者社团组织“解题迎校庆，我爱”的活动.其中一题如下：已知数列，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推.若该数列前项和为，则求满足，且是的倍数条件的整数的个数为（ ）A. 10B. 12C. 21D. 60【答案】A【解析】【分析】本题考查数列的应用，等差数列

7、与等比数列的前项和。将已知数列分组，使每组第一项均为1，即：，利用等比数列前项和公式，可得答案【详解】将已知数列分组，使每组第一项均为1，即：，根据等比数列前项和公式，求得每项和分别为：，每项含有的项数为：1，2，3，总共的项数为，所有项数的和为，当时，成立，N=15,当时，成立, N=55,所以多出的6项符合。综上所述，故满足条件的N可表示为，共10个，选A.【点睛】此题来自于2020年全国新课标卷试题改编，试题本身难度大，考生解决此类问题需要学会对数据分组，合理采用赋值法，也需要不断提升计算能力。二、填空题（共4小题；共20分）13.在等差数列中，则_.【答案】【解析】【分析】本次考察的是

8、等差数列通项公式的求法。【详解】，【点睛】等差数列通项公式除了掌握，考生还应掌握14.在中，内角，对边的边长分别为，满足等式，则角的大小为_.【答案】【解析】【分析】本题考查的是余弦定理。【详解】，化简得，【点睛】余弦定理涉及三个数的平方，只要观察到题中出现了之间的平方数，就应该考虑用余弦定理。15.若,满足约束条件则的最大值 【答案】【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.考点：线性规划解法16.等差数列的前项和为，且，直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则的值为_.【答案】【解析】【

9、分析】先分析的性质，再由直线方程转化出的表达式，进而求出的前n项和。【详解】由可得，为等差数列， ，为等差数列，又，当时，当时，=，=【点睛】构造数列和裂项求和是解决数列问题常用的基本方法，考生应掌握常见的裂项公式。三、解答题（共6小题；共70分）17.如图直线过点，且与直线和分别相交于，两点.（1）求过与交点，且与直线垂直的直线方程；（2）若线段恰被点平分，求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】本题考查直线方程的基本求法：垂直直线的求法、点关于点对称、点在直线上的待定系数法。【详解】（1）由题可得交点，所以所求直线方程为，即；（2）设直线与直线相交于点，因为线段恰被点平分，所

10、以直线与直线的交点的坐标为将点，的坐标分别代入，的方程，得方程组解得由点和点及两点式，得直线的方程为，即【点睛】直线的考法主要以点的对称和直线的平行与垂直为主。点关于点的对称，点关于直线的对称，直线关于直线的对称，是重点考察内容。18.如图所示，在ABC中，D是BC边上的一点，且AB=14，BD=6，ADC=，（）求sinDAC；（）求AD的长和ABC的面积【答案】（1）（2）【解析】【分析】（）在中，已知ADC=，要求sinDAC，所以将DAC用ADC和C来表示可得DAC=（ADC+C），进而用诱导公式可得， 再用两角和的正弦公式展开，利用条件可求得结果；（）在ABD中，知道一个角、两条边，

11、故可用余弦定理求边AD的长。ACD中，根据条件由正弦定理可求CD边长，进而可求BC边长，根据条件分别求的面积即可得所求。【详解】解：（）ACD中，因为DAC=（ADC+C），ADC=，所以 =； 因为 ，0C，所以 ； 所以 ； （）在ABD中，由余弦定理可得AB2=BD2+AD22BDADcosADB， 所以 ，所以 AD2+6AD160=0，即 （AD+16）（AD10）=0，解得AD=10或AD=16（不合题意，舍去）；所以 AD=10； 在中，由正弦定理得，即 ，解得CD=15；所以 ，即【点睛】三角形中已知边和角，求其它的边、角，应用正弦定理或余弦定理。已知三边，可用余弦定理求角；已

12、知两边一角，可用余弦定理求第三边；已知两边一对角，可用正弦定理或余弦定理求第三边；已知两角一边，应用正弦定理求边。19.如图，在三棱柱中，底面，是棱的中点，是棱的中点.（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在点，使得？请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在.【解析】【分析】（1）证线面平行只需证线线平行，并说明所需证明直线在平面内即可。（2）要证线面垂直可通过面面垂直来进行证明，并说明该垂直直线垂直于两平面交线。【详解】（1）取中点，连接，则，又，所以四边形是平行四边形则，又面，面，所以；（2）因为在侧面中，是棱的中点，所以，则，因为平面，所以，所以平面，又平面，所以平面平面，且平面

13、平面，过点作于，所以平面，则，所以在线段上存在点，使得【点睛】点线面的位置关系一般可以通过相互推到和转化进行证明。20.已知函数.（1）求函数的最小正周期及图象的对称轴方程；（2）中，角，所对的边分别为，若，则求函数的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】分析】通过化简和辅助角公式可得出最简式。化简得出的表达式，可用整体法转化成二次函数形式进行求值。【详解】（1）.所以最小正周期由得.函数图象的对称轴方程为.（2）.当时，取得最小值；故的值域为【点睛】三角函数考生应以基础函数的图像与性质记忆为主，求解过程中常采用换元法，此时应注意换元法中新元的定义域。21.已知四边形为直角梯形，且，点，分别在

14、线段和上，使四边形为正方形，将四边形沿翻折至使.（1）若线段中点为，求翻折后形成的多面体的体积；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)多面体一般可通过切割的方式转化成常规几何体进行求解。分析题意可得(2)求线面角需要先作直线在平面的垂线，找出垂足，进而找出直线在平面的线段投影，再根据几何关系进行求解。【详解】（1）；（2）易证所以直线与平面所成角就是直线与平面的所成角过作于点，连接，如图，由四边形为正方形，所以，所以平面，所以，所以平面，所以为直线与平面所成的角，因为为中点，所以，因为，所以，因为，所以即直线与平面所成角的正弦值是.22.已知数列满足：，.（1）求数列的通项；（2）若，求数列的前项和；（3）设，求证：.【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）采用叠加法可直接求出（2）通项为等差乘等比的形式，采用错位相减法可求得（3）复杂题型的裂项需要先进行试值，经检验。符合裂项公式，再采用叠加法求值即可。【详解】（1）因为，所以当时，；又，故（2）由（1）及题设知：，所以，所以，所以.（3）由（1）及题设知：，所以所以，即，所以又是递增数列，所以的最小值为，即证.【点睛】错位相减法一定要注意位置对应关系及两式相减后的符号正负。数列求恒成立问题基本上是通过叠加法、放缩法、裂项法、构造函数法等相关方法求得。