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1、2020学年度上学期第三次月考高二理科数学试题本试卷满分150分，考试时间120分钟。请在答题卷上作答。第I卷 选择题 （共60分）一、选择题（本大题共12题，每题5分，满分60分，每小题只有一个正确答案） 1.“1t4”是“方程1表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆”的()A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充要条件 D 既不充分也不必要条件2.下列有关命题的说法正确的是()A 命题“若x21，则x1”的否命题为“若x21，则x1”B “x1”是“x25x60”的必要不充分条件C 命题“x0R，x010”的否定是“xR，x2x10”D 命题“若xy，则sinxsiny”的逆否命题为真命题3.
2、已知双曲线1(a0，b0)，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M、N两点，O是坐标原点若OMON，则双曲线的离心率为()A B C D4.已知F1、F2为椭圆1(ab0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若AF1B的周长为16，椭圆离心率e，则椭圆的方程为()A1 B1 C1 D15.已知直线yk(x2)(k0)与抛物线C：y28x相交于A，B两点，F为C的焦点若|FA|2|FB|，则k()A B C D6.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且，N为B1B的中点，则|为()Aa Ba Ca Da7.在矩形ABCD中，AB1，BC，PA平面ABCD，PA1，则PC与平
3、面ABCD所成角是()A 30 B 45 C 60 D 908.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，MN分别是A1B1，BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值为()A B C D9.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，底面ABC是等腰直角三角形，ACB90，侧棱AA12，D，E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G，则A1B与平面ABD所成角的正弦值为()A B C D10.二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2，则该二面角的大小为()A 1
4、50 B 45 C 60 D 12011.过抛物线y22px的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，若A，B在准线上的射影为A1，B1，则A1FB1等于()A 45 B 90 C 60 D 12012.已知双曲线1的焦点为F1，F2，点M在双曲线上，且MF1x轴，则F1到直线F2M的距离为()A B C D第II卷（非选择题 90分）二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分) 13.已知p：|x4|6，q：x22x1a20(a0)，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为_14.如图所示，A，B是椭圆的两个顶点，C是AB的中点，F为椭圆的右焦点，OC的延长线交椭圆于点M，且|OF|，若M
5、FOA，则椭圆的方程为_15.F1、F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M，满足|3|，则此双曲线的渐近线方程为_16.在直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y2=4x的焦点F,且与该抛物线相交于A,B两点.其中点A在x轴上方.若直线l的倾斜角为60,则OAF的面积为.三、解答题(共6小题,共70分) 17.（10分）已知命题p：x1,2，x2a0，命题q：x0R，2ax02a0.若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围18. （12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为梯形，ABCBAD90，APADAB，BCt，PABPAD.(1)
6、当t3时，试在棱PA上确定一个点E，使得PC平面BDE，并求出此时的值；(2)当60时，若平面PAB平面PCD，求此时棱BC的长19. （12分）设F1，F2分别是椭圆E：1(ab0)的左，右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|3|BF1|.(1)若|AB|4，ABF2的周长为16，求|AF2|；(2)若cosAF2B，求椭圆E的离心率20. （12分）如下图，过抛物线y22px(p0)上一定点P(x0，y0)(y00)，作两条直线分别交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，
7、并证明直线AB的斜率是非零常数21. （12分）已知双曲线C1:x2-=1.(1)求与双曲线C1有相同的焦点,且过点P(4,)的双曲线C2的标准方程.(2)直线l:y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A,B两点.当=3时,求实数m的值.22. （12分）如下图所示，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，PAAB，ABC60，BCA90，点D，E分别在棱PB，PC上，且DEBC.(1)求证：BC平面PAC；(2)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；(3)是否存在点E，使得二面角ADEP为直二面角？并说明理由答案解析1.B【解析】1t4，04t3,0t13，当t时，4tt1，
8、曲线为圆，由“1t4”推导不出“方程1表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆”方程1表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，解得1t，1t能推出1t4，由“方程1表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆”能推出“1t0，x20，y10，y20，由得k2x2(4k28)x4k20，x1x24， |FA|x1x12，|FB|x2x22，且|FA|2|FB|，x12x22. 由得x21，B(1，2)，代入yk(x2)，得k.故选D.6.A【解析】设a，b，c，()(abc)，N为BB1的中点，ac，(ac)(abc)abc，|2(abc)2a2a2a2a2，|a，故选A.7.A【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,
9、0,1)，C(1，0)，(1，1)，平面ABCD的一个法向量为n(0,0,1)，所以cos，n，所以n120，所以斜线PC与平面ABCD的法向量所在直线所成角为60，所以斜线PC与平面ABCD所成角为30.8.B【解析】如图，由图知直线AM与CN所成角等于，()()，|，|，cos，.9.A【解析】侧棱与底面垂直，ACB90，所以分别以CA，CB，CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图空间直角坐标系，设CACBa，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，A1(a,0,2)，D(0,0,1)，E，G，(0，a,1)，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G，平面ABD，0，解得a2，(2，2,
10、2)，平面ABD，为平面ABD的一个法向量，又cos，A1B与平面ABD所成角的正弦值为，故选A.10.C【解析】由条件知，0，0，|2|2|2|2222624282268cos，(2)2，cos，120，二面角的大小为60，故选C.11.B【解析】如下图，由抛物线定义知|AA1|AF|，|BB1|BF|，所以AA1FAFA1又AA1FA1FO，所以AFA1A1FO同理BFB1B1FO于是AFA1BFB1A1FOB1FOA1FB1故A1FB19012.C【解析】不妨设点F1(3,0)，容易计算得出|MF1|，|MF2|MF1|2.解得|MF2|.而|F1F2|6，在直角三角形MF1F2中，由|
11、MF1|F1F2|MF2|d，求得F1到直线F2M的距离d为.13.0a3【解析】依题意可得p：Ax|x10，q：Bx|x1a(a0)p是q的充分不必要条件， AB且AB，实数a的取值范围是00且|AF1|3k，|AB|4k，由椭圆定义可得|AF2|2a3k，|BF2|2ak.在ABF2中，由余弦定理可得|AB|2|AF2|2|BF2|22|AF2|BF2|cosAF2B，即(4k)2(2a3k)2(2ak)2(2a3k)(2ak)，化简可得(ak)(a3k)0，而ak0，故a3k，于是有|AF2|3k|AF1|，|BF2|5k，因此|BF2|2|AF2|2|AB|2，可得F1AF2A，故AF
12、1F2为等腰直角三角形从而ca，所以椭圆E的离心率e.20. 【解析】(1)当y时，x，又抛物线y22px的准线方程为x，由抛物线定义得，所求距离为.(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，由y2px1，y2px0，相减得(y1y0)(y1y0)2p(x1x0)，故kPA(x1x0)同理可得kPB(x2x0)由PA、PB倾斜率角互补知kPAkPB，即.y1y22y0，故2.设直线AB的斜率为kAB，由y2px2，y2px1，相减得(y2y1)(y2y1)2p(x2x1)kAB(x1x2)将y1y22y0(y00)代入得kAB，所以kAB是非零常数21.【解析】(1)双曲线C1的
13、焦点坐标为(,0),(-,0),设双曲线C2的标准方程为-=1(a0,b0),则解得双曲线C2的标准方程为-y2=1.(2)双曲线C1的渐近线方程为y=2x,y=-2x.设A(x1,2x1),B(x2,-2x2).由消去y化简得3x2-2mx-m2=0,由=(-2m)2-43(-m2)=16m20,得m0.x1x2=-,=x1x2+(2x1) (-2x2)=-3x1x2,m2=3,即m=.22.以A为原点，分别为y轴、z轴的正方向，过A点且垂直于平面PAB的直线为x轴，建立空间直角坐标系Axyz，设PAa，由已知可得：A(0,0,0)，B(0，a，0)，C，P(0,0，a)(1)(0,0，a)，0，BCAP，又BCA90，BCAC，BC平面PAC.(2)D为PB的中点，DEBC，E为PC的中点，D，E，由(1)知， BC平面PAC，DE平面PAC，垂足为点E，DAE是AD与平面PAC所成的角，cosDAE，AD与平面PAC所成的角的正弦值为.(3)DEBC，又由(1)知BC平面PAC，DE平面PAC，又AE平面PAC，PE平面PAC，DEAE，DEPE，AEP为二面角ADEP的平面角PA底面ABC，PAAC，PAC90，在棱PC上存在一点E，使得AEPC，这时AEP90，故存在点E，使得二面角ADEP是直二面角
安徽省定远重点中学高二数学上学期第三次月考试题理
