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1、平方根概念解题的几个技巧 平方根在解题中有着重要的应用.同学们想必已经知到.但是,今天要告诉同学们的是它的几个巧妙的应用.希望对大家的学习有所帮助. 一、巧用被开方数的非负性求值. 大家知道，当a0时，a的平方根是，即a是非负数. 例1、若求yx的立方根. 分析 认真观察此题可以发现被开方数为非负数,即2x0,得x2;x20,得x2;进一步可得x=2.从而可求出y=6. 解 , x=2; 当x=2时,y=6.yx=(6)2=36. 所以yx的立方根为. 二、巧用正数的两平方根是互为相反数求值. 我们知道，当a0时，a的平方根是，而例2、已知：一个正数的平方根是2a1与2a，求a的平方的相反数的
2、立方根.分析 由正数的两平方根互为相反得:(2a1)+(2a)=0,从而可求出a=1,问题就解决了.解 2a1与2a是一正数的平方根,(2a1)+(2a)=0, a=1. a的平方的相反数的立方根是三、巧用算术平方根的最小值求值.我们已经知道,即a=0时其值最小,换句话说的最小值是零.例3、已知：y=,当a、b取不同的值时，y也有不同的值.当y最小时,求ba的非算术平方根.分析 y=,要y最小，就是要和最小，而0，0，显然是=0和=0，可得a=2,b=1.解 0，0，y=，=0和=0时，y最小.由=0和=0，可得a=2,b=1. 所以ba的非算术平方根是四、巧用平方根定义解方程.我们已经定义:
3、如果x2=a （a0）那么x就叫a的平方根.若从方程的角度观察,这里的x实际是方程x2=a （a0）的根.例4、解方程（x+1）2=36.分析 把x+1看着是36的平方根即可.解 （x+1）2=36 x+1看着是36的平方根. x+1=6. x1=5 , x2=7.例4实际上用平方根的定义解了一元二次方程(后来要学的方程).你能否解27(x+1)3=64这个方程呢?不妨试一试.利用平方根的定义及性质解题如果一个数的平方等于a（a0），那么这个数是a的平方根根据这个概念，我们可以解决一些和平方根有关的问题例1 已知一个数的平方根是2a1和a11，求这个数分析：根据平方根的性质知：一个正数的平方根
4、有两个，它们互为相反数互为相反数的两个数的和为零解：由2a1+a11=0，得a=4，所以2a1=241=7所以这个数为72=49例2 已知2a1和a11是一个数的平方根，求这个数分析：根据平方根的定义，可知2a1和a11相等或互为相反数当2a1=a11时，a=10，所以2a1=21，这时所求得数为(21)2=441;当2a1+a11=0时,a=4,所以2a1=7,这时所求得数为72=49.综上可知所求的数为49或441.例3 已知2x1的平方根是6,2x+y1的平方根是5,求2x3y+11的平方根.分析:因为2x1的平方根是6,所以2x1=36,所以2x=37;因为2x+y1的平方根是5,所以
5、2x+y1=25,所以y=262x=11,所以2x3y+11=373(11)+11=81,因为81的平方根为9,所以2x3y+11的平方根为9.例4 若2m4与3m1是同一个数的平方根，则m为（ ）（A）3 （B）1 （C）3或1 （D）1分析：本题分为两种情况：（1）可能这个平方相等，即2m4=3m1，此时，m=3；（2）一个数的平方根有两个，它们互为相反数，所以（2m4）+（3m1）=0，解得m=1所以选（C） 练一练:1. 已知x的平方根是2a13和3a 2,求x的值.2. 已知2a13和3a2是x的平方根,求x的值3.已知x+2y=10,4x+3y=15,求x+y的平方根.答案:1.4
6、9;2. 49或1225; 3.估计方根的取值，你会吗在实数的学习中，关于估计方根的取值问题屡见不鲜解答它们，要注意灵活利用平方根或立方根的定义，从平方或立方入手例不求的值，正确的是（）（A）3.153.16（B）3.163.17（C）3.173.18（D）3.183.19.分析：表示10的算术平方根，要确定在3.15、3.16、3.17、3.18、3.19当中的哪两个数之间，只需看看10在这五个数的哪两个数的平方之间.解：计算知，.所以10.所以3.163.17，应选B.例2估计68的立方根的大小在( )（A） 2与3之间 （B）3与4之间 （C） 4与5之间 （D）5与6之间.分析：要估计
7、68的立方根的大小在哪两个连续整数之间，只需看看68在哪两个连续整数的立方之间解：计算知，所以68所以45，应选B例3下列各数与最接近的是（）（A）2.5（B）2.6（C）2.7（D）2.8.分析：要比较2.5、2.6、2.7、2.8这四个数哪个与更接近，只需看看这四个数中哪个数的平方更接近7.解：计算知，.因为，所以比、更接近7，所以2.6比2.5、2.7、2.8更接近.应选B.平方根典例分析平方根是学习实数的准备知识，是以后学习一元二次方程等知识的必备基础，也是中考的必考内容之一.现以几道典型题目为例谈谈平方根问题的解法，供同学们学习时参考.一、基本题型例1 求下列各数的算术平方根（1）；
8、（2）；（3）.分析：根据算术平方根的定义，求一个数的算术平方根可转化为求一个数的平方等于的运算，更具体地说，就是找出平方后等于的正数.解：（1）因为，所以的算术平方根是，即；（2）因为，所以的算术平方根是，即；（3）因为，又，所以的算术平方根是，即.点评：这类问题应按算术平方根的定义去求.要注意的算术平方根是3，而不是3.另外，当这个数是带分数时，应先化为假分数，然后再求其算术平方根，不要出现类似的错误.想一想：如果把例1改为：求下列各数的平方根.你会解吗？请试一试.例2 求下列各式的值（1）； （2）； （3）； （4）.分析：表示的平方根，故其结果是一对互为相反数；表示的负平方根，故其结
9、果是负数；表示的算术平方根，故其结果是正数；表示的算术平方根，故其结果必为正数.解：（1）因为，所以=9.（2）因为，所以.（3）因为=，所以=.（4）因为，所以.点评：弄清与平方根有关的三种符号、的意义是解决这类问题的关键.表示非负数的平方根.表示非负数的算术平方根，表示非负数的负平方根.注意.在具体解题时，符与“”的前面是什么符号，其计算结果也就是什么符号，既不能漏掉，也不能多添.例3 若数的平方根是和，求的值.分析：因负数没有平方根，故必为非负数，故本题应分两种情况来解.解： 因为负数没有平方根，故必为非负数.（1）当为正数时，其平方根互为相反数，故（）+（）=，解得，故=，从而.（2）
10、当为时，其平方根仍是，故且，此时两方程联立无解.综上所述，的值是.想一想：如果把例3变为：若和是数的平方根，求的值.你会解吗？请试一试.二、创新题型例4 先阅读所给材料，再解答下列问题：若与同时成立，则的值应是多少？有下面的解题过程：和都是算术平方根，故两者的被开方数都是非负数,而和是互为相反数. 两个非负数互为相反数，只有一种情形成立，那就是它们都等于0，即=0，=0，故.问题：已知求的值.解：由阅读材料提供的信息，可得故. 进而可得.故=.点评：这是一道阅读理解题.解这类问题首先要认真阅读题目所给的材料，总结出正确的结论，然后用所得的结论解决问题.例5 请你认真观察下面各个式子，然后根据你发现的规律写出第、个式子.；.分析：要写出第、个式子，就要知道它们的被开方数分别是什么，为此应认真观察所给式子的特点.通过观察，发现前面三个式子的被开方数分别是序数乘以16得到的，故第、个式子的被开方数应该分别是64和80.解：；.点评：这是一个探究性问题，也是一道发展数感的好题，它主要考查观察、归纳、概括的能力解这类题需注意分析题目所给的每个式子的特点，然后从特殊的例子，推广到一般的结论，这是数学中常用的方法，同学们应多多体会，好好掌握！- 7 -
利用平方根的定义及性质解题的几个技巧
