几何证明选讲正式版

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1、几何证明选讲（共计 10 课时）授课类型：新授课【教学内容】1复习相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理，证明直角三角形射影定理。2证明圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理。3证明相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。二 【教学重点、难点】1 理解相似三角形的定义与性质定理2. 掌握以下定理的证明： （ 1）直角三角形射影定理； （ 2）圆周角定理； （ 3）圆的切线判 定定理与性质定理； （ 4）相交弦定理； （ 5）圆内接四边形的性质定理与判定定理（6）切割线定理三 【教学过程】第一讲 相似三角形的判定及有关性质 以“平行线分线段成比例定理”为起点，给出相似三角形

2、定义后，逐步讨论相似三角形的判 定定理、性质定理等等，其中，基本数学思想是比例及其性质的应用；第 1 课时 . 基础知识 :平行线等分线段定理 :如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等 , 那么在其他直线上截得 的线段 .推论 1: 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必 。推论 2: 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线 。例题选讲：例1 已知：线段AE求作：线段AE的三等分点作法： 1 、作射线 AC2、在射线AC上顺次截取AD=DE=EF3、连结 BF4、过点D E分别作BF的平行线分别交 AB于点L、K点L、K为所求的三等分点作业练习：课本 P5 习题 1.1第 2 课时 . 基

3、础知识 :平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的 成比例。推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段例题选讲：例 1 如图 D在 AB上，DE/ BC, DF/ AC, AE=4,EC=2,BC=8. 求 BF 和 CF的长.DEB例2、如图，已知 DE/BC, EF/CD，求AD是AB和AF的比例中项。例3平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截三角形，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。作业练习：课本 P9-10 习题1.2第3、4课时.复习提问1 什么叫相似三角形？什么叫相似比？定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形相

4、似三角形对应边的比K叫做相似比（或相似系数）.讲解新课我们知道，用相似三角形的定义可以判定两个三角形相似，但涉及的条件较多，需要有三对对应角相等，三条对应边的比也都相等，显然用起来很不方便.那么从本节课开始 我们来研究能不能用较少的几个条件就能判定三角形相似呢？基础知识：预备定理：平行三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.简单说成：两角对应相等，两三角形相似.判定定理2:如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等， 那么这两个三角形相似.简单

5、说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。可以简单说成：三边对应成比例，两三角形相似。例题选讲:例2圆内接求证：ABC的角平分线CD延长线交圆于一点 E。EBDBEC - CB例4 已知：D、E、F分别是 ABC三边的中点,求证： DEF ABC基础知识：定理（1 ）有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似（2）如果两个直角三角形两条直角边对应成比例那么这两个三角形相似直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形 的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似

6、.相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于;相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于 ;例6 如图，锐角 ABC, BC=24cm,BC边上的高 AD=12cm.要把它加工成正方形，如图，求作业练习：课本 P19-20 习题1.3 第5课时.直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是 的比例中项;两直角边分别是它们在斜边上 与的比例中项。作业练习：课本 P22习题1.4第二讲 直线与圆的位置关系（共5课时）以“圆周角定理”和“圆的切线概念”为起点，采用从特殊到一般的思想方法，得出圆内接 四边形的性质

7、和判定定理的猜想及其证明，圆的切线的性质和判定的有关定理基础知识：1. 圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的 的一半。圆心角定理：圆心角的度数等于 的度数。推论1:同弧或等弧所对的圆周角 ;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧推论2:半圆（或直径）所对的圆周角是 ； 90的圆周角所对的弦是 。弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的 。2. 圆内接四边形的性质定理与判定定理：圆的内接四边形的对角 ;圆内接四边形的外角等于它的内角的 。如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点 ；如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点。3. 切线的性质定理：圆的切线垂直于

8、经过切点的 。推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过 ;经过切点且垂直于切线的直线必经过。切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的。4. 相交弦定理：圆内两条相交弦， 的积相等。割线定理：从圆外一点引圆的两条割线， 的两条线段长的积相等。切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是 的比例中项。切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长 ；圆心和这点的连线平分的夹角。、例题选讲：例1 已知：如图，AD是厶ABC的高，AE是ABC的外接圆直径。求证：AB.AC=AE.AD例2如图，AB与CD相交于一点P。求证：AD的度数与BC的度数和的一半等于/ APD的度数.例

9、1:如图O 01与O 02都经过A、B两点，经过点 A的直线CD与O 01交于点C,与O 02交 于点D。经过点B的直线EF与O 01交于点E,与O 02交于点F。求证:CE/ DF求证:如图,CF是厶ABC的AB边上的高PF _ BC, FQ _ ACA,B,P,Q四点共圆.作业练习:课本P30 习题2.2已知:如图，AB是O 0的直径，O 0过BC的中点D, 线。例2 已知：如图，AB是O 0的直径,C为O 0上一点，AD和过C点的切线垂直，垂足为D。 求证:AC平分ACB例1 已知：如图，AB是O 0的直径, 试说明AC平分/ BADC,AD丄CE垂足为Do作业练习：课本 P34习题2.

10、4已知：如图圆内两条相交弦AB,CD相交于圆内一点P, PA=PB=4,求CD的长。例2求证:求证:DAB,CD的交点,如图E是圆内两条相交弦1) DE3 EFA ; (2)EF=FGCEF/CB,交AD的延长线与F,FG切圆于G。BA,G如图AB是O 0的直径，过FB引两条弦AD和 BE,相交点C.AC AD BC BE 二 AB作业练习：课本 P40习题2.5四【小结】几何证明选讲有助于培养学生的逻辑推理能力，在几何证明的过程中，不仅是逻辑演绎的程 序，它还包含着大量的观察、探索、发现的创造性过程。本专题从复习相似图形的性质入手, 证明一些反映圆与直线关系的重要定理，提高学生运用综合几何方

11、法解决问题的能力。五、【布置作业】1如图所示，圆 0上一点C在直径AB上1题图的射影为D , CD =4,BD =8，则圆0的半径等于 PA=4，PC=5 ,CA2.如图，从圆 0外一点P作圆0的割线PAB、PCD，AB是圆0的直径，若CD=3，则/ CBD=3. 如图所示，圆 o上一点C在直径AB上的射影为D , CD =4,BD =8，则圆O的半径等于 3题图4.如图，从圆O外一点P作圆O的割线PAB、PCD , CD=3，则/ CBD=学习不是一朝一夕的事情，需要平时积累，需要平时的勤学苦练。有个故事：古希腊大哲学家苏格拉底在开学第一天对他的学生们说：“今天你们只学一件最简单也是最容易的

12、事儿。每人把胳膊尽量往前甩，然后再尽量往后甩。”说着，苏格拉底示范做了一遍，“从今天开始，每天做 300下，大家能做到吗？”学生们都笑了，这么简单的事，有什么做不到的？过了一个月，苏格拉底问学生：每天甩手300下，哪个同学坚持了，有90%的学生骄傲的举起了手，又过了一个月，苏格拉底又问，这回，坚持下来的学生只剩下了80%。一年过后，苏格拉底再一次问大家：“请告诉我，最简单的甩手运动。还有哪几个同学坚持了？ ”这时，整个教室里，只有一个人举起了手，这个学生就是后来成为古希腊另一位大哲学家的柏拉图。同学们，柏拉图之所以能成为大哲学家，其中一个重要原因，就是，柏拉图有一种持之以恒的优秀品质。要想成就

13、一番事业，必须有持之以恒的精神，大家都熟悉愚公移山的故事，愚公之所以能够感动天帝，移走太行、王屋二山。正是因为他具有锲而不舍的精神。戎马一生，他前十次革命均告失败，但他百折不挠，终于在第十一次革命的时候，推翻了清王朝的统治，建立了中华民国。这些故事，情节不同，但意义都是一样的，它告诉无们，做事要有恒心。旬子讲：“锲而不舍，朽木不折；锲而舍之，金石可镂。”这句话充分说明了一个人如果有恒心，一些困难的事情便可以做到，没有恒心，再简单的事也做不成。学习是一条慢长而艰苦的道路，不能靠一时激情，也不是熬几天几夜就能学好的，必须养成平时努力学习的习惯。所以我说：学习贵在坚持！当下市面上关于教授学习方法的书

14、籍不少，其所载内容也的确很有道理，然而当读者实际应用时，很多看似实用的方法用来效果却并不明显，之后的结果无非是两种：要么认为自己没有掌握其精髓要领，要么抱怨那本书的华而不实，但最终肯定还是会回归到当初的原点。这本学会学习在一开始并没有急于兜售自己的方法，而是通过测试让读者真正了解自己，从而找到适合自己思维方式的学习方法，书的第一部分就是左脑还是右脑思维测试和视觉、听觉和动觉学习模式测试，经过有效分类后，针对不同读者对不同思考和接收接受学习的特点，有针对性的分别给出建议，从而不断强化自己的优势。在其后书中的所有介绍具体学习方法章节的最开始，都是按照不同学习模式给出各种学习方法不同的建议，这是此书

15、区别于其他学习方法类书籍的最大特点，这种“因材施教”的方式能让读者有种豁然开朗的感觉，除了能够得到最 文或者PPT课件合集，每个学习方法的题目清晰明了十分便于查找，但也因此有些章节内容安排的比较混乱，所幸每一章节关联性并不太强，每个章节都适合独立检索来阅读学习。其内容从“时间规划” 、“笔记”“阅读”直到“考试”几乎涉及了所有学习中的常遇问题，文中文字精炼没有过分的渲染，完全是纯纯的“干货”，可以设身处地的想象：当自己面对学海之中手足无措之时，长篇大论的方法肯定会无心查看，明了的编排，让人从目录中就能一目了然的找到自己想要的，一篇篇短文尽可能在最少的时间让读者得到最有用的信息，是一部值得学习的

16、人们不断自我提高的有 力武器。曾经看到一个有意思的心理测试:用“正确的方法” 、“错误的方法”和“积极的行为” 、“消极的行为” ，来自由搭配，看如何搭配出最好和最坏的结果，“正确方法”配合“积极的行为”无疑是最好的结果，然而我们会很“惯性”想当然的认为，“错误的方法”和“消极的行为”搭配是最坏的结果，其实“错误的方法”加上“积极的行为”才是最坏的结果，这会让人在错误的路上越走越远，学习也是同理，一味钻牛角尖般的生搬硬套不适合自己的方法不论多努力都只会离成功越来越远，而好的学习方法加上积极的学习态度无疑会让你如虎添翼。这是每个人都需要的，起码 在学生的时候如果遇到，或者人生会少一些遗憾，我只恨

17、我遇见的晚了点，可是现在已是终身学习的年代，错过了最恰当的时候，但只要有心又怎会嫌晚呢？本书归类为学习方法-青年读物，是本工具书，学习手册，但不能阻止她成为经典。这本书的副标题为“增加学习技能与脑力”，正是本书的宗旨，本书系统化地阐述了学习技能提升的各个方面，可谓事无巨细的令人发指啊。整体来讲主要包括 7 个方面，分别是学习模式，时间管理和学习技巧规划，笔记记录技巧，阅读技巧，记忆，应试技巧，拾遗。全书的结构采取的是总分的形式，前三个方面是总的部分，算是增加学习技 能的准备，从认识自己的学习模式开始，然后采取任何事都需要的时间管理技巧，再总体地讲一下学习技巧规划的事项。然后底下是分的部分，将学

18、习的包含的各个方面的技巧进行分开阐述，分 别有笔记记录，阅读，记忆，应试以及最后的拾遗。系统地讲述了学习的几乎所有方面。让读到她的人如果实践的话不仅能在学习上得到提高，在脑力上或者说理解力上肯定会受益匪浅。在此， 说句题外话，我一直觉得日本人写书在细节上做的是无与伦比的，但是这本书让我对这个看法有了一定的动摇，因为她里面的讲述部分让我觉得美国是个应试教育的国家吗，简直比我们中国还要 应试。那个考试应对细节的部分放在中国，一点也没有违和感的，好吗？所以他们能出现这样的情况，从没到过日本的人能够写出描写日本人的书，然后让日本人都觉得是经典的，没有在企业里 做过实务管理的德鲁克能成为管理上的大师，其

19、理念影响了全世界不得不说，美国的教育真不是盖的。细节上，我印象比较深的是，作者开篇开始传授如何应该认识自己的学习模式，运用了 一些测试题目，然后根据结果找出与自己最近似的学习模式，她把学习模式分为几种情况，分别有左脑型，右脑型，还有另外的分法，为视觉的，听觉的，动作的。我看了一下，确实有跟自己近 的类型，我就是视觉的，对号入座后就可以比较直接的去扬长避短了。然后，作者说了，做任何事情，时间管理技巧都是不可缺少的，她不仅教导的是学习的技能，还有很多其他的道理，对我们 人生都是有益的，我相信，如果我们的孩子从小就学习这些，将会受用终生。还有，作者提到了学习技巧规划里的家庭档案系统，将我们现在工作中

20、的管理引进了学习中，这是一个非常好的学习 习惯，如果孩子持续的做，严格地做，获得的收益将无法估量，因为，这在我们现在工作中都必须要用的管理信息的技能，实在是太可贵了，孩子将这种技能与阅读结合起来，保管好自己思维历 程，可以获得持续的提高，直到最后展翅翱翔，他最可贵的是，可以系统地提升自己，从而达到书中简介里提到的那样，碰到不会的领域的时候，可以很快的用这些方法，工具建立起模型，系统， 游刃有余地攻克自己之前没接触的领域，提升自己的理解力，我想这正是我们学习的比较重要的一个目的吧。最后，我影响比较深的就是作者提供的那些小工具了，包括笔记的表格，辅助记忆的 表格，帮助整理文档的夹子，应对考试的技巧

21、，缓解紧张的方法我觉得全书对于如何增加学习技能和脑力的讲述是有道理的，我也相信通过实践作者在书上所提到的方法，定能在学习中得到 提高。但是，那也不是一朝一夕的事情，就像我们大家都知道的那个故事，在美国得到诺贝尔奖的科学家说，自己得奖最大的原因都是在幼儿园里学习的最基本的道理，就是说要和郭靖一样，不 要贪多吃不烂，认定他就要好好地坚持去做，不要停。我自己喜欢的是家庭归档系统，虽然不是学习过程中的技能，只属于学习准备的东西，但是如果坚持井井有条的那样整理自己的学习思维， 对自己的收益将难以估量。稍显不足的地方是，第一，本书的语言太过精练，感觉就像没有主观感情一样，要命的是有很多词语或者概念读的时候甚至不知道什么意思，书中也没做讲解，本来就 看的比较费力，现在好了，作者也不等你，直接把你撂那。第二，作者很多地方就像立一个提纲一样，直接让你自己去参考多少多少页，这个太不习惯了。第三，作者在书中提到各种学习的类型， 但是并没有就这种类型合适他们的学习方法做开展或者介绍，比如，将学习分为好几种类型的那个部分，有内省的，有外联的之类，然而并没有对各种类型进行针对性的指导。从而她的有些观点 就不太适用，像成立学习小组的，这个对于内向的人，在我国这样的学习环境中是比较的困难，但作者没有就如何做提出建议，只是告诉读者这么做，会显得不够全面或者落空。