正交曲线坐标系中单位基矢对时间的导数

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1、第 24卷 第 2期2010. 06沈 阳 化 工 大 学 学 报JOURNAL O F SH EN YAN G UN IV ER S ITY O F CH EM ICAL TECHNOLO GYVo l. 24 No. 2Jun. 2010文章编号 :1004 - 4639 ( 2010 ) 02 - 0175 - 03正交曲线坐标系中单位基矢对时间的导数孙树生 ,成泰民(沈阳化工大学 数理系 , 辽宁 沈阳 110142 )摘要 : 不同正交曲线坐标系的单位基矢之间的变化矩阵是复数域的幺正矩阵 ,在实数域是正交矩阵. 由此 ,推导出不同正交曲线坐标系的单位基矢之间的变化规律 ,进而推导出正

2、交曲线坐标系的单位基矢对本身坐标的求导和对时间的求导规律. 再将中间过程的另一正交曲线坐标系的单位基矢 选取为单位常矢量 ,得出普适公式. 最后以球坐标系与柱坐标系的单位基矢的本身空间坐标求导为例进行讨论 ,分别得出球坐标系与柱坐标系中单位基矢对时间的一阶 、二阶导数的变化规律 .关键词 : 正交曲线坐标系 ; 幺正算符 ; 单位基矢中图分类号 : O 411. 1文献标识码 : A在理论力学 、电动力学及量子力学中常会碰到正交曲线坐标系的单位基矢的求导问题 1 - 4 , 一 般 教 科 书 里 以 三 维 空 间 的 几 何 结 构 加 以 分 析 2 - 3 ,虽然这种几何方法的处理能够

3、得出正确 的结果 ,但是这并不是严格的证明 ,而且容易出 错 . 并且广义速度及广义加速度在正交曲线坐标系中的表示也涉及到在本身坐标系中的单位基 矢对时间的导数问题 5 . 因此 ,在正交曲线坐标 系 ,严格推导其单位基矢对时间求导规律 ,具有 普遍的意义 .标系 ( u1 , u2 , u3 )的单位基矢 ,其表示如下 :1 9 rei =;hi 9ui ei ej =ij ;1 / 2 9r 9r9rhi =, ( i, j = 1, 2, 3)( 2 )9ui 9ui 9ui 不同的正交曲线坐标系的单位基矢之间的变换规律由 ( 1 )式与 ( 2 )式可得 :3 9uj hj 9uj 1

4、 9 r 1 9 r 13ei = ej,hi 9ui hi j = 1 9ui 9uj9ui ( 3 )hi j = 1( i, j = 1, 2, 3 )把 ( 3 )式以矩阵形式表示如下 :1 正交曲线坐标系中单位基矢的求导规律 6 - 7 正交曲线坐标系 ( u1 , u2 , u3 ) 中的单位基矢 的表示及正交关系如下 : e1 e2 e3 = e1e2e3 T( u1, u2, u3) ( u1, u2, u 3)( 4 )其中=T ( u , u , u3) u , u , u )( 11 22 31 9 r h1 9u1 h1 9u1 h1ei ej =ij ;ei = h

5、9u ;h1 9u1 h2 9u2 h3 9u3 ii1 / 2 9 r 9 r 9r h2 9u2 h2 9u2hi =9u 9u u=, ( i, j = 1, 2, 3)( 1 ) h29 i( 5 )iih1 9u1 h2 9u2 h3 9u3 其中 r = r1 e1 + r2 e2 + r3 e3 , 在另一坐标系中 r = r1 e1 + r2 e2 + r3 e3 , e1 , e2 , e3 是另一正交曲线坐 h3 9u3 h3 9u3 h3h1 9u1 h2 9u2 h3 9u3 收稿日期 :基金项目 :作者简介 :2010 - 01 - 08国家自然科学基金项目 ( 10

6、647138 ) ; 辽宁省教育厅科学研究项目 ( 20060667 )孙树生 ( 1976 - ) ,男 ,辽宁铁岭人 ,助教 ,硕士 ,主要从事应用物理学教学及研究工作.通讯联系人 : 成泰民 ( 1970 - ) ,男 ,辽宁沈阳人 ,副教授 ,博士 ,主要从事理论物理学教学及磁性物理的研究.9u19u29u3T ( u1, u2, u3) ( u1, u2, u3) 是 由不 同正 交 曲线 坐标 系 的单位基矢之间的变换矩阵 , 所以是幺正矩阵 , 即 d ee =e123d t e1 e2e3 T ( u1, u2, u3) ( u1, u2, u3) +- 1= T ( u1,

7、u2, u3) ( u1, u2, u3) ,T ( u1, u2, u3) ( u1, u 2, u3)在实数域是正交矩阵 ,T ( u1, u2, u3) ( u1, u2, u3)d T( )9( u1, u2, u3) ( u 1, u2, u3)d t= T( u , u , u ) ( u , u , u )1 2 3 1 2 3=2d- 1e3 =d t2 e1e2T ( u1, u2, u3) ( u1, u 2, u3) ) .所以 , 由 ( 4 )式 、( 5 )式可得 : eee T123 ( u1, u2, u3) ( u1, u2, u3)e3 = e1e2d22

8、T( u1, u2, u3) ( u1, u2, u3)( 10 ) e1 e2 e3 T ( u , u , u ) ( u , u , u )=d t1 2 3 1 2 3 e1 e2 e3 T( u , u , u( 6 )3) u , u , u )( 11 2T( u , u , u ) ( u , u , u ) 是2 32 讨论其 中T ( u , u , u ) ( u , u , u ) 的1 2 3 1 2 31 2 3 1 2 3转置矩阵 .正交曲线坐标系的单位基矢对时间的导数如下 :2. 1 球坐标系中单位基矢的求导令 ( u1 , u2 , u3 ) ( r,) ,

9、( u1 , u2 , u3 ) ( x, y, z) ,并且由 ( 1 )式 、( 2 )式 、( 5 )式可得 :d ee =e123d t d e e e T =1 2 3 ( u1, u2, u3) ( u1, u2, u3)d tT=s ins in coss in cos( r,) ( x, y, z)s incos d e1 d e2 cos- s inT( u , u , u ) ( u , u , u )+d td t1 2 3 1 2 3coscos- s in( 11 ) e1d Te2e3 T ( u1, u2, u3) ( u 1, u2, u3) 0根据 ( 9 )

10、式 、( 11 )式可得 :( 7 )( u1, u2, u3) ( u1, u2, u3)d tde e = er2 d d t2 e1e2e3 =d td e dee T( r,) ( x, y, z)rd e e e T=1 2 3 ( u1, u2, u3) ( u1, u2, u3)T( )=d t d tr, , x, y, z()d td2 e d2 e - 0- s in 1230T( u , u , u ) ( u , u , u )1 2 3 1 2 3+22d td t- cos eee r d e1 d e2 ds in cos0T( u , u , u ) ( u ,

11、 u , u )+d td td t1 2 3 1 2 3( 12 ) e1e2e3 T ( u1, u2, u3) ( u 1, u2, u3) 从而根据 ( 12 )式可知 :d2d t2 T( u1, u2, u3) ( u1, u2, u 3)( 8 )d er=e +s ine ;d t从 ( 7 ) 、( 8 )式可知 , 对正交曲线坐标系的单位基矢的求导 , 涉及到对另一正交曲线坐标系的 单位基矢的求导 . 但是 , 起中间过程作用的另一 正交曲线坐标系的单位基矢可以选取为单位常d e=er +cose;d td e= - s iner - cose.( 13 )d t矢量 ,

12、并且T ( u , u , u3) ( u , u , u ) 不含单位基矢 , 对同样的方法 , 由 ( 10 )式 、 11 式可得 :( )1 21 2 3T ( u1, u2, u3) ( u1, u2, u3) 的 求 导 容 易 . 为 此 , 把( 7 ) 、2 d ee =2 er( 8 )式中的正交 曲线 坐 标系 ( u1 , u2 , u3 ) 的 单位基矢取为单位常矢量. 那么 ,可以消除对正交曲 线坐标系 ( u1 , u2 , u3 ) 的单位基矢的求导 , 得出 求导规律如下 :d t eree T ( r,) ( x, y, z) 2 d T= eee ( r,

13、) ( x, y, z)r2d td e3 d t2d2 e2d td e3d t第 2 期孙树生 , 等 :正交曲线坐标系中单位基矢对时间的导数1772d- 2 - 2 s in2- 2 ( s in2) / 2s in- 2cos- - 2 ( s in2) / 2- 2 - 2 cos2 cos- 2s in- s in- cos2 eeez =d t e eez T (, z) ( x, y, z) .- 22d( 14 )T=(, z) ( x, y, z)2d t根据 ( 14 )式可知 :- 20- 0002d er2 2 2= - (+s in ) er +2( 19 ) ee

14、ez - 02d t- 2 ( s in2) / 2 e + (s in- 2cos) e根据 ( 19 )式可知 :2d e22= - e +e; d e22= - - ( s in2) / 2 er -( 15 )d t2d td2 e= - e - e ;(2 +2 cos2)e + (cos- 2s in) e2d t2 d ez= 0( 20 )d2 ed t22= - s iner - cose - e2d t3 结论2. 2 柱坐标系中单位基矢的求导令 ( u1 , u2 , u3 ) (, , z) , ( u1 , u2 , u3 ) ( x, y, z) , 并且由 ( 1

15、 )式 、( 2 )式 、( 5 )式可得 :从不同正交曲线坐标系的单位基矢之间的变换规律出发 , 推导出正交曲线坐标系的单位基 矢对时间求导的普遍规律 . 并以球坐标系和柱坐 标系为例 , 推导出单位基矢对时间的一阶 、二阶 求导公式 . 该求导规律也可应用于其他坐标系 , 使处理单位基矢对时间求导的问题变得方便快 捷 , 这将在矢量分析中得到应用 .cos- s in0s incos0001T (, z) ( x, y, z)=( 16 )根据 ( 9 )式 、( 16 )式可得 :d eee =zd t参考文献 : e eez T (, z) ( x, y, z) . 1 周世勋 . 量

16、子力学教程 M . 北京 : 高等教育出版社 , 2003: 60 - 63.肖家鑫 . 理论 力 学 M . 北 京 : 高 等 教 育 出 版 社 ,1990: 8 - 16.周衍柏 . 理论力学教程 M . 北京 : 高等教育出版 社 , 1986: 9 - 19.郭硕鸿 . 电动力学 M . 2 版 . 北京 : 高等教育出版社 , 1997: 340 - 346.陈宝信 . 求正交曲线坐标系中速度和加速度的解 析方法 J . 大学物理 , 1997, 16 ( 12 ) : 16 - 17.四川大学数学系高等数学教研室 . 高等数学 (物理 类专业用 )第二册 M . 2 版 . 北

17、京 : 高等教育出版社 , 1991: 251 - 257.方能航 . 矢量 、并矢分析与符号运算法 M . 北京 :科学出版社 , 1996: 10 - 23.(下转第 191页 )d T=(, z) ( x, y, z)d t 2 0- 00000ez ee( 17 ) 3 0根据 ( 17 )式可知 : 4 d e=e;d td e 5 = - e;d t d ez 6 = 0( 18 )d t根据 ( 10 )式 、( 16 )式可得 : 7 微生物燃料电池中新功能材料的进展震 1, 2 ,周向同 3 ,王黎 3贺( 11威斯康辛大学密尔沃基分校土木工程与机械系 , 威斯康辛 密尔沃基

18、 W 153201;2. 南加州大学 化学工程与材料科学系 , 加州 洛杉矶 90089;3. 沈阳化工大学 环境与生物工程学院 , 辽宁 沈阳 110142)摘 要 : 微生物燃料电池 (M FC ) 主要由电极 、催化剂和膜等 3 种重要原件组成 . 为了获取最大的功率密度和实现更高的库伦效率 , 研究人员不仅在结构设计上对 M FC 进行了很大的 改进 , 而且在实现其功能的新材料方面 , 也取得了一定的进步 . M FC 电极通常使用碳质材料. 就阳极而言 , 改变碳质材料的分子结构 , 可以使 M FC 阳极表现出良好的生物电化学性能 , 如碳纳米管的使用 . 但是 , 以碳作为基底

19、实现聚苯胺与二氧化钛结合的复合材料 , 其优越的生物 电化学性能 , 已经引起人们的特别关注. 同时 , 为提高 M FC 的输出功率 , M FC 的结构设计也 在不断变化 , 促使隔膜与阴极从分离的形式转向隔膜 2阴极复合结构形式 , 这些结构形式通过 N af ion 117等聚合物或含官能团的四氟乙烯及聚吡咯与各种催化剂的复合来合成. 参杂的催 化剂常使用铂 、铁酞菁 、卟啉金属化合物 、锰氧化物和热解铁酞菁进行合成 , 实现催化剂的固定化 . 另外 , M FC 阴极液或阴极液流经空气阴极表面时 , 阴极液最好含有过度元素氧化还原 对或螯合铁 , 对提高 M FC 的效率有帮助 .关

20、键词 : 微生物燃料电池 ; 阳极 ; 阴极 ; 膜 ; 阴极液(上接第 177页 )T im e D er iva tive of Un it Ba sis Vectors i n O rthogona lCurv i linear Coord ina te System sSUN S hu 2sheng,CH EN G Ta i2m in( S henyang U n ive rs ity of C hem ica l T echno logy, S henyang 110142, C h ina )The transfo rm a tion m a trix in the un it b

21、as is vec to rs in defe ren t o rthogona l cu rv ilinea r coo rd i2A b stra c t:na te sys tem s w as un ita ry m a trix in the com p lex f ie ld, and w as o rthogona l m a trix in the rea l num be r f ie ld.The law of the un it bas is vec to rs w as deduced in the defe ren t o rthogona l cu rv iline

22、a r coo rd ina te sys tem s. Then, the law of the tim e de riva tive of un it bas is vec to rs w as a lso deduced in o rthogona l cu rv ilinea r coo r2 d ina te sys tem s, the un it bas is vec to rs w as chosen in the o the r o rthogona l cu rv ilinea r coo rd ina te sys tem s as the un it cons tan

23、t vec to rs, and the p e rvas ive fo rm u la w as f ina lly go tten. T he tim e de riva tive of the un it ba2s is vec to rs w as d iscussed in the ir ow n coo rd ina te sys tem s, and the law of the f irs t2o the r and the second 2o the r tim e de riva tive of the un it bas is vec to rs w as resp ec tive ly deduced in the sp he rica l coo rd ina te sys tem s and the cy lind rica l coo rd ina te sys tem s.Key word s:o rthogona l cu rv ilinea r coo rd ina te sys tem s;un ita ry op e ra to r;un it bas is vec to rs