垂径定理及其推论ppt课件

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1、1 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 知识要点知识要点DOABEC2AEBEACBCADBDCD是直径，是直径，AB是弦，是弦，CDAB直径过圆心直径过圆心垂直于弦垂直于弦平分弦平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧题设题设结论结论DOABEC将题设与结论调换过来，还将题设与结论调换过来，还成立吗？成立吗？这五条进行排列组合，这五条进行排列组合，会出现多少个命题？会出现多少个命题？3 直径过圆心直径过圆心 平分弦平分弦 垂直于弦垂直于弦 平分弦所对优弧平分弦所对优弧 平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧 （1）

2、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧弧DOABEC已知：已知：CD是直径，是直径，AB是弦，是弦，CD平分平分AB求证：求证：CDAB，ADBD，ACBC4一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立OABMNCD注意注意为什么强调这里的弦不是直径？为什么强调这里的弦不是直径？5 直径过圆心直径过圆心 平分弦所对优弧平分弦所对优弧 平分弦平分弦 垂直于弦垂直于弦 平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧 （2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的）平分弦所对的一

3、条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧另一条弧已知：已知：CD是直径，是直径，AB是弦，并且是弦，并且ACBC 求证：求证：CD平分平分AB，CD AB，ADBDDOABEC6 直径过圆心直径过圆心 平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧 平分弦平分弦 平分弦所对优弧平分弦所对优弧 垂直于弦垂直于弦 （2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧另一条弧已知：已知：CD是直径，是直径，AB是弦，并且是弦，并且ADBD 求证：求证：CD平分平分AB，CD AB，ACBCDOABEC7 垂直于弦垂直于弦 平分弦平分弦

4、 直径过圆心直径过圆心 平分弦所对优弧平分弦所对优弧 平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧 （3）弦的垂直平分线）弦的垂直平分线 经过圆心，并且平分弦所对的两条弧经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 已知：已知：AB是弦，是弦，CD平分平分AB，CD AB，求证：求证：CD是直径，是直径，ADBD，ACBCDOABEC8 垂直于弦垂直于弦 平分弦所对优弧平分弦所对优弧 直径过圆心直径过圆心 平分弦平分弦 平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧 垂直于弦垂直于弦 平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧 直径过圆心直径过圆心 平分弦平分弦 平分弦所对优弧平分弦所对优弧 （4）垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直垂直于弦

5、并且平分弦所对的一条弧的直径径过圆心过圆心，并且平分弦并且平分弦和所对的另一条弧和所对的另一条弧9 平分弦平分弦 平分弦所对优弧平分弦所对优弧 直径过圆心直径过圆心 垂直于弦垂直于弦 平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧 （5）平分弦并且平分弦所对的一条弧的直平分弦并且平分弦所对的一条弧的直径径过圆心过圆心，垂直于弦垂直于弦，并且平分弦并且平分弦所对的另一条弧所对的另一条弧 平分弦平分弦 平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧 直径过圆心直径过圆心 垂直于弦垂直于弦 平分弦所对优弧平分弦所对优弧10 平分弦所对优弧平分弦所对优弧 平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧 直径过圆心直径过圆心 垂直于弦垂直于弦

6、平分弦平分弦 （6）平分弦所对的两条弧的直平分弦所对的两条弧的直径径过圆心过圆心，并且垂直平分弦并且垂直平分弦11AMBM，CMDM圆的两条平行弦所夹的弧相等圆的两条平行弦所夹的弧相等MOABNCD证明：作直径证明：作直径MN垂直于弦垂直于弦AB ABCD 直径直径MN也垂直于弦也垂直于弦CDAMCM BMDM 即即 ACBD12ABCD两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的两侧两条弦在圆心的两侧垂径定理的推论垂径定理的推论2有这两种情有这两种情况：况：OOABCD13CDABE已知：已知：AB求作：求作：AB的的中点中点点点E就是所求就是所求AB的中点的中点作法：作法：1 连结连

7、结AB2 作作AB的垂直平分线的垂直平分线 CD，交，交AB于点于点E14ABCDE已知：已知：AB求作：求作：AB的四等分点的四等分点作法：作法：1 连结连结AB3 连结连结AC2 作作AB的垂直平分线的垂直平分线，交交AB于点于点E4 作作AC的垂直平分线的垂直平分线，交交AC于点于点F5 点点G同理同理点点D、C、E就是就是AB的四等分点的四等分点15ABC作作AC的垂直平分线的垂直平分线作作BC的垂直平分线的垂直平分线 等分弧时一定要作弧所等分弧时一定要作弧所夹弦的垂直平分线夹弦的垂直平分线16CABO你能确定你能确定AB的圆心吗？的圆心吗？作法：作法：1 连结连结AB2 作作AB的垂

8、直平分线的垂直平分线，交交AB于点于点C3 作作AC、BC的垂直平分的垂直平分线线4 三条垂直平分线交于一点三条垂直平分线交于一点O点点O就是就是AB的圆心的圆心1718你能你能破镜破镜重重圆圆吗？吗？ABCmnO 作弦作弦AB、AC及它们的垂直平分线及它们的垂直平分线m、n，交于，交于O点；以点；以O为圆心，为圆心，OA为半径作圆为半径作圆作法：作法：依据：依据：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧19EOABDCd+h=r222)2(adrdhar有哪些等量关系？有哪些等量关系？在在a，d，r，h中，已中，已知其中任意两个量，可以知其

9、中任意两个量，可以求出其它两个量求出其它两个量201 圆是轴对称图形圆是轴对称图形任何一条直径所在的直线都是它的对称轴任何一条直径所在的直线都是它的对称轴O21 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 2 垂径定理垂径定理DOABEC22条件条件结论结论命题命题 平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧条弧 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧弦的垂

10、直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平分弦和垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧所对的另一条弧平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧平分弦所对的另一条弧平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦3垂径定理的推论垂径定理的推论23 经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线

11、，为应用垂径定理创造条件为应用垂径定理创造条件4 解决有关弦的问题解决有关弦的问题24 1 判断：判断：（1）垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对的两）垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对的两弧弧 （）（2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一弧弧 （）（3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦）经过弦的中点的直径一定垂直于弦（）（4）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行 （）（5）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧 （）25 2 在在 O中，弦中，

12、弦AB的长为的长为8cm，圆心，圆心O到到AB的距离为的距离为3cm，求，求 O的的半径半径OABE解：解：OEABRtAOE在中222AOOEAE2222=3+4=5cmAOOEAE答：答：O的半径为的半径为5cm118422AEAB 26 4 已知在已知在 O中，弦中，弦AB的长为的长为16cm，圆心圆心O到到AB的距离为的距离为6cm，求，求 O的半径的半径解：连结解：连结OA过过O作作OEAB，垂足为，垂足为E，则则OE3cm，AEBE AB16cm AE8cm 在在RtAOE中，根据勾股定理有中，根据勾股定理有OA10cm O的半径为的半径为10cmAEBO274 4、如图，、如图，

13、CDCD是是O的直径，弦的直径，弦ABCDABCD于于E E，CE=1CE=1，AB=10AB=10，求直径，求直径CDCD的长。的长。OABECD解：连接解：连接OAOA，CD CD是直径，是直径，OEABOEAB AE=1/2 AB=5 AE=1/2 AB=5设设OA=xOA=x，则，则OE=x-1OE=x-1，由勾股定理得，由勾股定理得x x2 2=5=52 2+(x-1)+(x-1)2 2解得：解得：x=13x=13 OA=13 OA=13 CD=2OA=26 CD=2OA=26即直径即直径CDCD的长为的长为26.26.28 9 在以在以O为圆心的两个同心圆中，大为圆心的两个同心圆中，大圆的弦圆的弦AB交小圆于交小圆于C，D两点两点 求证：求证：ACBD证明：过证明：过O作作OEAB，垂足为，垂足为E，则则AEBE，CEDE AECEBEDE 所以，所以，ACBDEACDBO29