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1、2012年北京市各区二模试题汇编-导数及其应用一填空选择（2012年东城二模理科）（8）定义：，已知数列满足：，若对任意正整数，都有成立，则的值为（A） （B） （C） （D） （2012年海淀二模文理科）8、点是曲线上的一个动点，曲线在点处的切线与轴、轴分别交于两点，点是坐标原点. 给出三个命题：；的面积为定值；曲线上存在两点，使得为等腰直角三角形其中真命题的个数是 （A） （B） （C） （D）（2012年丰台二模文科）5函数(A) 是偶函数，且在上是减函数(B) 是偶函数，且在上是增函数(C) 是奇函数，且在上是减函数(D) 是奇函数，且在上是增函数（2012年丰台二模理科）3由曲线与y
2、=x，x=4以及x轴所围成的封闭图形的面积是(A) (B) (C) (D) （2012年房山二模文科）8已知是定义在上的偶函数，当时，且，则不等式的解集是( ) (A) (B) (C) (D) 二解答题（2012年东城二模文科）（18）（本小题共13分）已知函数.（）若，求在处的切线方程；（）若在上是增函数，求实数的取值范围（18）（共13分）解：（）由， 1分 所以. 3分 又， 所以所求切线方程为即. 5分（）由已知，得. 因为函数在上是增函数， 所以恒成立，即不等式 恒成立.9分整理得.令 11分的变化情况如下表：+极小值 由此得的取值范围是. 13分（2012年东城二模理科）（19）（
3、本小题共13分）已知函数（）（）试讨论在区间上的单调性；（）当时，曲线上总存在相异两点，使得曲线在点，处的切线互相平行，求证：. （19）（共13分）（）解：由已知，. 2分 由，得，. 4分因为，所以,且所以在区间上，；在区间上，.故在上单调递减，在上单调递增 6分（）证明：由题意可得，当时，（，且）.即 ，所以，. 8分因为，且，所以恒成立，所以，又，所以，整理得. 11分令，因为，所以在上单调递减，所以在上的最大值为， 所以. 13分（2012年西城二模理科）19（本小题满分14分）已知函数，其中（）当时，求曲线在原点处的切线方程；（）求的单调区间；（）若在上存在最大值和最小值，求的取值
4、范围19.（本小题满分14分）（）解：当时， 2分由 ， 得曲线在原点处的切线方程是3分 （）解： 4分 当时，所以在单调递增，在单调递减 5分当， 当时，令，得，与的情况如下：故的单调减区间是，；单调增区间是 7分 当时，与的情况如下： 所以的单调增区间是；单调减区间是， 9分（）解：由（）得， 时不合题意 10分 当时，由（）得，在单调递增，在单调递减，所以在上存在最大值 设为的零点，易知，且从而时，；时，若在上存在最小值，必有，解得 所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是12分 当时，由（）得，在单调递减，在单调递增，所以在上存在最小值若在上存在最大值，必有，解得，或所以时，若在
5、上存在最大值和最小值，的取值范围是 综上，的取值范围是 14分（2012年海淀二模文科）18、（本小题满分13分）已知函数（，）.（）求函数的单调区间；（）当时，若对任意，有成立，求实数的最小值.18、（本小题满分13分）解：.令，解得或. 2分（）当时，随着的变化如下表极小值极大值函数的单调递增区间是，函数的单调递减区间是，.4分 当时，随着的变化如下表极小值极大值函数的单调递增区间是，函数的单调递减区间是，.6分（）当时，由（）得是上的增函数，是上的减函数.又当时，. 8分所以 在上的最小值为，最大值为.10分所以 对任意，.所以 对任意，使恒成立的实数的最小值为.13分（2012年海淀二
6、模理科）(19)（本小题满分14分）已知函数.（）求的单调区间；（）若，求证：函数只有一个零点，且；（）当时，记函数的零点为，若对任意且都有成立，求实数的最大值.（本题可参考数据：）(19)（本小题满分14分）（）解：的定义域为. 1分令，或. 当时，函数与随的变化情况如下表：00极小值极大值所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是和.3分当时，. 所以，函数的单调递减区间是. 4分当时，函数与随的变化情况如下表：000极小值极大值所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是和.5分（）证明：当时，由（）知，的极小值为，极大值为.因为，且在上是减函数，所以至多有一个零点. 7分 又因为，所以
7、函数只有一个零点，且.9分（）解：因为，所以 对任意且由()可知：，且. 10分因为 函数在上是增函数，在上是减函数，所以 ，. 11分所以 .当时，=0. 所以 . 13分所以 的最小值为.所以 使得恒成立的的最大值为.14分（2012年朝阳二模理科）18. （本小题满分14分） 已知函数 （）若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值； （）讨论函数的单调性； （）当时，记函数的最小值为，求证：18. （本小题满分14分） 解：（I）的定义域为. . 根据题意，有，所以，解得或. 3分（II）. （1）当时，因为，由得，解得；由得，解得. 所以函数在上单调递增，在上单调递减. （2）当时，因
8、为，由得 ，解得；由得，解得. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 9分（III）由（）知，当时，函数的最小值为， 且. ， 令，得.来源:学科网ZXXK 当变化时，的变化情况如下表：0极大值 是在上的唯一极值点，且是极大值点，从而也是的最大值点. 所以. 所以，当时，成立. 14分（2012年丰台二模文科）20.（本小题共13分）已知函数f(x)=lnx，两函数图象的交点在x轴上，且在该点处切线相同（）求a，b的值；（）求证：当x1时，f(x) 0可得x 2或x 1，由f (x) 0可得1 x 2 函数f ( x ) 的单调递增区间为 (0 ，1) 和 (2，+ )，单调递减区间为 (1
9、, 2 ) 9分 () 由()可知函数f (x)在(0，1)单调递增，在(1，2)单调递减，在(2，+)单调递增且当x =1或x =2时，f (x) = 0 10分 f (x) 的极大值为 11分 f (x)的极小值为 12分 由题意可知 则 14分 （2012年昌平二模理科）18（本小题满分13分）已知函数R .（）当时，求的单调区间;（）若在上的最小值为，求的值.18（本小题满分13分）解：（）f (x)的定义域为x |1分.3分 令，即， 的增区间为（0，1）， 4分令，即， 的减区间为 5分 （）当时， 在上恒成立， 在恒为增函数. 6分，得 7分 当 时，令，得.当时， 在上为减函数
10、；当时， 在上为增函数；，得（舍） 10分当时，在上恒成立，此时在恒为减函数.，得 12分综上可知 13分（2012年怀柔二模理科）18（本小题满分13分）已知，其中是自然常数，（）讨论时，的单调性、极值；（）求证：在（）的条件下，；（）是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由18（本小题满分13分）解：（），当时，此时单调递减，当时，此时单调递增 的极小值为-4分（）的极小值为1，即在上的最小值为1， ，5分令， 当时，在上单调递增 在（1）的条件下，-8分（）假设存在实数，使（）有最小值3， 当时，在上单调递减，（舍去），所以，此时无最小值. 当时，在上单调递减，在上单调递增，满足条件. 当时，在上单调递减，（舍去），所以，此时无最小值. 综上，存在实数，使得当时有最小值3.-13分（2012年房山二模理科）18已知函数，其中为常数.（）若，求曲线在点处的切线方程;（II）求函数的单调区间.18解：（I）当时，当时，所以曲线在点处的切线方程，即 4分（II）的定义域为，则 5分7分（1）当时，则或，则故的增区间为，减区间为 10分（2）当时，则，则或故的增区间为，减区间为 13分28
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