利用转移矩阵法求解双势垒的传输系数

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1、目 录摘要1关键词1Abstc:1ywrds:2引言 1 低维半导体材料2.1 量子阱材料1。2量子线材料31. 量子点材料32 有效质量近似及物理意义42.有效质量近似简介4。2有效质量的意义43异质结构及隧道效应53。1异质结构53.2隧道效应概述74 转移矩阵法的建立7转移矩阵法的应用10结论16致谢6参考文献1619 / 20 利用转移矩阵法求解双势垒的传输系数 物理学专业学生 孙芳芳 指导教师 王海龙摘要：介绍了量子阱、量子线、量子点等低维半导体结构和有效质量近似及异质结构。详细介绍了转移矩阵法并利用转移矩阵方法精确计算了电子穿过一维矩形双势垒的透射系数。通过运行程序得到多组数据，再

2、利用rign软件进行作图。最后得到在特定低于势垒高度V的能量E中包含狄拉克方程因子，这是完全不同于单势垒情况的.在这些共振能量中双势垒的传输系数为1，这说明在势垒之间存在准束缚态,这和量子阱中的结构类似,但是它不是定态,最终在这种状态的电子和空穴都会被散射出势垒之外。增加势垒的高度可以远离共振态，降低传输系数。通过作图分析不同势垒宽度的电流电压曲线可以得到薄的势垒电子穿过更容易,所以电流就高. 关键词：量子阱 量子线 量子点 转移矩阵法传输系数Ccution th trsmisioncofcet ofoube barrir usig th trfer matrix mehd tuetmajor

3、ingin Name Fangang Sun utor amHalogWngAbstrt：Th wdinsionalsmicoductor srcue f quntumwell， qatuwire,quantum dt， eefecie mssapprxiation a heterjtions ar presentd。 The trfer matrx method asntrouced and transmssonoefficit oecrn tuneg throuh te rectguar ulbarrer has beencalule with h asfeatrx mtho； Gettn

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7、物理学和高新技术发展中都占有突出作用。半导体低维结构是近年来开拓的新领域，它在一个新的水平上推进着半导体材料的研究和应用。从969年超晶格概念提出以来，低维半导体结构经历了30多年的发展，现在已经成为凝聚态物理最活跃的新生长点和最富有生命力的重要前沿领域之一.量子力学中的一个重要问题是粒子穿透势垒问题，粒子穿透势垒也是一种量子效应。因为从经典力学的角度分析，如果粒子的能量小于势垒的高度，则粒子是不能进入势垒的,将全部被反弹回去;只有当粒子的能量高于势垒高度时，那么粒子才能完全穿过势垒。但是,从量子力学的角度来看,考虑到粒子的波动性之后,问题便可以简化为与波透过一层一定厚度介质相似：有一部分波穿

8、过,一部分波被反弹回去.因此,按波函数的统计解释,粒子有一定的几率穿过势垒，有一定的几率被反射回去，这就是量子力学中粒子的隧穿问题或叫散射问题。实际上,在许多场合都涉及到粒子的隧穿，粒子的隧穿具有重要的应用，比如纳米结构中电子输运问题等涉及电子在限制势中的隧穿.所以，研究粒子的隧穿是凝聚态物理、材料物理、纳米物理以及半导体微电子器件中的一个热点问题。但是,粒子在势垒中的隧穿只有当势垒具有规则的、简单的形状时，我们才能严格地计算其隧穿谱。对于一般的、复杂的势垒，要获得粒子的隧穿谱十分困难,因为人们无法精确求解粒子在势垒中的薛定谔方程。因此，粒子在任意势垒中的隧穿几率谱的计算，只能求助于近似方法.

9、在这篇文章中,我们提出了一种数值处理方法，在文中称之为转移矩阵方法。转移矩阵法是一种处理粒子穿过任意势垒问题的有效方法.由于它简单易行,便于计算机操作，因而已经在多层薄膜、周期性材料和变折射率光学元件等结构中获得了广泛的应用.例如玻恩和沃耳夫利用特征矩阵求解光通过多层介质膜时的透射率和反射率问题。本节我们利用该技术求一维双势垒的传输系数。 低维半导体材料 通常低维半导体材料是指二维、一维和零维材料;目前人类广泛采用的功能材料和元件,其尺寸远大于电子自由程，观测的电子输运行为具有统计平均结果，描述这些性质主要用宏观物理量。当功能材料和元件尺寸小到纳米量级时,其物理长度与电子自由程相当,载流子的输

10、运将呈现显著的量子力学特性，传统的理论和技术已不再适用，需要人们对低维材料进行深入研究。半导体低维结构由于量子限制效应而表现出许多独特的光学、电学特性.该材料的研制成功，打破了过去以超薄层、叠层结构为中心研究半导体量子效应的局面，开辟了量子半导体学研究的新领域。低维半导体材料是指维数低于三维的半导体材料;其中包括量子点（(QD）材料(零维材料），量子线(QWR）材料（一维材料)和量子阱(QW）材料(二维材料)。1 量子阱材料在量子力学中，能形成离散量子能级的原子、分子的势场就相当于一个量子阱。在量子阱中，载流子的运动在平行于阱壁的方向上不受势垒的限制，可视为“自由”的；但在垂直于阱壁的方向上受

11、势垒限制，阱宽为量子尺度,载流子在该方向上的运动表现出量子受限行为或者说：该体系中的载流子只是在二维空间中可自由运动，这是一种二维体系。主要半导体量子阱材料有laA、GaIn、InGaA、InGAsP、InGN、GaIns、IA、GaINs等。量子阱材料的生长方法有MBE（分子束外延)法、MOCD（金属有机物化学气相沉积）法和MOVP（金属气相外延）法等。半导体量子阱材料的特征是电子态密度呈台阶形状；阱中激子具有二维特性,它的束缚能大，不容易离解。这些特性决定了该材料在量子阱激光器、光调制器和共振遂穿量子效应器件中有广泛应用.GaAs 、InP基量子阱材料已发展得相当成熟，并用于制作集成电路、

12、EMT、HB(异质结双极晶体管）.1。量子线材料一维量子线材料,是指载流子仅在一个方向可以自由运动，而在另外两个方向则受到约束；主要半导体量子线材料有Si，碳纳米管、GaAs、IAs、aN、InGaAs、AlaA等；制作量子线的主要方法有选择外延法、在有V形槽的衬底上外延生长法和在微倾斜的衬底上外延生长法. 量子线材料的显著特点是电子态密度呈尖峰形状,容易实现粒子数反转，故适于制作低阈值激光器;利用量子线控制杂质散射原理，可制成量子线沟道场效应晶体管（FET）;单模量子线可制作量子干涉FET和布喇格反射量子干涉ET等.1. 量子点材料零维量子点材料，是指载流子在三个方向上运动都要受到约束的材料

13、系统,即电子在三个维度上的能量都是量子化的。主要半导体量子点材料有Si、Ge、Gas、aN、GSb、InAs、P、SiC、SiGe、ZnO等；制备量子点的主要方法是自组织生长方法和K生长模式，即利用两种材料之间的晶格失配,在外延薄膜达到某一临界厚度时,在应力的作用下以成岛方式生长。 这种零维体系的物理行为（如光、电性质）与原子相似，因而被称为“人造原子，电子在其中的能量状态密度呈现出类似原子的分立、线状的能级结构，故量子点比量子线、量子阱更易达到光学激发所必须的粒子数反转条件，以其制备的QD激光器具有低阈值电流密度、高调制速度和高特征温度系数等优良性能。此外，该材料还可以用来制作超高速、高性能

14、的单电子晶体管(SET)等新型量子器件和可用于下一代光学计算机的光存储器等。2 有效质量近似及物理意义2.1有效质量近似简介 虽然晶体的势是复杂的,但是我们可以运用简单的想象原则把他近似为恒定的。这样由真空中的电子推导出的薛定谔方程式是适用的。但是晶体并不是在真空中，所以需要我们引入一个合适的参数,称为有效质量*。所以定态薛定谔方程变为： （1.1）它的能量的解为： (1。2） 在低电子动量和低电场区域有效质量的近似是非常合适的。实验测量发现有效质量揭示了它的各向异性。GaAs有效质量为0。067，这里是微电子静止时的质量.图(。1）描绘了真空中的电子与有效质量近似的对比曲线。 图1.1 电子

15、在aAs中和在真空中的能量波矢曲线图2.2有效质量的意义 有效质量概括了半导体内部势场的作用，使得在解决半导体中电子在外力作用下的运动规律时可以不涉及到半导体内部势场的作用，可以方便解决电子的运动规律，但只有在能带极值附近才有意义。能带电子运动的速度和加速度都与能带结构有关；对能带极值附近的电子在引入有效质量后，可简单作为自由电子来处理。3 异质结构及隧道效应.1异质结构 “异质结”是指由两种带隙宽度不同的半导体材料长在同一块单晶上形成的结。结两侧材料的导电类型可以相同，也可以不同,前者称为“同型异质结”，后者称为“异型异质结。由于两种材料电子亲和能和带隙宽度不同,异质结将具有一系列同质结没有

16、的特性。最初,由于组成异质结的两种材料晶格常数不同,界面附近的晶格畸变形成大量错位和缺陷，因而不能做出性能比较好的异质结.1968年美国的贝尔实验室RCA公司和苏联的约飞研究所同时宣布做成了GAs-A双异质结激光器。他们之所以取得成功主要原因之一是选择了有较好的晶格匹配的一对材料。同时他们还认真摸索了生长规律和完善了制造工艺。随后,异质结的生长工艺技术、异质结器件都有很大发展,同时也促进了异质结物理研究的深入开展。 有效质量的近似是对于块状的晶体而言。在有效质量近似下，薛定谔方程可以写为 (1。） 当两种材料相互接近形成异质结时，由于有效质量是位置的方程，对于每一种材料这个方程是有效的。但是不

17、同材料的能带间隙是不同的，我们假定在每一种材料中有效质量是一样的，那么薛定谔方程可以写为： (1） 以上所述,一维的势表示了在异质结中能带的不连续性。 图1。2 一维单量子阱和阶梯量子阱中导带和价带中的势垒 异质结构是由多个异质结组成的，因此有大量的可能性存在.如果一个能带间隙窄的薄层材料A，两边被能带间隙宽的材料B夹在中间,如图(1。2）(左)所示。这就形成了一个双异质结。如材料足够的薄，展现出了其量子的性能,这种组合就称之为单量子阱. 任何带电的载流子在这个系统中,都会试图到达低的能级上去。也就是说任何的电子和空穴都将被吸入量子阱内。图1. 一维对称和不对称的双量子阱图1。 一维多量子阱和

18、超晶格 任何复杂的结构都是可以形成的，就像是对称或是不对称的双量子阱如图（.3），多量子阱还有超晶格如图(14）。这些结构的不同之处在于量子阱之间的相互作用不同。特别是多量子阱展现出单个孤立量子阱的性能，而超晶格展现出量子阱之间的相互作用.介绍这些复杂的结构知识能为器件的开发裁剪出合适的光学和电学性能的材料。3.2隧道效应概述所谓隧道效应，是指在两片金属间夹有极薄的绝缘层，当两端施加势能形成势垒V时,能量小于势垒高度的电子仍能贯穿势垒的现象，称为隧道效应。产生隧道效应的原因是电子的波动性.经典物理学认为，物体越过势垒，有一阈值能量；粒子能量小于此能量则不能越过,大于此能量则可以越过.量子力学则

19、认为,即使粒子能量小于阈值能量，很多粒子冲向势垒，一部分粒子反弹,还会有一些粒子能过去，好像有一个隧道，故名隧道效应。可见，宏观上的确定性在微观上往往就具有不确定性.虽然在通常的情况下，隧道效应并不影响经典的宏观效应，因为隧穿几率极小，但在某些特定的条件下宏观的隧道效应也会出现。 隧道效应本质上是量子跃迁,电子迅速穿越势垒。隧道效应有很多用途，如制成分辨率为0量级的扫描隧道显微镜,可以观察到i的（11）面上的大元胞。4 转移矩阵法的建立 对于多量子阱系统半导体物理学家和电子器件工程师设计和制造电子器件所需的异质结构比单量子阱要复杂的多,执行边界条件解每一层的薛定谔方程得到未知的参数，这都用到多

20、量子阱系统，考虑一个不对称的双量子阱系统，如图（1) 图21 双量子阱中薛定谔方程的解选择两个阱一样深，所有的势垒一样高使得()和（）在整个结构中都是恒定的.现在考虑有效质量近似情况（因为晶体并不是在真空中,所以需要我们引入一个合适的参数，称为有效质量m)和边界条件（因为每一点的势能有限，所以波函数连续和波函数的一阶导数也连续)。首先考虑z0。则： A+BD (2。1） (2)当Z=a，则： （2.3) (。4）Zb: （2.） (2.6)Z=c: （2。7) (2.8)我们可以写成矩阵的形式： (2.)（210)(2.11)（2。12)左边的2矩阵可以写为n-1，右边的写为2n，则矩阵方程变

21、为: （2） （2.14） (2.5） （216）由式（2.1）得： (2.17）由式（2.14）得： （218) （2。19）最后： (2.0）2矩阵相乘结果仍是矩阵,所以： （.21）所以: （22） (2。23）在势垒外波函数必须为零，所以指数增长的系数应该为零。这也就是说0和=0，第二个方程意味着M20。由于所有的M都是和的方程,所以同样也是能量E的方程： (.4）这个方法称为转移矩阵法。只要能量E知道,这些系数就都可以求出来。 基于转移矩阵方法,可以研究任意势垒、任意入射能量下的量子隧道贯穿几率。通过比较可以得到传输矩阵方法与CULL的结果非常靠近。于此同时，我们可以研究双势垒对应的

22、穿透几率，发现当内外两个势垒高度比较靠近时，穿透几率会出现共振现象.这种共振现象完全是量子力学框架下粒子波传输的结果,是经典物理没法描述的.这些研究对于弄清极端垒下重离子熔合机制、重核的衰变及原子核裂变具有非常重要的参考价值。5 转移矩阵法的应用 图2.2 双势垒结构 一个宽带隙的材料夹在窄带隙的材料之间,就形成了势垒结构。如果两个势垒被分开一个合理的距离,这个系统被称为双势垒系统。这种势垒结构是可以阻止载流子的。在经典力学中,只有能量E大于势能时才能越过势垒运动到右边，能量E小于势能的粒子被反射回来不能运动到右边。而在量子力学中则不同,无论粒子能量大于或是小于势能则粒子都有可能穿过势垒运动到

23、右边。这种现象称为微观粒子隧道贯穿势垒或隧穿势垒。这种奇异的量子隧道效应在经典力学中是不存在的。但是在晶体中电子和空穴撞击势垒，这种现象是每天都在发生的.一种量化这个性能的参数称为传输系数.在势垒高度为V,能量为E ,势垒宽为L1和L的传输系数求解为：考虑在每一个区域内薛定谔方程的解，当EV时： （。5) （26） （.7） (.28) （2。2）在每一个区域运用标准的边界条件：Z=I1=： （2.30） （.31）Z=2=1: （2.2） （233）Z=I3=L1+2： （2。34） （235）Z=I4L1+3 （2。36) (2。7）运用转移矩阵法,将方程写为矩阵的形式： (2。3） (。

24、39） (24） （2。41）可以得到: (。42) 明显的这个22的矩阵有四个未知量，是不能一一解出的。边界条件是为了满足物理性质强加的，但是前边边界条件用来解量子阱的限制态，在这种势垒的结构中是不适合的。 图23 增加边界条件后的波函数 一个有用的方法就是假设所有的电荷载流子都是从势垒的一边入射，就是图(.3)所示。更进一步的假设是在结构的右边没有其它的异质结存在.这样的话L=0：所以2的矩阵写为: （.3） (2。44）传输系数为： (2。45）图2.4 通过阱宽为能量为10mv的双势垒的传输系数图像图（2。）给出了势垒之间距离为,高度为10meV，宽度为0m的势垒的传输系数的例子.有效

25、质量为0.067。从图中曲线可以看出在特定低于势垒高度V的能量 包含狄拉克方程因子。这个和单个势垒不同。这说明在势垒之间存在准束缚态,这和量子阱中的结构类似.但是它不是定态，最终电子和空穴都会被散射出势垒之外。 增加势垒高度的影响如图(.5）所示。增加势垒的高度可以远离共振态，降低传输系数。从经典的角度来说，高度增加了，自然增加了电子穿过势垒的难度。共振能量也随着势垒高度的增加而增加。因此也会出现第二的准束缚态。图2。5 穿过00As50Ga1As不同高度势垒的传输系数图传输系数对于双势垒结构是一个非常重要的参数。但是它自身是不能测量的，所以我们可以通过它的电流电压特性（V曲线）来推测. 当电

26、场加入到双势垒中，半导体中的任何载流子，不管是内部的还是外加的，都在势垒的左边形成电流.这些载流子具有能量和动量的分布,一般是费米狄拉克分布。这些载流子具有相同的能量就像共振一样，能够穿过双势垒就像没有障碍一样，这个现象称为共振隧穿。运用电场能够增强这种现象。有很多复杂的不同能级的电流电压特性的变化模型,但是最简单的还是值得回顾的.电流应该正比于穿过这个结构的载流子数目。所以： （24）其中f 为态被占有的几率,p为态密度.图（2。6）画出了这种模型。 图.6 电流穿过双势垒的简单模型这里: （.47） (24）图（2.）给出了这种模型的结果.这个图描绘了各个温度下x=0。2图（2。5）的结构

27、情况。单个的共振,对应着单个电流的峰值。很明显随着温度的增加,这个峰变宽，这是载流子的分布变宽直接结果.图（2.8) 给出了温度为77时不同势垒宽度的电流电压曲线.就像前边所说的一样,薄的势垒电子穿过更容易，所以电流就高。图2。7 在不同温度下电流电压的曲线图2.8 在77K时不同势垒宽度的电流电压曲线对于这个模型一个很重要的更新就是加入电场看传输系数的变化。运用式子: （.49)每一个区域的解都是iry uncions的线性组合。则每一个区域在电场中的解为: (2.0） （2。5) （2。52) （23） （2.5）这个方程很难求出数值解的，特别是在非零区域还要考虑EV和E两种情况。也只能运

28、用前边的边界条件和转移矩阵法来求解。结论转移矩阵是散射理论中的一个重要概念。它在研究散射的过程中具有特殊的作用.转移矩阵方法不仅简单易行，而且物理意义清晰，计算方便,有给出解析公式的潜力。所以如能充分利用转移矩阵,明确矩阵之间的关系，将给问题的解决带来很大的便利和意想不到的收获。目前转移矩阵技术在描述光在薄膜中的传播是一种比较成熟的方法，并且转移矩阵在一维问题中的应用很多,而且较为成熟。这篇文章就是利用转移矩阵法求一维双势垒的传输系数并分析了势垒参数对传输系数的影响。增加势垒的宽度可以降低传输系，增加势垒的高度也可以远离共振态，降低传输系数。致谢 在本论文完成之际，我首先要感谢我的指导老师王海

29、龙教授。在这期间，王老师为我付出了大量的心血,为我的学习和生活倾注， 许多关心。王老师所表现出来的严谨的治学态度,敏锐的物理直觉,宽厚的待人处世方式以及活跃的物理思想深深的影响了我。在王老师的悉心指导下,我的本科毕业论文才得以顺利完成.在此向王老师致以最崇高的敬意和深深的感谢。悠悠岁月总是难忘师恩，在此一并向给我授课的各位老师和辅导员表示诚挚的感谢!感谢曲阜师范大学这四年来对我的培养。感谢陈丽师姐和师哥们给予我的帮助，感谢这篇论文所涉及到的各位学者。本文引用了数位学者的研究文献,如果没有各位学者的研究成果的帮助和启发,我将很难完成本篇论文的写作。感谢我的室友们在生活上给予我的帮助和关心。最后我

30、要感谢我的父母，他们在我多年的求学生涯中给了我最无私的和最默默无闻的帮助.参考文献:1程宪章,张忱.低维半导体材料研究进展。半导体杂志，20,25（)：4492胡赓祥,蔡珣,戎咏华材料科学基础M。第三版。上海交通大学出版社，2010：4174473周世勋。量子力学教程M第二版.北京:高等教育出版社,209:343.4曾谨言。量子力学.第二版，科学出版社,195：92-.5杨军,陈磊，陈致立，肖学旺。非对称方势垒量子隧穿研究及其数值模拟J。大学物理,2011,0（7)：9章永义。势垒贯穿的一种计算方法J。物理与工程，988：4367张红梅，刘德.传递矩阵方法与矩形势垒的量子隧穿J.河北科技大学学

31、报，06,27()：1963。8 曹撞琪，殷澄。一维波动力学新论M第1版。上海交通大学出版社,12：148.9 管丕恺,张臣面向21世纪的半导体材料.中国集成电路,201,4：474.1王占国。低维半导体结构材料及其器件应用研究进展。院士论坛,11,22(）:.11李树深低维半导体结构有效质量理论D中国科学院半导体研究所，19:11 12 黄昆.固体物理学.第1版.北京:高等教育出版社,1988:3538.13 田强，杨锡振。半导体低维体系简介J.物理实验,201，1（）：4。14秦玉娇，王宁，刘敏.势垒贯穿的传输矩阵计算方法。广西物理，2012,3（2）：15.1 Paul Harn .uantum Well, Wiresand DtsM。Secon :ohnWley &on, Ltd.20：1-0.文中如有不足，请您见谅！