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1、海淀区高三年级第二学期期中练习数 学（文科） 2018.4本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回。第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)已知集合，且，则可以是 (A) (B)0 (C)l (D)2(2)已知向量a=(l，2)，b=（，0），则a+2b= (A)（，2） (B)（，4） (C)(1，2) (D) (1，4）(3)下列函数满足的是 (A) (B) (C) (D) (4)执行如图所示的程序框图，输出的S值为 (A)2 (B
2、)6 (C)8 (D) 10(5)若抛物线上任意一点到焦点的距 离恒大于1，则的取值范围是 (A) (B) (C) (D) (6)如图，网格纸上小正方形的边长为1，若四边形及其内部的点组成的集合记为，为中任意一点，则的最大值为 (A)1 (B)2 (C) (D) (7)已知是等差数列的前项和，则“对，恒成立”是“数列为递增 数列”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件(8)已知直线：与圆相交于两点，是线段的中点，则点到直线的距离的最大值为(A)2 (B)3 (C)4 (D)5第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共6小题，每小题5
3、分，共30分。(9)复数 .( 10)已知点(2，0)是双曲线：的一个顶点，则的离心率为 . ( 11)在中，若，则 ， . ( 12)某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是 .( 13)已知函数，给出下列结论： 在上是减函数； 在上的最小值为； 在上至少有两个零点，其中正确结论的序号为 .（写出所有正确结论的序号） ( 14)将标号为1，2，20的20张卡片放入下列表格中，一个格放入一张卡片把每列标号最小的卡片选出，将这些卡片中标号最大的数设为；把每行标号最大的卡片选出，将这些卡片中标号最小的数设为甲同学认为有可能比大，乙同学认为和有可能相等那么甲乙两位同学中说法正确的同学是 .三、
4、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。( 15)（本小题13分） 已知等比数列满足以， ( I)求数列的通项公式； ()试判断是否存在正整数，使得的前项和为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由( 16)（本小题13分） 函数（）的部分图象如图所示， 其中是函数的一个零点 (I)写出及的值； ()求函数在区间上的最大值和最小值 ( 17)（本小题13分） 流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气相对湿度过大或过小时，都有利于一些病毒的繁殖和传播科学测定，当空气相对湿度大于65%或小于40%时，病毒繁殖滋生较快，当空气相对湿度在45%55%时，病毒死亡较快，现随机抽取了全
5、国部分城市，获得了它们的空气月平均相对湿度共300个数据，整理得到数据分组及频数分布表，其中为了记录方便，将空气相对湿度在%时记为区间组号 1 2 3 4 5 6 7 8分组15,25) 25,35) 35,45) 45,55) 55,65) 65,75) 75,85) 85,95) 频数 2 3 15 30 50 75 120 5(I)求上述数据中空气相对湿度使病毒死亡较快的频率；()从区间 15，35）的数据中任取两个数据，求恰有一个数据位于25，35）的概率；()假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中空气月平均相对 湿度的平均数在第几组（只需写出结论）(18)（本小
6、题14分） 如图，四棱锥中，且平面，为棱的中点 (I)求证：平面;()求证：平面平面;()当四面体的体积最大时，判断直线与直线是 否垂直，并说明理由( 19)（本小题14分） 已知椭圆的两个焦点为，离心率为 (I)求椭圆的方程； ()设点是椭圆的右顶点，过点的直线与椭圆交于，两点，直线，与直线分别交于，两点求证：点在以为直径的圆上( 20)（本小题13分）已知函数 (I)当时，求曲线在处的切线方程； ()当时，判断 在上的单调性，并说明理由；()当时，求证：，都有海淀区高三年级第二学期期中练习 数学(文)参考答案与评分标准 2018.4一选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列
7、出的四个选项中，选出符合题目要求的一项题号12345678答案CADDDBCC二填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9 10 11 12 13 14. 乙三解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15解：（）设的公比为， 因为 ，且，所以 ， 得 所以 6分 （）不存在，使得的前项和为 因为， 所以 10分方法1：令 ，则得，该方程无解. 所以不存在，使得的前项和为. 13分方法2：因为对任意，有， 所以 所以不存在，使得的前项和为。 13分 16解：（） 6分（）由（）可知， 因为，所以 当 即 时， 的最小值为. 当 即 时， 的最大值为. 13分1
8、7解：（）由已知，当空气相对湿度在时，病毒死亡较快. 而样本在上的频数为30，所以所求频率为 3分（）设事件为“从区间的数据中任取两个数据，恰有一个数据位于” 设区间中的两个数据为，区间中的三个数据为，因此，从区间的数据中任取两个数据，包含 共10个基本事件， 而事件包含共6个基本事件， 所以. .10分（）第6组. .13分18（）证明：取线段的中点，连接. 因为为棱的中点，所以在中，. 又，,所以.所以四边形是平行四边形, 所以. 又平面, 平面,所以平面. （）因为,为中点,所以. 又平面,平面,所以 又,所以平面. 又，所以平面. 因为平面,所以平面平面. .9分（）. 设， 则四面体
9、的体积 . 当，即时体积最大. 又平面,平面,所以. 因为,所以平面. 因为平面，所以. .14分19解：（）由题意，设椭圆方程为 ，则 得 所以椭圆方程为 .5分（）证明：由（）可得.当直线不存在斜率时，可得直线方程为，令得, 同理，得.所以,得.所以,在以为直径的圆上. 当直线存在斜率时，设方程为 ，、.由可得.显然, 直线方程为，得 , 同理， . 所以. 因为所以 所以 所以,在以为直径的圆上. .14分综上，在以为直径的圆上. 20解：（）当时，,. 得 又, 所以曲线在处的切线方程为 .4分（）方法1：因为，所以. 因为，所以. 所以. 所以 当时， 所以在区间单调递增. .8分方
10、法2：因为，所以. 令， 则 ， 随x的变化情况如下表：x+极大值当时，.所以时，即，所以在区间单调递增. .8分（）方法1：由（）可知，当时，在区间单调递增，所以时，. 当时，设，则 ， 随x的变化情况如下表：x+极大值所以在上单调递增，在上单调递减 因为， 所以存在唯一的实数，使得， 且当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减. 又 ，,所以当时，对于任意的，. 综上所述，当时，对任意的，均有. .13分方法2：由（）可知，当时，在区间单调递增，所以时，. 当时， 由（）可知，在上单调递增，在上单调递减，因为， 所以存在唯一的实数，使得， 且当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减. 又 ，,所以当时，对于任意的，. 综上所述，当时，对任意的，均有. .13分
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