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1、反证法证明题例1已知 A , B , C为ABC内角.求证： A, B , C中至少有一个不小于 60.证明：假设 ABC的三个内角A， B， C都小于60，即 A 60，B 60，C 60，所以 ABC 180，与三角形内角和等于 180矛盾， 所以假设不成立，所求证结论成立例2.已知a 0 ,证明x的方程ax b有且只有一个根.证明：由于a 0,因此方程ax b至少有一个根x .a假设方程ax 至少存在两个根，不妨设两根分别为 x, x2且X! x2，贝 U a/ ,ax2，所以ax2,所以x2) 0.因为捲 x2，所以X! x2 0 ,所以a 0，与已知a 0矛盾， 所以假设不成立，所求
2、证结论成立.33例3.已知a 2,求证a 2.证明：假设a 2，则有a 2,所以 a3(2)3 即 a3812623,3232所以 a8 1266(1)2.因为 6(1)222所以a332，与已知a332矛盾.所以假设不成立，所求证结论成立.例4.设an是公比为的等比数列，Sn为它的前n项和.求证：Sn不是等比数列.证明：假设是 Sn等比数列，则S； S1 S3,2 2 2即 ai (1 q) ai ai(1 q q ).因为等比数列ai 0 ,所以(1 q)21 q q2即q 0，与等比数列q 0矛盾,所以假设不成立，所求证结论成立.例5.证明、2是无理数.证明：假设.2是有理数，则存在互为
3、质数的整数m，n使得,2 m.所以m 迈n即m2 2n2，所以m2为偶数，所以m为偶数.所以设m 2k(k N*)，2 2 2 2从而有4k 2n即n 2k .2所以n也为偶数，所以n为偶数.与m, n互为质数矛盾.所以假设不成立，所求证 、2是无理数成立例6.已知直线a,b和平面，如果a ,b ，且a/b，求证a/因为a，而a证明：因为a/b,所以经过直线a , b确定一个平面。 匸所以 与是两个不同的平面.因为b ，且b,所以I b.下面用反证法证明直线a与平面没有公共点假设直线a与平面 有公共点P，则P I b,即点P是直线a与b的公共点，这与a/b矛盾所以 a/.例7.已知0 a, b
4、, c 1 , (2b)a1 , (2c)b1 ,则(2a)c(2b)a(2c)b1又因为设 0 a, b, c 2, (2 a) a一a)一a1,2同理(2 b) b 0 ,且x + y 2，则1一y和1一X中至少有一个小于2x y证明：假设1y 2 J 2x y因为 x, y 0,所以 1 y 2x,1 x 2y , 可得x + y w 2与x + y 2矛盾.所以假设不成立，所求证结论成立1 例9.设0 a, b, c 1,(1 b)c 1,(11 c)a ,444则三式相乘：ab (1a)b?(1b)c?(1、 1c)a -642又T 0 a, b, c 1 0 (1a)a(1 a) a12411同理：(1 b)b ,(1 c)c -441以上三式相乘：(1 a)a?(1 b)b?(1 c)c w与矛盾64例10.设二次函数f (x) x2所以原式成立px q，求证：f(1), f(2), f(3)中至少有一个不小于1证明：假设f (1), f (2), f (3)都小于1 ,则 f(1)2 f(2)f(3)2.(1) 另一方面，由绝对值不等式的性质，有f(3)q) 2f(1)| 2f(2)f(3)| |f(1) 2f (2)(1 P q) 2(4 2p q) (9 3p(1)、(2)两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确(2)
反证法证明题
