彭珍瑞-控制工程基础-第二章拉普拉斯变换PPT

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1、pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院1微分方程式是描述线性系统运动的一种基本微分方程式是描述线性系统运动的一种基本形式的数学模型。通过对它求解，就可以得形式的数学模型。通过对它求解，就可以得到系统在给定输入信号作用下的输出响应。到系统在给定输入信号作用下的输出响应。然而，用微分方程式表示系统的数学模型在然而，用微分方程式表示系统的数学模型在实际应用中一般会遇到一些困难。实际应用中一般会遇到一些困难。拉普拉斯变换（简称拉氏变换）拉普拉斯变换（简称拉氏变换）是分析研究线是分析研究线性动态系统的有力数学工具。通过拉氏变换将性动态系统的有力数学工具。通过拉氏变换将

2、时域的微分方程变换为复数域的代数方程，这时域的微分方程变换为复数域的代数方程，这不仅运算方便，也使系统的分析大为简化。不仅运算方便，也使系统的分析大为简化。pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院2在控制工程中在控制工程中,使用拉氏变换的主要目的使用拉氏变换的主要目的:用它来研究系统动态特性用它来研究系统动态特性.因为描述系统动态特性的传递函数和频率特性都是因为描述系统动态特性的传递函数和频率特性都是建立在拉氏变换的基础之上的。建立在拉氏变换的基础之上的。pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院3主要内容主要内容第一节第一节

3、拉氏变换的定义拉氏变换的定义第二节第二节 典型函数的拉氏变换典型函数的拉氏变换第三节第三节 拉氏变换的性质拉氏变换的性质第四节第四节 拉氏反变换拉氏反变换第五节第五节 用拉氏变换解微分方程用拉氏变换解微分方程pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院4第一节第一节 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义对时间函数对时间函数f(t)f(t)，t0t0，f(t)f(t)的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换Lf(t)Lf(t)（简称拉氏变换）或（简称拉氏变换）或F(s)F(s)定义为定义为dtetfsFtfLst0)()()(2-1-1)(2-1-1)原函数原函数象函数象函数s

4、jpagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院5一个函数可以进行拉氏变换的充要条件是一个函数可以进行拉氏变换的充要条件是：(1)(1)在在t0t0时，时，0)(tf(2)(2)在在t0t0的任一有限区间内，的任一有限区间内，f(t)f(t)是分段连续的；是分段连续的；dtetfst0)(3)(3)pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院6 加于控制系统的外作用一般事先是不完全知加于控制系统的外作用一般事先是不完全知道的道的,而且常常随着时间任意变化。为了便于对而且常常随着时间任意变化。为了便于对系统进行理论分析系统进行理论分析,工

5、程实践中允许采用以下几工程实践中允许采用以下几种简单的时间函数作为系统的典型输入种简单的时间函数作为系统的典型输入,即即单位单位阶跃函数、单位斜坡函数、等加速函数、指数函阶跃函数、单位斜坡函数、等加速函数、指数函数、正玄函数、以及单位脉冲函数数、正玄函数、以及单位脉冲函数等。等。第二节第二节 典型函数的拉氏变换典型函数的拉氏变换pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院71 1、单位脉冲函数、单位脉冲函数000)(ttt 1)(dtt性质性质)0()()(fdtttf0()()1stLttedt其拉氏变换其拉氏变换 且且)(t1)(tft0图图2-2-1 2-2

6、-1 单位脉冲函数单位脉冲函数pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院82 2、单位阶跃函数、单位阶跃函数0 0()1 0tf tt 图图2-2-2 2-2-2 单位阶跃函数单位阶跃函数)(tf10t其拉氏变换其拉氏变换00()1111(0 1)ststL f tedtesss pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院93 3、单位斜坡函数、单位斜坡函数0 0()0tf ttt 图图2-2-3 2-2-3 单位斜坡函数单位斜坡函数)(tfto其拉氏变换其拉氏变换0002()11()1stststL f tt edtteedts

7、ss pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院104 4、等加速函数、等加速函数20 0()1 02tfttt其拉氏变换其拉氏变换 201()2stL f ttedt31spagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院110 0()()0attf taet为实数5 5、指数函数、指数函数 dteeeLstatat0dtetas)(0其拉氏变换其拉氏变换 as 1pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院1222s0 0()()sin 0tf ttt为实数0sinsindtettLst其拉氏变换其拉氏变

8、换 6 6、正弦函数、正弦函数 pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院130coscosdttetLst其拉氏变换其拉氏变换 余弦函数余弦函数 22ss0 0()()cos 0tf ttt为实数pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院14)(21sintjtjeejt注注:欧拉公式欧拉公式)(21costjtjeetpagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院15)()(11sFtfL)()(22sFtfL为常数和ba)()(21tbftafL 设设 则则)()(21sbFsaF1 1、线性性质

9、齐次性和叠加性、线性性质齐次性和叠加性第三节第三节 拉氏变换的性质拉氏变换的性质pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院16则对任一实数设,),()(asFtfL)()(sFeatfLas时域位移定理时域位移定理)()(asFtfeLat复数域位移定理复数域位移定理2 2、位移定理、位移定理pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院17则若)()(sFtfL()()(0)dLf tsF sfdt3 3、微分性质、微分性质pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院18)()(sFtfL12(1)()

10、()(0)(0)(0)nnnnnnd f tLs F ssfsffdt推论推论 若若特别地，当特别地，当(1)(0)(0)(0)0nfff)()()(sFstfLnnpagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院194 4、积分性质、积分性质则若)()(sFtfL(1)0()(0)()tF sfLf t dtsspagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院20)()(sFtfL推论推论 若若特别地，当特别地，当(1)(2)n1000()111()()()(0)(0)1(0)tttnnnnLf t dtF sffsssfs(1)(2)()

11、(0)(0)(0)0nfff)(1)(0sFsdttfLt)(1)(n000sFsdttfLtttn pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院215 5、初值定理、初值定理存在，则且)(limssFs)(lim)(lim)0(0ssFtffst，设)()(sFtfLpagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院226 6、终值定理、终值定理)()(sFtfL设且且F(s)F(s)在在s s平面的右半平面及除原点以外的平面的右半平面及除原点以外的虚轴上解析，则函数的终值为虚轴上解析，则函数的终值为)(lim)(lim0ssFtfstp

12、agepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院237 7、卷积定理、卷积定理)()(11sFtfL)()(,22sFtfL)()(21tftfLdtedtffstt 0201)()()()(21tfLtfL)()(21sFsF则若卷积符号卷积符号pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院24jjstdsesFjsFLtf)(21)()(1第四节第四节 拉氏反变换拉氏反变换从象函数中找出原函数，这就是拉氏反变换。从象函数中找出原函数，这就是拉氏反变换。pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院25求拉氏反变

13、换的方法有：求拉氏反变换的方法有：(1)(1)查表法查表法(2)(2)部分分式法部分分式法(3)(3)有理分式法有理分式法pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院26一般象函数可以表示成如下的有理分式一般象函数可以表示成如下的有理分式nnnnmmmmasasasabsbsbsbsAsBsF11101110)()()(分母进行因式分解)()()(2101110nmmmmpspspsabsbsbsbsFpagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院271 1、当、当A(s)=0A(s)=0无重极点无重极点(n(n个不等根个不等根)时，时

14、，F(s)F(s)可表示为可表示为nnpscpscpsc22111011012()()()()()()mmmmnb sb sbsbB sF sA saspspsp)()(limsFpscipsiiniiipsc1pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院28因此因此,原函数为原函数为 niiipscLsFLtf111)()(nitpiiec1pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院29例例1 1 已知 ,试求原函数.)3)(2)(1(35)(sssssF解：写成部分分式形式321)(321scscscsF1)3)(2)(1(35

15、)1(lim11ssssscspagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院307)3)(2)(1(35)2(lim22ssssscs6)3)(2)(1(35)3(lim33ssssscsttteeetf3267)(pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院31 课堂练习：求课堂练习：求F F（s s）的拉氏反变换）的拉氏反变换223)(2ssssF3455)(22sssssFpagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院322 2、当、当A(s)=0A(s)=0有重根有重根时，时，F(s)F(s)可表示为

16、可表示为123()()()()()()()()rnB sB sF sA sspspspsp111211111.()rrrcccspspsp3223.nncccspspsppagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院331111()()rspcspF s1121()()rspdcspF sds1213121()()2!rspdcspF sds1(1)1111()()(1)!rrrrspdcspF srds 式中式中 ,为重极点对应的待定系数为重极点对应的待定系数 11121,rcccpagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院34其余系

17、数其余系数 的求法与第一种情况所的求法与第一种情况所述的方法相同述的方法相同23,nc cc()()(2,3,)iiispcsp F sinpagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院35因此，因此，的拉氏反变换为的拉氏反变换为()F s111311121211112312111212()()()()(1)!(2)!inrrrnnp tp trrriif tLF sccccccLspspspspspspccttcecerrpagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院36例例2 2 已知已知 ，试求原函数，试求原函数f(t)f(t)。)

18、3()1(2)(2sssssF解：解：31)1()(43122scscscscsF21)3()1(2)1(lim2212ssssscs43)3()1(21(lim2211sssssdsdcs）pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院3732)3()1(2lim203ssssscs121)3()1(2)3(lim234ssssscs)3(12132)1(43)1(21)(2sssssFttteetetf3121324321)(pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院38第五节第五节 用拉氏变换解微分方程用拉氏变换解微分方程(3)

19、(3)取拉氏反变换，得微分方程解。取拉氏反变换，得微分方程解。利用拉氏变换解微分方程，其步骤如下：利用拉氏变换解微分方程，其步骤如下：(1)(1)对方程两边取拉氏变换，得函数的代数方程；对方程两边取拉氏变换，得函数的代数方程；(2)(2)由代数方程解象函数；由代数方程解象函数；pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院39ssYyssYysysYs6)(6)0(5)(5)0()0()(2解：解：将初始条件代入得将初始条件代入得例例3 32)0(,2)0(6)(6)(5)(yytytyty求微分方程求微分方程满足初始条件满足初始条件的解。的解。6122)()65(22sssYsss)3)(2(6122)65(6122)(222sssssssssssYpagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院4032)(321scscscsY21021261(2)(3)ssscss ss5)2()3)(2(6122222sssssssc4)3()3)(2(6122323sssssssc123()()1 54tty tLY see pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院41