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1、南安一中2012届高二年上学期期末考数学试卷（理科） 第卷 选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1下列各组向量中平行的是 （ ）A BC D2某质点按规律（s单位：m，t单位：s）作直线运动，则该质点在t=2时的瞬时速度为（）A9 B16 C24 D253方程的两个根可分别作为 （ ）A一椭圆和一双曲线的离心率 B两抛物线的离心率C一椭圆和一抛物线的离心率 D两椭圆的离心率4曲线在点处的切线方程为( )A B C D5如图，在正方体，若，则的值为（ ）A3 B1 C1 D3 6已知双曲线的一条渐近线方程为，则
2、双曲线的离心率为（ ）A B C2D7函数的单调递减区间是（ ）A B C D8已知空间四面体的每条边都等于1，点分别是的中点，则等于（ ）A B C D9抛物线上的点到直线距离的最小值是（ ）A B C D 10函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是 （ ） A B C D 11给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数以下四个函数在上不是凸函数的是（ ）A B C D12椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点现有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程，点是它的两个焦
3、点当静止的小球从点开始出发，沿直线运动，经椭圆壁反射后再回到点时，此时小球经过的路程可能是（） A32或4或 B或28或C28或4或D32或28或4第卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）13已知为单位正交基，且，则向量的坐标是_14双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则 15已知= 16设（其中），且当或时，方程只有一个实根；当时，方程有三个相异实根现给出下列四个命题：的任一实根大于的任一实根的任一实根大于的任一实根和有一个相同的实根 和有一个相同的实根其中正确的命题有 （请写出所有正确命题的序号）三、解答题（本部分共计6小题，满分74分解答应写出文字说明，证
4、明过程或演算步骤，请在指定区域内作答，否则该题计为零分）17（本小题满分12分）已知椭圆的焦点为，且过点()求椭圆的标准方程；（）设直线交椭圆于两点，求线段的中点坐标18（本小题满分12分）如图，长方体中，是中点，是中点() 求证：； （）求证：平面平面19（本小题满分12分）已知函数 （）求函数的图象在点处的切线的方程；（）求函数区间上的最值20（本小题满分12分）四棱锥中，侧棱，底面是直角梯形，且，是的中点（I）求异面直线与所成的角；（II）线段上是否存在一点，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由21（本小题满分12分）已知直线过抛物线的焦点且与抛物线相交于两点，自向准线作垂线，垂
5、足分别为 ()求抛物线的方程；()证明：无论取何实数时，都是定值； (III)记的面积分别为，试判断是否成立，并证明你的结论22（本小题满分14分）已知函数（I）当时，求函数的单调区间；（II）若函数在区间上无极值，求的取值范围；（III）已知且，求证：南安一中2012届高二年上学期期末考数学试卷（理科）答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）16: A C C B B A ； 712: C A D D B D二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）13. 14. 15.2 16.三、解答题（本部分共计6小题，满分74分）() .6分（）证法一：. ，又，10分平
6、面，又平面，（注条件少一个扣1分）平面平面.12分证法二：.设平面的法向量为， ，取8分设平面的法向量为,，取10分， ，平面平面.12分19解：（）时， 切点 .2分 .4分则直线：， 即为所求.6分（）令，则.7分当变化时，的变化情况如下表：-2(-2,1)1(1,1)1（1，3）3002极小值2极大值21810分故函数区间上的最大值为，最小值为.12分20. 解：以为坐标原点，分别以为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，则.2分（I）.则4分，即异面直线与所成的角为6分（II）假设线段上存在一点，使，设.设，则，即，.8分.，即.即线段上存在一点，使得，且.12分21. ()解：由条件知在直线上，即，所以抛物线的方程为2分() 由 得.3分则.4分则，即有定值，.6分(III) 根据条件有由抛物线的定义得，7分于是，.8分9分 ，则有12分22. 解析：（I）当时，定义域为.令，则.2分则当时，当时，故的单调递增区间为，单调递减区间为4分（II）令5分若，则在区间上恒成立，则在区间上无极值；6分若，令 ，则.当变化时，的变化情况如下表：0故在处取得极大值.要使在区间上无极值，则.8分综上所述，的取值范围是.9分（III）由（II）知，当时，在处取得最大值0，10分即 （当时等号成立）.令（且），则，即12分，故14分
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