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1、奥数综合除法与余数定理【内容综述】数学运算既要求正确，还要求迅速。简化运算方法与步骤，是速算的一种重要途 径。例如，应用正负数的概念，可以把有理数的加减法统一为加法，即求代数和，把 两种运算转化成一种运算，就是一种了不起的简化。同样地，整式的加减法也可以统 一成加法，即合并同类项，进而简化为求同类项系数的代数和，把代数式的运算转化 为数的运算，又是一种了不起的简化。本期主要介绍一种简便的综合除法运算方法。【要点讲解】1综合除法在课本上已学习了用竖式计算两个一元多项式相除的问题。由多项式除法我们可 以推得- (此处用-表示关于x的多项式)除以 -：的商式系数和余数有如下 规律：商式的最高次项系数
2、就是丿(按降幕排列后)的第一项系数，把这个数乘以b加的第二项系数得商式的次高次项系数，以此类推最后得余数。例1计算()分析把除式变成人-形式用综合除法，解：W ：_一；，35a-9十応 -!-23-4+1|2巧& 余式商式为 二-，余式为-38说明用综合除法计算时要注意：(1) 被除式与除式按降幕排列后的缺项要用0补足；(2) 除式要变成 厂一二的形式(b可以是负数)例2用综合除法计算(1)： (2) “解：(1)二:二二一 1 .二 I 二 _二.卞*1二卫-匕一 1)-11+Q+32-14 1 +1-9+ 111-1 +g_】1-3商式为匚一丿二-,余式为-3(2)用-除，只需先以.-除：
3、 J -,再把求得的商用2除，而余数不变。2+5-24-152121+1+3TT21392托-212+421211 +324商式为212139，余式为4 。说明一般地，多项式除以一次二项式f ,用综合除法先将多项式除以-所得的商式除以 p就是所求的商式，所得的余数就是所求的余数。2、余数定理若多项式f （x）除以盏_匕的商式为p（ x），余数为r,则- M钟去（丄丿* * 当讥时，厂宀（此处表示多项式中 x用数值b代入后计算出的数值），从而有下面的定理。余数定理多项式除以（“-）所得的余数等于 o特别地，当-时，我们称多项-能被-整除，即（工一）是的因 式，这也称为因式定理。由余数定理易知多项
4、式- ：1除以1 1的余数就是. 的多项式/（-）的值。余数定理告诉我们，可以不做除法求 除以疋一：的余数；反过来在、川计算复杂时也可以用综合法求o例3 一个关于x的二次多项式,它被除余2,它被除时余28，它还可被整除，求八。/(I) = 2,f(3) = 9a + 3bA-c = 2解：设J由题意得/1) = a b+匚=解得 a=3,b=1,c=2。说明因-能被整除，所以 I是的因式，于是可设，再由,，列出a,b的方程求解。例4利用余数定理判断 二能否被a-b, a+b整除。分析 含-宀 八,即把看成是含字母a的多项式* -,要判断、能否被a-b, a+b整除，即判断 ：， I是否为零。解
5、：令） = _厂 丁当a=b时，八=:;，故小 丁能被a-b整除;0 ，当n为偶歓；心）*即-扩彳卜必，当口为奇飙当a=-b时，故当n为偶数时， 厂能被a+b整除，当n为奇数时，/ 丁不能被a+b整除,余式为二：例5试确定a和b,使二二 ： 一能被一整除。解：由于 ，因此，若设假如1-能被| 1 1整除，则x+1和x+2必是门的因式，因此，当x=-1，心0,即卩l + u+ A + 2-CJf当x=-2时，厂：即-6由，联立，则得了时，八加亠2能被宀张+2整除。16 + 4左十 2b2=0思维训练题A级 1、当多项式丁 】除以多项式二 -时，其余式为（）。（A） 2（ B）-2（ C） 2x-
6、2（ D） -2x-2 2、多项-寸 除以多项式 x-3所得余数为（）。（A）-71（ B）71（ C）-59（ C）59 3、若多项式 盂+滋只亠楓含有因式x-1和x-2，则mn 。 4、求（除以二J1 的商式和余式。B级 5、设，以1991除x，所得余数是（）。（A）0（ B）1（ C）2（ D）4 6、已知（弘丰1）弋戸十亦+cs3 +必.财+于，则盯”匕_4 +叶f 值为（）。（A）30（ B）-30（ C）32（ D）-32 7、如果二 0，则 P +2齐 2只 +x-1=。 &已知户是二元二次式一 一】1的一个因式， 贝U a+b=。 9、已知 匕 n :能被 I-整除，试求 a,
7、b的值。参考答案1、（ C）。一 |.- - 一：一 . L 1 从而2、（ D）,提示：利用余数定理。3、-100，提示：利用余数定理，得 m=-5 , n=20。4、商式=-_-+，-:，余式=-I：B级5、（ B）,提示：忙=1十（一护十罗）十Up十号）十十十198护）=1+（2- 3） + （4 + 5）+ * + （1988+1989）= 1 +（2 + 3- + 1989）-1 + 994x19916、 （C）,提示：含=，得 _ 一 /：即-J -。7、 5，提示，工*十2: - 2只十k -1 = f -x*十H - 2兀十3: -3工十3工-十58、 -3，提示：含x=y=1，则原式为零，即：。9、含.因 r 能整除丿，因此由余数定理，当时，J h 即f由此 得 a=11， b=-6。
奥数综合除法与余数定理
