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1、加窗FFT在频谱分析中的应用1离散傅里叶变换（DFT）1.1DFS1.2DFT对于长度为N的有限长序列，由DFT可重构DTFT，1.3FFT提高DFT运算效率的途径：1、利用的性质：周期性、可约性、共轭对称性2、把长序列化解成短序列进行计算，通过迭代运算来减少 DFT的运算量时间抽取FFT算法简介如下：1、对时域n序号进行奇偶分解：将二进制表述的数位码按高低位码进行倒置得到，以n=8为例：正序：000,001,010,011,100,101,110,111即0,1,2,3,4,5,6,7倒序：000,100,010,110,001,101,011,111即0,4,2,6,1,5,3,72、第一
2、次分解：做二个N/2点的DFT第二次分解：做四个N/4点的DFT. 做N/2个两点DFT 使用迭代算法3、本地即可实现，不需要额外申请空间。2利用DFT做频谱分析过程: (1)采样（2）加窗（3）DFT（或需补零）（4）插值得到连续频谱2.1采样与混叠，。防混叠滤波2.2分辨率与频谱重构实际分析的信号只能是有限长信号，必须进行加窗处理，从而导致分辨率有限，如同从百合窗中观察频谱，只能看到特定频点的幅频信息，此时需要对频谱进行重构，从而得到完整频谱，根据奈奎斯特采样率，这种重构是可以无失真的实现的。两个余弦函数和加矩形窗后的频谱图2.3泄露与栅栏现象泄漏现象：栅栏现象：2.4窗函数及加窗窗函数性
3、能分析如下：3窗函数选择与频谱重构3.1窗函数的一般形式窗函数的一般功能为截断无限长信号为有限长信号，但性能较好的窗函数还应当有良好的频域特征，但由于测不准原理，窗函数时域受限的同时不可能在频域上得到单频点脉冲，必定也是频谱受限信号，由于余弦函数良好的频域特征，一般情况下，我们基于余弦函数构造需要的窗函数。从复杂度出发，我们只考虑三阶以内的窗函数。3.2加窗DFT的重构算法3.2.1相关理论计算假设单频信号频点为f0，对应频域上的位置为，若为整数，则FFT的结果中包含所需的频点信息，可以直接读取。若不是整数，则需要采用插值重构算法才能得到所需的频谱信息。取附近两点k和k+1的FFT结果X(k)
4、和X(k+1)，有3.2.2参数选择原则1、简化插值重构算法原则 为简化插值重构过程，我们令上式中高次项系数均为0，得到三阶窗函数参数选择公式如下：2、旁瓣最快衰减原则 旁瓣衰减速度由窗函数的光滑程度有关，对窗函数求导，由窗函数导数的连续性，可以得到该窗函数的最大可导阶次，此时，窗函数参数满足我们的计算过程显示，最大旁瓣衰减速度的余弦窗函数正是我们需要的具有最简插值重构算法的余弦窗函数，因此，从理论上讲，上述计算得到的窗函数是所有三阶窗函数中旁瓣衰减最快的。继续推导发现，更高阶窗函数同样能够同时满足以上两个原则。3、窗函数阶数选择原则 窗函数阶数越高，旁瓣衰减越快，但同时主瓣宽度越宽，对于FF
5、T来讲，可能淹没高次谐波，因此，选取窗函数时阶数要适中。3.2.3三阶窗函数原则上采用数值分析算法，任意的窗函数都可以计算出频偏，进而求出幅度信息，但为了算法实现的方便，我们定义自己的窗函数满足以下条件：此时，DFT重构算法设计如下：FFT的结果是对连续频谱进行采样，因此需要合理设计频率分辨力，从而得到窗函数的完整频谱。由于三阶窗函数的主瓣宽度为4个频率分辨单位，旁瓣宽度均为1个频率分辨单位，因此Matlab仿真时取采样率为2048，计算点数为4096时，可准确显示出旁瓣电平。Matlab仿真得到窗函数形状如下： 由上图可知，该三阶窗主瓣宽度为4个分辨单位，对于50Hz的电网基波来讲，当分辨率
6、为12.5Hz时，该窗函数刚好可以保证各次谐波之间不产生混叠；最大旁瓣为-62.8dB。3.2.4二阶窗函数对二阶窗的情况有此时，DFT重构算法设计如下：Matlab仿真得到窗函数形状如下：Matlab仿真blackman窗函数形状如下：比较两图可知，blackman窗函数在对第一旁瓣的抑制能力上，要比我们设计的二阶窗函数优异，但从第二旁瓣开始，我们设计的二阶窗函数快速衰减，远比blackman窗函数性能更好，仿真也验证了该窗函数的最快旁瓣衰减特性。而且从重构算法的实现策略上，我们设计的二阶窗函数更为简单实用。3.2.5一阶窗函数对一阶窗的情况有此时，DFT重构算法设计如下：Matlab仿真得
7、到窗函数形状如下： 从结果上来看，一阶窗函数中，旁瓣衰减最快的正是hanning窗3.2.6更高阶窗函数对于更高阶的窗函数，其旁瓣衰减更快，但主瓣宽度更宽，对于谐波分析而言，可能会导致基波被拉伸而淹没高次谐波，因此并不适用，此处只作简要计算分析（以5阶为例）。此时，DFT重构算法设计如下：Matlab仿真得到窗函数形状如下： 从性能上来讲，高阶窗函数第一旁瓣更低，而且旁瓣衰减也更快，但主瓣宽度多达6个频率分辨单位，在频率分辨力较低的系统中，并不适用于进行谐波分析。4窗函数在谐波分析中的应用及性能假设电网单相电压表达式为 其中基波的幅度、相位分别为、；二次谐波的幅度、相位分别为，；三次谐波的幅度
8、、相位分别为，；四次谐波的幅度、相位分别为，。当系统采样率为51200Hz，采样点数为4096点时，频率分辨力为12.5Hz，主瓣刚好落在第5个采样点上，高次谐波全部落在旁瓣电压为0处，故FFT过程并不存在频谱泄露，采用任何窗函数效果都是一样的，也无需进行频谱重构。而实际电网中基波频率可能会出现偏离50Hz的情况，此时FFT过程存在频谱的泄漏，且FFT结果无法准确反映电网频率，此时需要加窗处理并对频谱进行重构，才能得到准确的频谱分析结果。现假设基波，分别用矩形窗和第3节计算得到的一阶、二阶、三阶窗函数进行频谱分析及重构，得到结果如下：1、矩形窗：谐波次数幅度（V）相位（）计算参数精确参数计算参
9、数精确参数1308.3088311.12723.059930210.6987102.864810319.9582024.919845415.55761532.5669602、一阶窗：谐波次数幅度（V）相位（）计算参数精确参数计算参数精确参数1311.1605311.12729.95943029.95341020.186810320.01662045.387445414.98641561.694760 由上表可知，加窗后对各次谐波幅值和相位的计算精度有了很大提高，但二次谐波的相位仍有较大偏差，这是由于基波电压太大，对二次谐波产生的泄漏造成的。2、二阶窗：谐波次数幅度（V）相位（）计算参数精确参数
10、计算参数精确参数1311.1214311.12730.000630210.019610-1.17610319.98732044.826445414.99751558.66260 二阶窗的整体性能比一阶窗更好一些，但二次谐波的相位问题仍未解决。3、三阶窗：谐波次数幅度（V）相位（）计算参数精确参数计算参数精确参数1311.1331311.12729.999430225.567210315.545310320.07882051.622145415.17171578.330560 对三阶窗，其主瓣宽度横跨4个频率分辨单位，即50Hz，导致二次谐波的幅度和相位计算完全偏离精确参数，高次谐波的计算也出现了不同程度的偏差，这是由于系统频率分辨力过低造成的，可见窗函数的阶数并不是越高越好，寻找符合系统采样性能的最优窗函数才是问题的关键。参考文献：1、用于谐波分析的最大旁瓣衰减速度组合优化余弦窗函数 2010.08 黄深喜、樊晓平、刘少强、杨胜跃2、基于六项余弦窗函数插值FFT的谐波分析方法 2011.08 周琍
加窗FFT在频谱分析中的应用
