欧氏空间简介

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1、批第八章欧氏空间本节恒设为实数域。定义 1设是上的向量空间。如果有一个规则，使得对于中任意向量都对应中唯一确定的数，将其记为，并且下述条件成立。1234 若则称为向量与 的内积。而称为欧几里德空间，简称欧氏空间。第五章所讨论的向量空间便是一个欧氏空间，因为那里的内积定义满足定义1 中的所有条件，这是欧氏空间的一个典型代表。又如，设是定义在闭区间上的所有连续函数所构成的上的向量空间，规定中任意二向量，对应则便成为一个欧氏空间。这是因为对任意及实数，均有同时，若不是零函数，则故规定的对应是与的内积。命题 1设为欧氏空间，则对任意及任意，恒有：(1)(2)(3)证明由定义1 知而由知。证毕。由命题

2、1，利用数学归纳法不难证明：对任意都有现在，再把第五章中的向量长度的概念推广为定义 2非负实数称为向量长度，记为。由定义 1 中的条件4 知非零向量的长度恒为正实数。而由命题1 的（ 3）知零向量的长度为 0。除此之外，还有命题 2对任意实数及，有其中表的绝对值。由此即知。定理 1对欧氏空间中的任意二向量恒有而等号成立的充分必要条件是线性无关。证明当线性相关时，其中一个向量必可由另一个向量线性表示，不防设，于是由知当线性无关时，对任意负数均有，从而并即因此必有这也就是，所以这样，便证明了定理的前一结论， 又因上面的两种情况分别说明了后一结论的充分性与必要性成立，故知定理得证。定理 2（三角不等

3、式）对于欧氏空间中的任意向量均有证明由定理 1得故把定理 1 用于前面的具体例子，即可得到关于定积的一个重要的不等式由定理 1 知，在一般的欧氏空间中，对于任意非零向量，恒有因此有意义，而亦称为与的夹角。特别地，当 时，就是说由此易知有下述二命题成立。正交。显然，按此规定，零向量与任意向量均正交。命题3设是欧氏空间的一个向量， 那么中所有与正交的向量构成的一个子空间。称之为的正交子空间。记为。命题 4设是欧氏空间的一个子空间， 那么，中所有与中每个向量均正交的向量构成的一个子空间。称之为的正交子空间，记为。因为欧氏空间的每个子空间在的内积下仍满足定义1 中的四个条件，所以，欧氏空间的子空间仍为

4、欧氏空间。以下若不特别声明总假设为维欧氏空间。 而进行对有限维欧氏空间的讨论，先将第五章2定义 3推广为定义 3 欧氏空间中的向量组 说是正交的， 如果该组中任意两个向量均正交。规定只含一个向量的向量组是正交的。在一个正交向量组中，如果每个向量之长均为 1，则说这是一个标准正交组。采用第五章2 命题 1 的同样证法有命题5若正交组中不含零向量，则该组向量线性无关。由此可见， 中任意标准正交组必为线性无关的向量组， 从而所含向量个数不能多于 个。特别地， 若 中有一个标准正交组合恰含 个向量， 则其便构成 的一个基底， 而称之为标准正交基底。第五章节法，即所谓我们有2，我们曾介绍了把一组线性无关

5、的向量化成与之等价的标准正交向量组的方正交化过程。这种方法也适用于一般的欧氏空间。因此，定理3如果是一个标准正交组， 而，则必有，使仍为标准正交组。此由上一章3 定理4 及上面的说明即知。定义4设和都是欧氏空间（不一定是有限维的）。如果有到做为一般向量空间的同构映射，使对任意的，均有则说 是欧氏空间 到 的同构映射。若有欧氏空间 到 的同构映射存在，则称做为欧氏空间 与 同构。定理 5 在 维欧氏空间 的一个标准正交基下，规定每个向量对应它的坐标，则此对应就是 到实数域上的 元列空间 的一个同构映射。证明由上章 3 定理 10，可知做为普通向量空间，这个对就是一个同构映射。现在来看内积的对应。

6、设是的标准正交基底。任取，设的坐标分别为由于，即知可见这个对应满足定义4 中的条件，因此，它是欧氏空间到的同构映射。推论 1两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件是它们的维数相同。事实上，做为向量空间，同构即已意味着维数相同。反之，若二欧氏空间的维数都为，则二者均与同构，从而二者亦同构。推论 2在一标准正交基下，中任二向量的内积等于其坐标的内积。推论 3设为的一标准正交基底，且则为标准正交组的充要条件是的列构成的一个标准正交组。推论 4设为的一标准正交基底，且则为 的标准正交基底的充要条件是为正交矩阵。定理 6 若 是欧氏空间 （不限于有限维）的一组线性无关的向量，则必有正线上三角矩阵 ，使而是标准正交组。证明设，则维。再设为的一标准正交基底。则有列满秩矩阵，使由第五章 2 定理 2 知有正线上三角矩阵使为正交矩阵。用右乘上式得由定理 5 推论 4，是一标准正交组。证毕。定理 7设是维欧氏空间的一个子空间。那么，必有证明若，则。若，则。无论何种情况都有下面设是维子空间是的一个标准正交基底。由定理3，可将其扩充成的标准正交基底令，则现在来证明方面，如果有恰为 的正交子空间。一方面， 的每个向量都与，它与 中所有向量均正交。则当 时有的所有向量正交。另一。故若设则在两边与做内积后便可得到从而布置作业:。 这就说明了恰为的正交子空间，证毕。补充题： 3。 4。 5。 8。