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1、微专题2 平面向量数量积问题的常用处理策略,微专题2 平面向量数量积问题的常用处理策略 题型一 利用基底向量法求解,例1 (2016江苏,13,5分) 如图,在ABC中,D是BC的中点,E,F是AD的两个三 等分点, =4, =-1,则 的值是 .,答案,解析 设 =a, =b,则 =(a+3b)(-a+3b)=9|b|2-|a|2=4, =(a+b)(-a+ b)=|b|2-|a|2=-1,解得|a|2= ,|b|2= ,则 =(a+2b)(-a+2b)=4|b|2-|a|2= .【方法 归纳】 基底法求解向量问题时基底的选择很重要,用基底表示其他向量是 求解的关键.由基底的定义可得只要两个
2、向量不共线都可以作为基底,但实际 上基底的选择是很有讲究的,一般地,选择长度、夹角已知的向量为基底,若 没有长度、夹角已知的向量,则选择与题中涉及的向量都相关的不共线向量 作为基底.,1-1 在ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点, =2,BC=2, 则 = .,答案 -,解析 设 =a, =b,则|a|=1, =(a+2b)(-a+2b)=4|b|2-|a|2=2,则|b|2= ,则 =(a+b)(-a+b)=|b|2-|a|2=- .,1-2 (2018常州教育学会学业水平检测)在ABC中,AB=5,AC=7,BC=3,P为 ABC内一点(含边界),若满足 = + (R)
3、,则 的取值范围为 .,答案,解析 取 = , = ,由点P为ABC内一点(含边界),且 = + ,得点P在线段DE上, ,在ABC中,由余弦定理得cos B= =- ,则 = + = + = - .,1-3 在ABC中,AB=4,AC=3,点P是边BC的垂直平分线上任意一点,则 = .,答案 -,解析 取BC的中点D,则DPBC,则 = ( + )= + = =( - ) ( + )= (| |2-| |2)=- .,题型二 利用坐标法求解,例2 如图,ABC为等腰三角形,BAC=120,AB=AC=4,以A为圆心,1为半径 的圆分别交AB,AC于点E,F,点P是劣弧 上的一点,则 的取值范
4、围是 .,答案 -11,-9,解析 以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B (4,0),C(-2,2 ).设P(cos ,sin ), , =(4-cos ,-sin )(-2-cos ,2 -sin )=(4-cos )(-2-cos )-sin (2 -sin )=-7-2 sin -2cos =-7-4sin + .因为 ,所以+ ,sin + ,-7-4sin + -11,-9,即 的取值范围是-11,-9.,【方法归纳】 特殊图形中的向量运算,尤其是向量的取值范围问题,要优先 考虑坐标法,即建立适当的平面直角坐标系,写出或设出相关点的坐标,利用 向
5、量的坐标运算求解,向量的坐标运算的实质是将向量问题代数化,是应用十 分广泛的方法.,2-1 在矩形ABCD中,AB= ,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若 =1,则 的值为 .,答案 2,解析 以点A为坐标原点,AD、AB所在直线分别为x、y轴建立平面直角坐标 系, 则D(2,0),B(0, ),E(1, ),设F(2,y),y0, ,则 =(1, )(2,y- )= y-1 =1,即y= ,则F 2, ,则 =(0, ) 2, =2.,2-2 在平行四边形ABCD中,A= ,边AB、AD的长分别为2、1,若M、N分 别是边BC、CD上的点,且满足 = ,则 的最大值为 .,答案
6、5,解析 以A为原点,AB所在直线为x轴,过点A且垂直于直线AB的直线为y轴,建 立如图所示的平面直角坐标系.,设 = =(01),所以| |=,| |=2,所以M 2+ , ,N ,所以 =5-4+ -2+ =-2-2+5=-(+1)2+6.因为0,1, 所以 2,5,所以 的取值范围是2,5,则 的最大值为5.,2-3 如图,在ABC中,已知AB=3,AC=2,BAC=120,D为边BC的中点.若 CEAD,垂足为E,则 的值为 .,答案 -,解析 以点A为坐标原点, 方向为x轴正方向,建立平面直角坐标系,则B(3, 0),C(-1, ),D 1, ,AD:y= x与CE:2x+ y-1=
7、0联立解得E , ,则 = ,- - , =- - =- .,题型三 利用极化恒等式求解,例3 (2017江苏南通二调)如图,在四边形ABCD中,O为BD的中点,且OA=3, OC=5.若 =-7,则 的值是 .,答案 9,解析 =( - )( - )=( + )( - )=OC2-OD2.同理可得 =AO2-OD2=-7,所以 =OC2-OD2=OC2-AO2-7=9.,【方法归纳】 设a,b是平面内的两个向量,则有ab= 2- 2,这就 是极化恒等式.在ABC中,若AD是边BC上的中线,则 = - ,极化 恒等式将向量的数量积转化为中线长与半底边长的平方差,建立起向量与几 何长度(数量)之
8、间的桥梁,实现向量与几何、代数的巧妙结合.,3-1 (2017苏锡常镇四市调研)在ABC中,已知AB=1,AC=2,A=60,若点P 满足 = + ,且 =1,则实数的值为 .,答案 1或-,解析 取BC的中点D,连接PD,由AB=1,AC=2,A=60,得BC= ,ABC=90, ACB=30.由 = + ,得 = ,即ACBP,易知CBP=30.因为D为 BC的中点,所以 =PD2-DC2=1.在BPD中,PD2=BD2+BP2-2BDBPcos DBP,所以 +42-2 2 =1+ ,所以=1或=- .,1.正五边形ABCDE的边长为2 ,则 的值为 .,答案 6,解析 因为五边形ABC
9、DE是正五边形,所以每一个内角是108,CAE= CEA=72.取AE的中点F,连接CF,则CFAE.又正五边形ABCDE的边长为2 , 则 =| | |cosCAE=| | |= =6.,2.在ABC中,已知B= ,| - |=2,则 的取值范围是 .,答案 - ,+,解析 以点B为坐标原点,BA所在直线为x轴,过B且垂直于AB的直线为y轴建 立平面直角坐标系,则C(1, ).设A(x,0),x0,则 =(-x,0)(1-x, )=x2-x= x - 2- - ,则 的取值范围是 - ,+ .,3.在ABC中,AB=3,AC=2,BAC=120, = .若 =- ,则实数的 值为 .,答案,解析 由题意可得 =3 2 - =-3, =( + ) =( + ) =(1-) + ( - )=(1-2) + -(1-) =-3(1-2)+4-9(1- )=19-12=- ,解得= .,4.在等腰梯形ABCD中,已知ABDC,AB=2,BC=1,ABC=60.点E和F分别在 线段BC和DC上,且 = ,DF= ,则 的值为 .,答案,解析 以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴,过点A且垂直于AB的直线为y轴 建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),C , ,D , .又 = , = ,则E , ,F , ,所以 = , = + = .,
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