数列求通项公式的常见题型与解题方法

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1、数列求通项公式的常见题型与解题方法数列求通项公式的常见题型与解题方法数列是高中数学的重要内容，又是学习高 等数学的基础.高考对本章的考查比较全面， 等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏.有 关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识 和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起 来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限 和数学归纳法综合在一起.探索性问题是高考 的热点，常在数列解答题中出现.本章中还蕴 含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函 数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想， 以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学 方法.数列这一章的主要章节结构为:*定义；按一定抗彌列的一列数4圉數叫

2、n）的图像值域（有界.无界）单调件遥增数捌，递减數列，数列的酣數性数列一据创数列常数列）廢值（最大值*最小價）用期性用期数列筍差数列:定义、通项公式、申项公前ri项和耳公式、性质等比散列:定义、通项公或、中项处戎、前ri项和毎公式、数列的应用、递萍公武近几年来，高考关于数列方面的命题主要 有以下三个方面：（1）数列本身的有关知识， 其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通 项公式及求和公式.（2）数列与其它知识的结 合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、 几何的结合.（3）数列的应用问题，其中主要 是以增长率问题为主.试题的难度有三个层次, 小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题 和中档

3、题为主，只有个别地方用数列与几何的 综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度 较大.题型1已知数列前几项求通项公式在我们的教材中，有这样的题目：1 . 数列 0, -2,0,、.2l 的通项 an2数列匕，九，九代L的通项毬3、3 数列i1322,1 42,1孰仏的通项an6 80n为奇数1、an72n为偶数2、务(1rn(n 1)n i 2n 1 an 1+( 1 (2练习例1.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4 项分别是下列各数：(1)斗三1422231 51.45 ；an(n 1)2 1n 11 13 44 5.an例2.观察下面数列的特点，写出每个数列的一 个通项公式：(1) 1,

4、7, 13,19丄;an ( 1)n(6n 5)(2)7,77,777,7777,77 777,L ;an(3)5,0, 5,0,5,0, 5,0,L .an5sin例3:写出下面数列的一个通项公式:(1) 1,3, If3 丄;an 1( 1)n 2 黑囂存.an 3nn：23456n5 2 11 7 173n2题型2由an与Sn的关系求通项公式1、已知数列an的前n 项和 Sn ：(n2 n)，则an2、已知数列an的前n项和Sn 3 2，则an3、设数列an的前项的和Sn = 1 (3n-1 )(n N ).3(I )求ai; a2； (n )求证数列an为等比数列.4、数列an的前n项

5、和s=3 2n-3,求数列的通项公5、设数列an的前n项和为Sn=2n2+3n+2,求通项a 的表达式，并指出此数列是否为等差数列6、已知数列an的前n项和为Sn,ai = 2,且nan+i=S+n(n+1), 求an.7、已知数列an的前n项和&满足：Sn=2an +(-1)n, n，l.(I)写出求数列an的前3项ai,a2,a3； ( n) 求数列an的通项公式；(川)证明：对任意的整数m4 ,有ia41a517am 8a2=0；有 ：综上可知当 n=3S3=a1+a2+a3=2a3+(-1)3a1=1,a2=0,a3=2 ；2a7、解：当 n=1 时，有：S1=a1=2a1+(-1)a

6、1=1 ；当 n=2 时，有：S2=a1+a2=2a2+(-1)2时a3=2 ；n2aan2an 1 2( 1)n 1上式可化为：an 3( 1)n 2an1 3( 1)n133故数列an 3（ 1）n是以q 2（ 1）1为首项,公比为2的 等比数列.故 an |( 1)n 12n1an；g2n1 2( 1)n ；2n2 ( 1)n数列an的通项公式为:an222 ( 1)n.由已知得：a41La5am322123 1 L12m2 ( 1)m3 12391111L1533632m 2211丄丄L5 10201E1(1121511111351121131515g2)1.m 513104) 215

7、1201厂2竺7故111208 八 a4-14a58( m4).题型3 已知数列递推公式求通项公式（公式法）1、已知数列an的首项a1 1，且anan 1 3(n2)，则an2、 数列an中，a1 1,an13、已知数列an满足a1an 2，求an的通项公式1,丄丄1，求anan 1 an4、数列an中，a1 1,an1許2，求a的通项公式ai5、已知数列an的首项a1 1，且an 3a. 1 （n 2），则 an6、已知数列an的ai1 ,a22 且an2 2an 1a.,则an（累加法与累积法）1、 数列an中，ai 1,ani a n n,求的通项公式.2、 数列an中，a1 1,歸an

8、 3n 1，求佝的通项公式3、已知数列an满足an1 an 2n 1,1，求数列何的 通项公式。4、已知数列an满足an1 an 2 3n 1, a1 3，求数列何的 通项公式。5、已知数列an的首项a1 1，且an罟心2）,则3 ,求数列an的an6、已知数列an满足 an 1 2(n 1)5 an，a1通项公式(构建新数列)1、已知数列an的首项ai 1，且an 2% 1 3(n 2),则an2、数列an中，ai 2,am 3an 2，求佝的通项公式.3、已知数列an满足ani 2an 3 2n ,印2 ,求数列用的 通项公式。4、已知数列an满足ani 3an 2 3n 1,印3，求数列

9、何的 通项公式。5、已知数列an满足an1 2an 3 5n，印6，求数列的 通项公式。6、已知数列an满足an 1 3an 5 2n 4，a1 1，求数列 的通项公式。7、已知数列an满足an1 2an 3n2 4n 5, a1 1，求数列 an的通项公式。&已知数列an满足aman8(n1)(2n1)2(2 n 3)2a18，求数列an的通项公式。9、已知数列an满足ani 2424，ai 4，求数列的4an 1通项公式。10、已知数列2满足ani 7M，ai 2，求数列何的2an 3通项公式。3、 解：ani 2a” 3 2炳边除以2n 1，得器許专，则an 1 an 32门i2门2?故

10、数列尹是以扌I 1为首，以I为公差的等差 2n2 22数列，由等差数列的通项公式，得2n 1 (n 1)-3，所以数列an的通项公式为an (|n护。4、解：ani 3% 2 3n 1两边除以3n 1，得鄴 話彳缶，则% 1 莹 213n 13n 33n 1 ?故 On( anan 1)(an 1an 2)(an 2an 3)( a2ai)ai八 3n(3nan i(ani3n 2(3n 23n 3(32332 1( -)33n2(n1)3(3(3?)(23n1)(31 11碍丄)号33231护1(13n 1)2nT1TV，5、解:5n12(an x将a 等式两边消去则x= 1 ,代入式，1

11、2a n5n代入式，2an，得 3 5得3x52x ,得an2(an 5n)由a151则数列an 比数列，则6、解：设代入式，3an 5 2n整理得3 5n x 5n 2an 2x 5n , n，两边除以5n ,2annn 1x 5 2x 55 1半0及式，得a-n 15n 0，则计丁 2，是以a1an5n1为首项，故 an 2n1以2为公比的等5n。an 1得y 3(an x2n y)将 an 1 3an 5 22n3(an x 2ny)(52x) 2ny 3x 2n3y。令：2x33x，则 x4 y 3y y代入式，得an 15 2n 123(an 5 2n 2)由 ai 5 21 2 1

12、 12 13 0 及式，得 an 5 2n 2 0，贝an 15 2n 123an 5 2n 2?故数列a 5 2n 2是以a, 5 21 2 1 12 13为首项，以3 为公比的等比数列，因此a” 5 2n 2 133n1 ,则 an 13 3n 1 5 2n 2。7、解：设 an 1 x(n 1)2 y(n 1) z2(anxn2yn z)将 an 1 2an 3 n2 4n5代入式,得22an 3 n4n 5 x(n1)2 y(n 1) z:2(an xn2yn z)，则2an (3 x)n2 (2x y4)n (x y z5)22an 2xn 2yn 2z等式两边消去2a n，得(32

13、x) n (2x y 4)n (x y2z 5) 2x n22yn2z，3x 2xx 3则得方程组2xy 4 2y ，则y 10，代入式，xy z 5 2zz 18得an 13(n 1)210( n 1)182( an 3n210n18)由 a13 12 10 1 18 1 31 32 0 及式，得 an 3n2 10n 18 02则an1 :舄2腭/ 18 2，故数列an 3n2 10n 1为以a1 3 12 10 1 18 1 31 32为首项，以2为公比的等比数列，因此a3n210n18 32 2n 1，则 an 2n 4 3n210n18 。8(11)(2n8(n1)1)2(2n3)2

14、ai(2 1 1)2(2 13)28 8 2249 9 25 25a38(2 1)a2 2 2(2 2 1)2(2 23)28 32525 492448498(3 1)(2 3 1)2(2 348 8 48049 49 8181a4 a33)2由此可猜测a(2n1)2(2n往下用数学归纳法证明这个结论。(1)当 n=1 时，ai2(2 1 1)2 1(2 1 1)29，所以等式成立。(2)假设当n=k时等式成立，即ak2(2k1)21(2k1)2?则当n k 1时，ak 1 ak(2k8(k1)2 21)2(2k3)2(2k1)22(2k1)22(2k3)2(2k1)1(2k3)8( k1)(

15、2k1)2 (2k3)2(2k1)2(2k3)2(2k3)28(2k1)2(2k3)2(2k1)2(2k3)2(2k1)2(2k1)2(2k3)2(2k3)212(k1)1218(k1)2(k1)(2 k 3)2122(2k1)211)由此可知，n=k+1时等式也成立。根据（1 ）可知，等式对任何n9、解：令 函数f(x),4x21an242an 124an1an 1321an2434an121xx 4x21x24241的21an 242an得4x2两个2(4an 1)24 3(4an1)20x24 0，贝卩不动点13an 26139an 279 x12, X2 3是因为On an 32 ,所

16、以数列是以an 3比数列，故扛2为首项，以为公比的等anan 3a12a1322(訝1，则an十3。2()n 1 1910、解：令X鮎，得2X2 4X 2 0，则x=1是函数 f(x) 的不动点。4x 7因为5an 52an 3，所以2 - 500-2-15an 1 a七彳,所以数列是以二 丄1为首项，以|为公差的等差数 an 1a1 1 2 15列，则1 (n 1) 5，故 an。1an 15 12n 3评注：本题解题的关键是先求出函数 f(x)亠 4x 7 的不动点，即方程x TH的根x 1，进而可推出2 X 3丄5，从而可知数列为等差数列，再 an 1 1 an 1 5 7an 17求出数列J的通项公式，最后求出数列an的通an 17项公式。