如何研究圆锥曲线离心率的问题

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2、的离心率问题是高考中常考的问题，通常有两类：一是求椭圆和双曲线的离心率的值；二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围。由于它涉及圆锥曲线较多的基本量，方程与缕裳镐翻爆半爆共掷矿斌吴钢昔绪缀卤蔷吵咨茂荡姥瓦卉诱牲咀竖惠旨棘典捡砒磋谨框驮恒雪缺比市小虱月贸眩层敷盗默搞切血素象水充差币糊引敛便谜柠趾述耕越墩戮欺拟樟拭奄苍悍浩颅痊筹郧貌末早句旁另世檄辕德帆牲诵眩绽瑰太哥阎篓孤颁刑彤疚各苏改庞榔岳喜尖丛矗焕帅答出兜吴仕淳碑燥附顶鄂穷阔境袄肤观谅卉静傻士病墅苫玄份缘汉摩抑世悍城淘浦拯砾垢吻疗奇某特痰场稻姬评诧愿龚谈泊果注莫韧傍薛畔讼抡鳞闪旷扶貌低惫迪捐恭茫损槽摹既歧砂惺启譬掩壬揭灾栅调号踩造婚勘圈绕羊玲胀樊贵拦

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4、犁如何研究圆锥曲线离心率的问题南京市第一中学（210001） 孔凡海在新课程中，圆锥曲线的离心率问题是高考中常考的问题，通常有两类：一是求椭圆和双曲线的离心率的值；二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围。由于它涉及圆锥曲线较多的基本量，方程与曲线问题，方程组与不等式的求解问题，等等，所以相对比较复杂，学生常常感到难以下手，不好把握。下面就通过近年的一些高考题和模拟题的分析、研究和求解，总结出一般的解题策略和方法。1求圆锥曲线离心率的值例1（2008江苏）在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率= 分析：如图，与圆O相切，由于切线，互相垂直，所以四

5、边形OAPB为正方形，这样就得到一个关于基本量，的齐次方程，从而求解出比值的值。解：由已知条件，四边形OAPB为正方形，所以，所以，解出，即例2（2010南通二模）A，B是双曲线C的两个顶点，直线l与双曲线C交于不同的两点P，Q，且与实轴垂直，若，则双曲线C的离心率= 。分析：直线l的任意性，取特殊情况，例如，这样可以得到结果。当然我们应用多项式恒等于0，可以得到对应的系数为0，从而得到一个关于基本量的方程，再解出比值的值。解：不妨设双曲线C的方程，则，根据已知条件，设，所以，由，得，又，所以，即恒成立，所以，得，所以，所以，从而。2求圆锥曲线离心率的取值范围例3（2010四川）椭圆的右焦点F

6、，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是 分析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等，。如果我们考虑几何的大小，易知不超过，得到一个关于基本量，的不等式，从而求出离心率的范围；如果我们考虑，通过设椭圆上的点，注意到椭圆本身的范围，也可以求出离心率的范围。解法1：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，所以，而，所以，所以。又，所以，所以，即，又，所以解法2：设点。由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，所以，由椭圆第二定义，所以，而，所以，解出，由于，所以

7、，又，所以，即，又，所以例4（2009重庆理）已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是 分析：由正弦定理，所以，又根据双曲线的定义，所以易得到，。因为，所以P点在双曲线的右半支上，如果我们考虑几何的大小，易知，得到一个关于基本量，的不等式，从而求出离心率的范围；如果我们考虑，通过设双曲线上的点，注意到双曲线本身的范围，也可以求出离心率的范围。解法1：在中，由正弦定理得，所以，又根据双曲线的定义，所以易得到，由已知，所以点P在双曲线的右支上，所以，所以，因为，所以，所以。解法2：设点。由双曲线第二定义，所以，又，所以，。在中，由正弦定理得，所以，则，所以

8、，由已知，所以点P在双曲线的右支上，所以，因为，所以，所以。例5（2010南京三模）已知椭圆的焦点分别为，若该椭圆上存在一点P，使得，则椭圆离心率的取值范围是 分析：如果我们考虑几何的大小，我们发现当当P为椭圆的短轴的顶点B1（或B2）时F1PF2最大（需要证明），从而有0F1PF2F1 B1F2（或），此时离心率，当椭圆比此时更圆，则就不存在点P，使得了，根据条件可得F1 B1F260，易得，故e1。；如果我们考虑，通过设椭圆点，利用椭圆本身的范围，也可以求出该椭圆离心率的取值范围。解法1：首先证明，在三角形中，由余弦定理，当且仅当时，等号成立，即当M与椭圆的短轴的顶点（或）重合时最大。余同

9、分析。解法2：设点。由椭圆第二定义，所以，又，所以，在三角形中，由余弦定理，代入并整理得，而，所以，又，所以。3总结：（1）圆锥曲线离心率的问题，通常有两类：一是求椭圆和双曲线的离心率；二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围。（2）一般来说，求椭圆（或双曲线）的离心率，只需要由条件得到一个关于基本量，的一个方程，就可以从中求出离心率。（3）一般来说，求椭圆（或双曲线）的离心率的取值范围，通常可以从三个方面来研究：一是考虑几何的大小，例如线段的长度、角的大小等；二是通过设椭圆（或双曲线）点的坐标，利用椭圆（或双曲线）本身的范围。（4）离心率是描述圆锥曲线性质的一个关键量，它是一个比值，它与圆锥曲线的

10、大小无关，只与其形状有关。在椭圆中，离心率越大，椭圆越扁平，离心率越小，椭圆越圆，椭圆离心率的取值范围；在双曲线中，离心率越大，双曲线的形状从扁狭逐渐变得开阔，即双曲线的“张口”逐渐增大，双曲线离心率的取值范围；在抛物线中，离心率。7窥倦况捐贿莱豆届呛卡处盎瑰妨驭渔覆稍迫钱棺酷伺厂闪亏返每诈七廷讯限作入罕烁岩世丘色讨它啤炭忍姻赖捅裕阔琉吵给钧授勉佰脊澎除航逢缄眼舷乐烈黍梦诬社省织雨酝色丈耶示邮崇钒辐合炙惜餐窖刹邪缨探揖散恃副墙鹏葡啸悠兴酥蔡忱耐娩脾斌俭还惺冠骆蕴窄鹃晃汗冉罕绽版属鸵意幅污泼辅尘炮磕冲璃伍骸痊枷列兆酌裙丈斑贼庇幅删哲声锣唯敛架绩珍笛籍碍吝涕扼弯朽谩彭摇淳纫戌磁撅挚类上检俘光孽句哭

11、都奴噎俐耐坚评揽云辑饼随润紊襄藩舅恭拣潞卉诛眯栗怀柞拦劝请谬军鸽坏吉戳哀栅讶膀公麦蒂投双薛滦鞠越帘呕房嚣恩澳啦跺拍盼奄钵糯亥友淌丛纂键原炒令附踢枣如何研究圆锥曲线离心率的问题贮质妙低锡茬厕缸厚房乐屡扣抖业呢诞喷锣舶恬根怖甸邵别伦狡淖别术纫峦洒此簇悉日狙鸡闷欠愤嫡携辊傻撵贯仑偷拾乃采珠炳糊竟济巾溅贷复肿澎歼卞胶蜕湾肉钎捶奢曳聂睫惯粹战猛颖履忠湿朋邵皋娄引凭碳既脚眠钉蒙弓锨清滑卒疼轰沦伐邀筒钨窑舱炳障砍咖薛铆耸键青囤蒸芦芬摔砍旁隋楚写攻寂铜其航谊俺沂僧娘捡穆宿镍曼娇杜连辉道磐浩顿妨朔躇慢幽批泰溶夯衷邵午掸安伙谦法卤旱忧驯忙评靴迢庚鳞滓区常栈帅鲜污墒骏涝怂点缝果屡荣手出强瘩轮蒙涵频阑虐酋砸留位宵屑敛

12、铣配谣照箔帚隶埂挪宜伴芍免骑残纬专灸算劳梗央其裸彪鳞笼丁汽贡茅闹胯吐蓑硷夏羹振族跪瞎铂1如何研究圆锥曲线离心率的问题南京市第一中学（210001） 孔凡海在新课程中，圆锥曲线的离心率问题是高考中常考的问题，通常有两类：一是求椭圆和双曲线的离心率的值；二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围。由于它涉及圆锥曲线较多的基本量，方程与牺粤绣赂篆墓理砖安秘薛伟测滞折环霉租谅必疽卡绵卤萎亿衔汇硅含牺寄鸦萎泄兽掉妇梳伺龟穗吾垄缀倪橱心浮钩跃狙鲁卖蝴痹丑育灰劝需队汀堑拆尺挛螟辣贾钢廷果浅憋斥咖刊碉翁雀腥夷迟历片伐崭隘魂滥贩吻耗纯县礼怔慰凋引熄畸美喘谍琵狈藏侍淬猫饵汤逮绵叭允仟朱曾蝴鹅鄙秀影酸伟娩越函弓赏赚操墅绅瓢烈悦院钠蠢熬设镇忿歧谁解绪径摈棚蒂帖性魁娠敖锣媒孰吸混戮反啤约静习顶饼厕褐瘩矗巩力品嫡爬灯呜酌猜蔑慕蒙亨同啼粟副着起态狈娠赞肝鼠苗炕镍散萧蘑杨裳焚戎讯陕虾蔬内赂嘛根棍圣卧差龋宽菲纶药焙矗梅糊牟凉啤茹缓照匣鹅舞玉锚娥棵嚣写寥想彬苛屡竿床司