东方考研数学高等数学冲刺讲义Word

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1、2011考研冲刺班高等数学讲义主讲：汪诚义欢迎使用新东方在线电子教材本页取消目 录第一章 函数、极限、连续11.1 函数11.2 极限31.3 连续9第二章 一元函数微分学102.1 导数与微分102.2 微分中值定理132.3 导数的应用16第三章 一元函数积分学183.1 积分的概念与计算183.2 有关变上（下）限积分和积分证明题213.3 定积分的应用23第四章 多元函数微分学244.1 偏导数与全微分244.2 多元函数的极值27第五章 二重积分30第六章 常微分方程336.1 一阶微分方程336.2 特殊的高阶微分方程35第七章 无穷级数(数学一和数学三)387.1 数项级数387

2、.2 幂级数397.3 函数展开成幂级数417.4傅里叶级数（数学一）440 / 80第八章向量代数与空间解析几何（数学一）44第九章三重积分、曲线积分、曲面积分（数学一）479.1 三重积分479.2 曲线积分489.3 曲面积分51附录：一、选做题55附录：二、选做题的解答60序言：数学一和数学二要考高等数学；而数学三要考微积分。它们大部分内容和要求是相同的，但又有一部分内容和要求是不同的。所以，我们讲授的方法是先讲共同要求的部分，然后再讲不同需求的部分。安排如下：第一章 函数、极限、连续 1 (全体要求)第二章 一元函数微分学10 (全体要求)第三章 一元函数积分学18 (全体要求)第四

3、章 多元函数微分学24 (全体要求)第五章 二重积分30 (全体要求)第六章 常微分方程336.1 一阶微分方程 (全体要求) 6.2 特殊的高阶微分方程 (全体要求)(数学二结束)第七章 无穷级数387.1 数项级数 (数学一、数学三要求)7.2 幂级数 (数学一、数学三要求)7.3 把函数展开成幂级数 (数学一、数学三要求)(数学三结束)7.4 傅里叶级数 (数学一要求)第八章 向量代数与空间解析几何 (数学一要求)44第九章 三重积分、曲线积分、曲面积分 (数学一要求)47(数学一结束)附录：一、选做题 二、选做题的解答 55第一章 函数、极限、连续1.1 函数一、有关四种性质(奇偶性、

4、单调性、周期性、有界性)1. 口诀(1)：奇偶函数常遇到；对称性质不可忘。2. 在(a,b)内，若，则单调增加若，则单调减少口诀(2)：单调增加与减少；先算导数正与负例1 求解 是奇函数，是奇函数， 因此是奇函数。于是。例2 设，则下列结论正确的是(A)若为奇函数，则为偶函数。(B)若为偶函数，则为奇函数。(C)若为周期函数，则为周期函数。(D)若为单调函数，则为单调函数。解 (B)不成立，反例(C)不成立，反例(D)不成立，反例(A)成立。证明 为奇函数，所以，为偶函数。例3 设，是恒大于零的可导函数，且，则当时，下列结论成立的是(A) (B)(C) (D)解 ，单调减少于是xn+12， n

5、+1=3, n=2 选(B)例3 设，则当x0时，是的 ( )(A) 高阶无穷小 (B) 低阶无穷小(C)同阶但不等价的无穷小 (D) 等价无穷小解 ， 选(C)二、有关两个准则准则1 单调有界数列极限一定存在。准则2 夹逼定理。例1 设，证明存在，并求其值。解 ，(几何平均值算术平均值)用数学归纳法可知n1时，有界。又当n1时，则单调增加。根据准则1，存在把两边取极限，得(舍去) 得，。口诀(3)：递推数列求极限；单调有界要先证；两边极限一起上；方程之中把值找。例2 求 解： 而 ， 由夹逼准则可知原式=1三、有关两个重要公式公式1、公式2、； ； 例1 求。解 当x=0时，原式=1当x0时

6、，原式= ()例2 设在内可导，且，求c的值。解 则拉格朗日中值定理，有其中介于(x-1)与x之间，那么于是，e2c=e,2c=1，则口诀(4)：函数之差化导数；拉氏定理显神通。四、用洛必达法则求极限洛必达法则主要处理七种待定型极限：“”型，“”型，“0”型，“-”型，“1”型，“00”型和“0”型口诀(5)：待定极限七类型，分层处理洛必达。第一层次：直接用洛必达法则“”型 用洛必达法则“”型 用洛必达法则第二层次：间接用洛必达法则“0”型 例变为“”型“-”型 例变为“”型第三层次：间接再间接用洛必达法则“1”型，“00”型，“0”型均为形式而称为冪指函数，比较复杂。口诀(6)：冪指函数最复

7、杂；指数、对数一起上。而上面三种类型化为这时一定是“0”型再用第二层次的方法处理即可例 例1 求。解 原式=例2 设函数连续，且，求解 原式=(分母令=(用积分中值定理)=(在0和x之间)=.口诀(7)：变限积分是函数；遇到之后先求导。公式： (当连续时)例3 设a0,b0常数，求解 先考虑它是“”型。令 因此， ， 于是， 。口诀(8) 离散数列“洛必达”；先要转化连续型。五、求分段函数的极限例 求。解 ， 口诀(9)：分段函数分段点；左右运算要先行。六 用导数定义求极限例 设曲线与在原点相切，求解 由题设可知，于是 七 用定积分定义求极限公式： (连续)例1 求。分析 如果还想用夹逼定理中

8、方法来考虑而，由此可见，无法再用夹逼定理，因此我们改用定积分定义来考虑。解 =口诀(10)：数列极限逢绝境；转化积分见光明。八、求极限的反问题例1 设，求a和b.解 由题设可知，1+a+b=0再对极限用洛必达法则例2 设在(0，+)内可导，0，且满足，求解 先用冪指函数处理方法 再用导数定义 取，于是这样 ， 所以 ， ， 再由，可知C=1，则1.3 连续一、连续与间断例1 设，在内有定义，为连续，且，有间断点，则下列函数中必有间断点为(A) (B) (C) (D)解 (A)，(B)，(C)不成立可用反例，,(D)成立 可用反证法：假若不然没有间断点，那么为两个连续函数乘积，一定连续故矛盾，所

9、以一定有间断点例2 求的间断点，并判别其类型。解 ，考虑 （）可见为间断点，是可去间断点，其它皆为第二类间断点。二、闭区间上连续函数的性质（重点为介值定理及其推论）例1 设在上连续，且，证明存在，使得证 令，则在上连续，根据介值定理推论，存在使，即证。例2 设在上连续，且，求证：存在，使。证 在上连续，故有最大值M和最小值m，于是根据介值定理，存在使 .口诀（11）：函数为零欲论证；介值定理定乾坤。第二章 一元函数微分学2.1 导数与微分一、可导性与连续性例 设，问a和b为何值时，可导，且求。解 x1时，； x1时，. 由处连续性，可知再由处可导性， 存在 存在且 根据洛必达法则 于是.， 二

10、、导数与微分的运算法则和计算公式（要求非常熟练地运用，具体例题可看参考书）三、切线和法线方程例1 设为周期是5的连续函数，在邻域内恒有，其中，在处可导，求曲线在点（）处的切线方程。解 由题设可知，故切线方程为所以关键是求出和由连续性 由所给条件可知 ，再由条件可知 令，又上式左边则 所求切线方程为即四、高阶导数1.求二阶导数例1 设，求。解 例2 设由方程所确定，求解 ，得2.求n阶导数例1 设，求(n正整数)。解 先用多项式除法，得，然后把真分式再化为最简公式令 令 令 口诀（12）：有理函数要运算；最简分式要先行。例2 设（n为正整数）。解 口诀（13）：高次三角要运算；降次处理先开路。注

11、 有时求可以通过幂级数的系数公式反过来来计算，这就需要掌握把函数展成幂级数的有关技巧，数学一和数学三在无穷级数中有专门讨论。2.2 微分中值定理一、罗尔定理罗尔定理：设在上连续，内可导，且，则存在使。口诀（14）：导数为零欲论证；罗尔定理负重任。在考研考题中，经常要作辅助函数，而对用罗尔定理，从而得出的有关结论，为此，我们引进两个模型及有关例题。1. 模型：设在上连续，内可导，且，是内的连续函数，则存在，使成立。证 令，其中。于是在上连续，在内可导，。根据罗尔定理，存在使而 因此 例1 设在上连续，在内可导，试证：（1） 存在，使；（2） 存在，使 （为任意实数）。证 (1)令，显然，在上连续

12、又，根据介值定理推论存在，使，即（2）令(相当于模型中，） 在上用罗尔定理，存在，使 即 从而 。口诀（15）：导数、函数合为零；辅助函数用罗尔。2. 模型 设，在上连续，内可导，且，则存在，使证 令，则，在上用罗尔定理，存在，使，即。例2 设在上连续，内可导，k为正整数，求证存在，使得 证 取a=0,b=1，令，用模型，存在，使得故 。二、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。1. 拉格朗日中值定理：设在上连续，内可导，则存在，使，即 。口诀（4）：函数之差化导数；拉氏定理显神通2. 柯西中值定理设，在上皆连续，在内皆可导，且，则存在，使 例1 设在上连续，内可导，且,证明：存在使证 考虑柯西中值

13、定理最后一步是把分子用拉格朗日中值定理。再把欲证的结论变形，两式比较，看出令即可。类似地，欲证，则取即可例2 已知在上连续，在内可导，且，证明（）存在，使得（）存在两个不同，使得证 （）令，则在上连续，又有，根据介值定理，所以存在，使得即 。（）根据拉格朗日中值定理，存在，使得 ， ，从而 。在上面两个例子中，都是寻找的问题，但所用方法完全不同，我们可以用两个口诀来加以区别。口诀（16）：寻找无约束，柯西、拉氏先后上。口诀（17）：寻找有约束，两个区间用拉氏。三、泰勒定理。设在包含的区间内有n+1阶导数，在上有n阶连续导数，则对，存在在与之间，有公式 （称为拉格朗日余项形式的泰勒公式）例 设在

14、上具有三阶连续导数，且。求证：，使。证 麦克劳林公式 其中，介于0与之间， 后式减前式，得上连续，设其最大值为M，最小值为m。则 再由介值定理，使 2.3 导数的应用一、不等式的证明例1 求证：当时，。证 令，只需证明时，易知 由于的符号不易判别，再求导得。再考虑可见当时，；单调减少，当时，单调增加，是的最小值，由于，单调增加，而，时，则单调减少，时，单调增加，于是，。例2 设，求证：证 令, 则 于是可知在时单调增加，又时，这样单调增加，因此，时，得证口诀（18）：数字不等式难证，函数不等式先行。二、极值与拐点例1 设有二阶导数，满足。求证：当时，为极小值证 （1）情形 故为极小值。（2）情

15、形这时方程条件用代入不行，无法得出上面的方式。存在 连续， （用洛必达法则） （再用洛必达法则） 是极小值例2 设的导数在处连续，又，则（ ）（A）是的极小值点（B）是的极大值点（C）是曲线的拐点（D）不是极值点，也不是曲线的拐点分析：题目只设在a点连续，无法考虑a点两侧二阶导数故（C）(D)不行 又由 可知存在和内 当时，则 当时，则故是的极大值点，应选B。上面用极值第一充分条件来判断，也可以用第二充分条件来判断。由 可知根据在处连续，则于是根据极值第二充分条件则知为极大值。 故是的极大值点三、最大值和最小值的应用题1. 数学一和数学二要考物理、力学方面内容。2. 数学三要考经济方面内容，我

16、们这里不再统一讨论。第三章 一元函数积分学3.1 积分的概念与计算一、一般方法例1 设的一个原函数。解 例2 设，当时， ，求解 而 ，因此 则 例3 设连续函数满足求解 令，两边从1到e进行积分，得于是 则 。例4 设连续，且。解 变上限积分的被积函数中出现上限变量必须先处理。令 ，则代入条件方程后，两边对求导，得即 令代入，化简后得。二、递推方法例1 设（1） 求证当（2） 求解 （1） （2），当，正偶数时，当，正奇数时，例2 设，求证：证 令则 例3 设，求证：解 三、反常积分例1 计算 。解 （这里）于是 例2 设（1） 求证：（n为正整数）；（2） 求解 （1）（2）.3.2 有关

17、变上（下）限积分和积分证明题一、有关变上（下）限积分基本公式：(1) 设，f连续，则(2) 设，f连续，可导，则口诀（7）：变限积分是函数；遇到之后先求导。例1 设 （a为常数）求解 例2 设在内可导，反函数为，且，求。解 方程两边对x求导得,于是，故，由，得则口诀（19）：正反函数连续用；最后只留原变量。二、积分证明题例1 设，在上连续，且试证：存在使.证一 令 在上满足柯西中值定理有关条件，故存在，使即 .证二 令 令 在上连续，在内可导，且根据罗尔定理，存在，使则 即 例2 设，在上的导数连续，且。证明：对任何有.证法 设.则在上的导数连续，并且由于时，因此，即在上单调递减。注意到，而

18、，故。因此 时，由此可得对任何有3.3 定积分的应用一、几何方面例1 设在上连续，在内 ，证明：，且惟一，使得，所围面积是所围面积的三倍。证 令由连续函数介值定理的推论可知，使。再由，可知的单调增加性，则惟一。例2 设是由抛物线和直线及所围成的平面区域；是由抛物线和直线所围成的平面区域，其中。(1) 试求绕轴旋转而成的旋转体体积绕轴而成的旋转体体积（如图）；(2) 问当a为何值时，取得最大值？试求此最大值.解 （1）或 （2）由 得区间内的惟一驻点。又，因此是极大值点，也是最大值点。此时的最大值为。二、物理、力学方面的应用（数学一和数学二）三、经济方面的应用（数学三）第四章 多元函数微分学4.

19、1 偏导数与全微分一、几个关系连续存在例 存在是连续的（ ）条件（A）充分 （B）必要 （C）充分必要 （D）无关解 从上面的关系中可以看出应选D二、多元复合与隐函数的微分法zuvxy1. 多元复合函数微分法锁链公式模型 设则 uxzxyy模型 设 则 uxzxy模型 设则 其它各种模型，可类似地讨论。口诀(20)：多元复合求偏导；锁链公式不可忘。2. 隐函数微分法设 确定若连续，且，则 口诀(21)：多元隐函求偏导；交叉偏导加负号。例1 设有连续的一阶偏导数，又函数及分别由下列两式确定和，求。解 由 两边对求导，得解出(分子和分母消去公因子)由两边对求导，得解出 所以 .例2 设有连续偏导数

20、，由方程所确定，求。解一 令得，则用隐函数求导公式得于是 解二 在 两边求微分得解出 代入 合并化简也得 .4.2 多元函数的极值一、二元函数的普通极值例1 求函数的极值。解 要求 ，得故知，由此解得三个驻点： 又在点处 ， ， 又是极小值点极小值在点处， ， ，也是极小值点极小值在点， ， 不能判定，这时取(其中为充分小的正数)则而取时，由此可见不是极值点二、条件极值问题例1 在椭球面第一卦限上P点处作切平面，使与这三个坐标平面所围四面体的体积最小，求P点坐标。解 设P点坐标，则椭球面在P点的切平面的法向量为切平面： 即 X轴截距 y轴截距 z轴截距 所以四面体的体积 约束条件用拉格朗日乘子

21、法，令 (1) (2) (3) (4)用x乘(1)+y乘(2)+z乘(3)得则 (5)将(5)分别找代入(1)，(2)，(3)得所以P点坐标为而最小体积。例2 已知函数的全微分，并且，求在椭圆域上的最大值和最小值。解一 由，可知 ，再由，得，故 。令，解得驻点。在椭圆上，即 其最大值为，最小值为，再与比较，可知在椭圆域D上的最大值为3，最小值为-2。解二 同解一，得驻点。 用拉格朗日乘数法求此函数在椭圆上的极值。设 令 解得4个可能的极值点。又再与比较，得在D上的最大值为3，最小值为-2。第五章 二重积分一、二重积分的计算口诀(22) 二重积分的计算；累次积分是关键例1 计算，其中D由和轴所围

22、区域解 如果 那么先对求原函数就不行，故考虑另一种顺序的累次积分这时先对x积分，当作常数处理就可以了。原式例2 计算.解 原式 例3 求，D:解一 (对称性) .解二 由积分区域对称性和被积函数的奇偶性可知原式.二、交换积分的顺序例1 交换的积分顺序解 原式其中D由和以及所围的区域.由 解出 解出 因此按另一顺序把二重积分化为累次积分对三个小区域得原式三、证明题例1 证明 证： 口诀(23)：定积分化重积分；广阔天地有作为。第六章 常微分方程6.1 一阶微分方程一、规定类型的微分方程求解(略)二、常用的处理技巧1、 变量替换例 求微分方程的通解解 令，原方程化为 化简为 再令，则方程化为 化简

23、为 2.化为反函数的微分方程例 求微分方程的通解解 此题不是一阶线性方程，但把x看作未知函数，y看作自变量，所得微分方程即 是一阶线性方程，求通解得3.求导处理后得规定类型的微分方程例1 设连续，求解： 两边对x求导，得为一阶线性方程，从而容易求解。例2 设，其中在内满足以下条件，且(1) 求所满足的一阶微分方程(2) 求出的表达式解 (1)由可知所满足的一阶微分方程为(2) 将代入，可知于是口诀(24) 微分方程欲规范； 变换，求导，函数反。三、应用 例 求通过的曲线方程，使曲线上任意点处切线与y轴之交点与切点的距离等于此交点与原点的距离。解 设曲线上任意一点，则其切线方程为，故切线与y轴交

24、点A的坐标为，由题意所以，这样，令 解得，即则 .6.2 特殊的高阶微分方程一、规定类型微分方程的求解(略)二、常用的处理技巧1.变量替换例 求微分方程的通解。解 这是二阶非常系数线性方程，不是规定类型令 ，则，这样，原方程变为是规定类型(二阶常系数线性非齐次方程)解出 于是 2.化为反函数的微分方程例 在内二阶可导，为反函数(1)试将所满足的微分方程变换为满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件的解。解(1)由反函数导数公式知，即 上式两端关于x求导，得 所以 代入原微分方程得 (*)（2）方程(*)所对应的齐次线性方程的通解为 设方程(*)的特解为 代入方程(*)求得，故，从而

25、的通解是由 ，得，故所初值问题的解为 3.求导后化为规定类型的微分方程例 设，连续，求解 由表达式可知是可导的，两边对x求导，则得(这里再分别求导)再对两边关于x求导，得即属于常系数二阶非齐次线性方程对应齐次方程通解非齐次方程特解设代入方程求出系数,则得 ,故的一般表达式由条件和导数表达式可知可确定出因此 4.线性方程解的性质与结构例 已知是某二阶线性非齐次常系数微分方程的三个解，求此微分方程及其通解。解 由线性微分方程的解的结构定理可得，是该方程对应的齐次方程的解，由解与的形式，可得齐次方程为设该方程为，代入，得所以，该方程为其通解为.注 数学二到这里全部结束第七章 无穷级数(数学一和数学三

26、)7.1 数项级数例1 若级数收敛，则收敛，收敛，收敛，证 (1) 收敛 ，取，存在N，当时，于是再用比较判别法由收敛可知收敛.(2) (几何平均值算术平均值).已知收敛，收敛，故收敛再用比较判别法，可知收敛.(3) 已知收敛，用比较判别法可知收敛。例2 已知 解 例3 设0 (n=1,2,3) 若发散，收敛，则下列结论正确的是：（A） 收敛，发散。 （B）收敛，发散。（C） 收敛。 （D）发散。 7.2 幂级数例1 若在x=-1处收敛，则此级数在x=2处（ ） （A）条件收敛 （B）绝对收敛 （C）发散 （D）收敛性不能确定例2 已知在x=0处收敛，在x=6处发散，则其收敛域为 这部分的重点

27、和难点是求幂级数的和函数，它的基本方法有三个。1. 将的公式，反过来作为幂级数求和公式例 求幂极数的和函数解 原式 2.通过逐项求导和逐项积分的方法化为等比级数，求出和函数后再反回去。例1 例2 求的和函数解 令 可知则 于是 例1和例2是这方法最容易理解的原理，其它比较复杂的例子可以类似地处理，这种方法是历年考试中用得最多的方法。3. 列出幂级数和函数的微分方程从而解之例 设级数，的和函数为，求：(1)所满足的一阶微分方程；(2) 的表达式。解 (1) 得 因此，是初值问题的解。(2) 为一阶线性非齐次方程，它的通解.由初始条件，求出，故于是 注事实上这个考题如果不是规定列微分方程的方法来求

28、解，也可以把第一种方法中的例作适当处理来求和函数7.3 函数展开成幂级数一、将展成的幂级数的方法1.套公式的方法， 其中 例 () () ， () ， (为实常数)2.逐项求导的方法例 () ，() ，3.变量替换的方法例 () ，() ，4.逐项积分的方法例 () ，由此可得，() ,由此可得5.其它方法例1() ,() ，例2将函数展开成的幂级数，并求级数的和。解因为，。又，所以，因为级数收敛，函数在处连续，所以，。令，得 ，再由，得。二、将展成幂级数的方法例1将展开成的幂级数，并指出其收敛区间（此题为2007年数学三的一个考题）解 因为要求，所以收敛半径为2，故收敛区间为例2，因此，例3

29、例4（数学三到此结束）7.4傅里叶级数（数学一）一、傅里叶系数和傅里叶级数的概念二、Dirichlet收敛定理（条件和结论）三、 把函数展成傅里叶级数第八章向量代数与空间解析几何（数学一）一、向量运算的应用主要是两个向量的数量积和向量积，以及三个向量的混合积在几何上的应用。例1 点P到过A，B的直线之间的距离例2 点P到A，B，C所在平面的距离因为四面体PABC的体积而又例3 过点A,B与过点C,D的异面直线之间的距离因为二、平面束（通过一条直线的所有平面）例1求通过和直线的平面方程解 通过的所有平面的方程为所代入，得，即取方程得 故所求方程为例2 求过直线且切于球面的平面。解过所給直线除平面

30、外的其它所有平面方程为即（）球面与平面相切，因此球心到平面距离应等于半径于是得代入（）得两个所求的平面。三、求空间曲线绕z轴一周得旋转曲面的方程第一步：从上面联立方程解出第二步：旋转曲面方程为线轴一周或绕轴一周的旋转曲面方程类似地处理。四、空间曲线在坐标平面上的投影1.曲线C的方程曲线C在平面上的投影先从曲线C的方程中消去z得到，它表示曲线C为准线，母线平行于z轴的柱面方程，那么就是C在平面上投影曲线方程曲线C在平面上投影或在平面上投影类似地处理。2.曲线C的方程则曲线C在平面上的投影曲线方程为曲线C在平面上的投影曲线方程为曲线C在平面上的投影为第九章三重积分、曲线积分、曲面积分（数学一）9.

31、1 三重积分三重积分的重点是通过物理应用形式来进行三重积分的计算，另外，通过高斯定理把曲面积分化为三重积分来计算。例设有一半径为R的球体， 是球表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到的距离成正比（比例系数），求球体重心的位置。解一设球面方程为，为，球体的重心坐标为，由对称性可知由区域的对称性和函数的奇偶性，则有于是因此，重心坐标为解二设球面坐标，重心坐标由对称性可知于是，重心坐标9.2 曲线积分一、用参数公式直接计算例1 计算曲线积分，其中L是曲线，从z轴正向往负向看L的方向是顺时针方向。解曲线L是圆柱面和平面的交线，是一个椭圆周，它的参数方程（不是惟一的选法）最简单可取根据题意规定L的

32、定向，则从变到0，于是二、用格林公式等性质来计算曲线积分例1求，其中为正的常数，L为从点沿曲线到点的弧。解一用格林公式，但L不是封闭曲线，故补上一段，它为从沿到的有向直线。这样构成封闭曲线，为逆时针方向于是，令，根据格林公式这里D为由L和围成的上半圆区域。另外，在上，故于是解二我们把所給曲线积分拆成两项在中，由于，故积分与路径无关又看出因此而在中，取L的参数方程，t从0到于是因此，例2 计算曲线积分，其中L是以（1，0）为圆心，为半径的圆周，取逆时针方向。解 令 当 时，成立，因此，不能在L的内部区域直接用格林公式。设法用曲线C在L的内部又包含原点在C的内部，这样在C与L围成的二连通区域内可以

33、用格林公式今取曲线 从到0为顺时针方向令C与L围成区域为D（二连通区域），根据格林公式 于是 用C的参数公式代入后，得 注：这里取为上述椭圆周，最后计算最简单，如果取为的圆周，那么最后的积分 就比较复杂。例3 设函数具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分的值恒为同一常数。（）证明：对右半平面内的任意分段光滑简单闭曲线，有；（）求函数的表达式 （）证 如图，设是半平面内的任一分段光滑简单团曲线，在上任意取定两点，作围绕原点的闭曲线，同时得到另一围绕原点的闭曲线。根据题设可知. 根据第二类曲线积分的性质，利用上式可得 .（）解 设在单连通区域内具有一阶连续编导数，由（）知，

34、曲线积分在该区域内与路径无关，故当时，总有。， 比较、两式的右端，得由得将代入得，所以，从而。9.3 曲面积分一、直接用公式计算曲面积分例 设S为椭球面的上半部分，点为S在点P处的切平面，为原点到的距离，求。解 先求出，设（X，Y，Z）为上任一点，则的方程为即 由S的方程，于是这样， 区域 所以，原式二、用高斯公式计算曲面积分例1 计算（a0常数）其中上侧（a0）解令曲面下侧于是为闭下半球面的内侧，设其内部区域为。令D为平面上圆域则例2 计算其中S是不通过点（1，1，1）的球面的外侧。解设通过计算可知（1） 当S的内部不包含点（1，1，1）时，根据高斯公式可知（2） 当S的内部包含点（1，1，

35、1）时，作曲面内侧选a充分大，使S在的内部，于是S和是二连通区域的边界曲面，现在根据高斯公式（二连通区域） 于是 在（外侧）上，故积分可以化简令是以 (外侧)为边界的空间区域，再用高斯公式三、利用斯托克斯公式用曲面积分来计算曲线积分计算，其中L是平面与柱面的交线，从Z轴正向看去，L为逆时针方向。解记S为平面上L所围成部分的上侧，D为S在xy坐标平面上的投影，由斯托克斯公式得 四:有关梯度、散度和旋度的计算例 设，计算（1）gradu (2)div(gradu) (3)rot(gradu)解（1），则（2），于是。附录：一、选做题1. 设在上连续，在内存在，且大于0，记 证明：在内单调增加.2.

36、 设均为常数，求方程的一个解。3. 等于（ ）（A） （B） （C） （D）4. =_5. =_6. 求 （是固定的正整数）7. 在区间内方程则（ ）（A）没有实根 （B）有且仅有一个实根（C）有且仅有二个实根 （D）有无穷多个实根8. 设在上连续，且求证：在上至少存在一点，使9. 设其中有二阶连续导数，且，求10. 设函数在的某邻域内具有二阶连续导数，且，证明：存在唯一的一组实数，使得当时证明：是比高阶的无穷小量.11. 设在0，1上，则，的大小顺序为（ ）（A） （B）（C） （D）12. 设函数具有二阶导数，且满足，则存在，使13. 设在闭区间a，b上具有二阶导数，且，证明：存在和使得和

37、14. 设有二阶连续导数，且，则（ ）（A）是的极大值 （B）是的极小值（C）为曲线的拐点（D）不是的极值，也不是曲线的拐点15. 设函数及其反函数都可导，且有关系式，求函数16. 已知及，求17. 设可导，且，为正整数，令，求18. 设在区间上单调且可导，并满足其中是的反函数，求19. 设为正整数，求证20. 设在上连续，且单调不减，证明21. 设，在上连续,为偶函数，且（A为常数）（）证明（）计算22. 在曲线上某点处作一切线，使之与曲线以及轴所围图形面积为，试求：（）切点A的坐标（）过切点A的切线方程（）由上述所围平面图形绕轴旋转一周所成旋转体的体积23. 设，为常数，已知有一个特解，求

38、常数，以及微分方程的通解.24. （数学一）设具有二阶连续导数，且为一个全微分方程，求及此全微分方程的通解25. （数学三）设某种产品时刻供给量，需求量，价格，它们之间关系为又设每个时刻，且当时，求价格随时间变化的规律.26. （数学一）已知曲线过（1，1）点，如果把曲线上任一点P处的切线与轴的交点记作Q，则以PQ为直径所作的圆都经过点，求此曲线方程.27. 证明，分别对每一个变量或（当另一个变量的值固定时）是连续的，但作为二元函数在处不连续。28. 设，证明：29. 设函数在内具有二阶导数，且满足等式() 验证() 若，求的表达式30. 设函数，其中函数具有二阶导数，具有一阶导数，则必有（

39、） 31. 设变换可把简化为，求常数32. （数学三） 假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是，其中分别表示该产品在两个市场的价格（单位：万元/吨），分别表示该产品在两个市场的销售量（即需求量，单位：吨），并且该企业生产这种产品的总成本函数，其中。() 如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润。() 如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及统一的价格，使该企业的利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润大小。33. 设区域，为上的正值连续函数，为常数，则 34. 设而表示全平面，则。35. 设函

40、数在上连续，且满足方程，求36. 设，计算，其中37. 设由曲面和围成物体，密度函数恒为1，求对 轴的转动惯量。38. 设函数在内具有一阶连续导数，是上半平面内有向分段光滑曲线，其起点为，终点为，记() 证明曲线积分与路径无关() 当时，求的值39. 设在平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分路径无关，并且对任意恒有，求40. 计算曲面积分，其中是由曲面及两平面所围成立体表面的外侧。41. 设在上有定义，在某邻域内具有二阶连续函数，且，证明：绝对收敛。42. 把展开成的冪级数43. 把展开成的冪级数44. 把级数的和函数展开成的冪级数45. 设证明收敛附录：二、选做题的解答1. 证：由微分中值定理

41、可知存在，使于是 由，可知单调增加，故则，所以在内单调增加2. 证：令，则由于是偶函数，故只要，于是3. 选 原式4. 解：用数列化定积分的基本公式原式5. 解：原式6. 解： 令，7. 选 为偶函数，且，在内，故，当时，单调增加。由，可知在内有唯一零点，当时，故内无零点，再由偶函数可知在内恰有两个零点。8. 证： 令，在上连续，故如果，有一个等于0，则，使成立，即成立，如果，全不为0，那么不可能同号，否则相加不能为0，对异号的两个自变量构成区间上，用介值定理推论，可知存在属于该区间（当然包含在内）使同样成立。9. 解：（）当时当时 10. 证：用麦克劳林公式则可得由于，要使上式当时比高阶无穷

42、小则 由可知方程组有唯一一组解存在.11. 选B：根据拉氏定理其中，又，单调增加，因此 12. 证：根据定积分中值定理可知存在，使，于是对在和上分别用拉氏定理，并注意到，得，在上对导函数应用拉格朗日中值定理，有，13. 证：由不妨假设，再由存在可知连续，存在，使时，时，故在这两个小区间内，是单调增加，因此存在，使，在区间上用介值定理推论可知存在，使，再由，在，上分别用罗尔定理，可知存在使，使再对在上用罗尔定理，存在，使得14. 选B 由，可知又可知在的一个邻域内为的高阶无穷小当，而在小领域内 ，故单调增加再由已知，可知时，时，所以是的极小值15. 解： 把两边对求导得 ，则 ，故 ，又当时，得

43、，则16. 解： 令 ，则17. 解： 由的被积函数中含有，故先令，则 ，从而 18. 解 在等式两边对求导，得 则 (是的可去奇点，补上后，在处也连续）。，。19. 证：20. 证 令 ，于是，因此，在上，单调不减，则即 故 21. () 证：令，则从而 () 解： ，令，则，而是偶函数，利用()的结果，则 22. 解：设切点A的坐标为，则过切点A的切线方程为与轴交点为，于是曲线，切线与轴所围图形的面积由题设 ，() 切点A的坐标为() 过切点A的切线方程为() 旋转体体积23. 解：特解可知特征根，特征方程，可知，再将代入方程得， 原方程的通解24. 解：令，则即 ，通解，初始条件，代入得

44、，故，于是全微分方程为原函数 通解为 25. 解 ，即这是一阶常系数非齐次线性差分方程，由于，故方程特解为对应齐次方程通解为 ，于是又时确定常数，故26. 解 作草图（见图），所求曲线设为，于是切线方程为切线与轴的交点的坐标为设 点为切线段的中点，坐标为圆经过点，于是得方程令，则方程 ， 令 为的解，代入并整理，得故的通解为 即方程的通解为 ，代入初值，得于是所求曲线为 27. 证： 当时，当时， 所以固定时，是的连续函数，同理固定时，是的连续函数，但是，当沿直线趋于原点时随而变不存在，故在处不连续。28. 证： 当时，当时， 29. () 证 ；同理 代入 得成立。() 解 令，则，则，由，

45、得，则30. 选成立31. 解： 代入方程 ，化简后得到要求，而，故得32. 解 () 根据题意，总利润函数为令 解得，则（万元/吨），（万元/吨）因驻点惟一，且实际问题一定存在最大值，故最大值必在驻点处达到，最大利润为（万元）() 若实行价格无差别策略，则，于是有约束条件 构造拉格朗日函数，令 解得 ，则，最大利润为（万元），由(),()结果可知，企业实行差别定价所得总利润要大于统一价格的总利润。33. 选由题意可知，关于直线对称，于是34. 应填 直线和直线将全平面分成三个区域，（见图）从而故 35. 解： 两边对求导，得 得微分方程 通解 再由，可知，则36. 解： 令；则 原式37. 解： 38. () 证：令，容易验证，所以曲线积分与路径无关。()