上海大学线性代数2001
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上海大学线性代数2001一、计算行列式 (12%) 二、设为3阶非零方阵,且1) 求证存在,2) 求方程组的基础解系 (12%) 三、用正交线性替换化二次形为标准形 (15%) 四、设为阶实矩阵,且 ,若.求证 (为阶单位矩阵,为的转置阵,表示的秩) (10%) 五、设是(为奇数)维线性空间上的线性变换,若,。求证:存在,使 ,为的一组基,并求在此组基下的矩阵。 (15%) 六、设是欧式空间上对称变换。(即是上线性变换,且(,)=(,),)。求证:对任意,都有(,)的充分必要条件是 的所有特征值都小于. (14%) 七、设,其中为阶负定矩阵,为维列实向量,为实数。求证正定充分必要条件是 (12%). 八、若是正交阵,且特征值为1的重数是。 求证: (表示对应的行列式) (10%)
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