二分法的应用

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1、二分法的应用一、求方程的近似解例1.证明方程6-3x=2,在区间1,2内有唯一一个实数解，并求出这个实数解(精确到0.1).证明：设函数使f (x)=2s+3x-6. Vf (1)=-10, XVf(x)是增函数,所以函数 f (x)*+3x-6在区间1, 2有唯一的零点，则方程6-3x=2s在区间1, 2有唯一一个实数解.设该解为 xo,则 x0el,2,取 x1.5, f(1.5)=0. 330, . F(l) f(l. 5)0, f(l) f (1.25X0, /.xoE (1, 1.25).取& = 1. 125, f(l. 125)=-0. 44V0, f (1.125) f (1.

2、 25) VO, Axoe (1. 125, 1.25).取 x,= l. 187 5, f(l. 187 5)=-0. 16V0, f (1. 187 5) f (1.25X0, .L.(1. 1875, 1, 25).V 11.25-1. 87 5 | =0.062 50. 1,二可取 xo=1.2,则方程的实数解为 xd=l. 2.点评：用二分法求方程实数解的思想是非常简明的、但是为了提高解的精确度，用二分 法求方程实数解的过程又是较长的，有些计算不用计算工具甚至无法实施，所以需要借助科 学计算器.二、判断方程解的个数例2.己知函数f(x)在其定义域上是单调函数，证明f(x)至多有一个零

3、点.分析:不妨设f(x)在R上是增函数，为证明f(x)=O至多有一个实根，考虑用反证法证明.证明：假设f(X)=O至少有两个不同的实根X1,X2，旦不妨设X1X2.由题意得 f(Xi)=O,f(x2)=0, /.f(Xi)=f(x2).f(x)在定义域上是单调菌数，不妨设为增函数，由 X1X2,则 f(Xi)Vf(X2)因此矛盾，假设不成立，故f(x)=O至多有一个零点.三、求一定条件下的函数的零点例3.求函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个为正数的零点(精确到0.1)分析：用二分法，要注意到初始区间的选取。解：由于f(l)=-20,4取区间1,2作为计算的初始区间。用二分法逐次计算，列表

4、如下：端点(中点)坐标计算中点的函数值取区间f(l)=-201,2Xi=(l+2)/2=1.5f(Xi)=0.62501,1.5X2=(l+1.5)/2=1.25f(x：)=-0.98401.25,1.5X3=(1.25+1.5)/2=1.375f(X3)=0.26001.375,1.438X5=(l .375+1.438)/2=1.4065f(X5)=0.052v。V例3题图由上表的计算可知,区间1.375,1.438的长度小于0.1,所以这个区间的中点X5忌1.4可 作为所求函数的一个正实数零点的近似值.函数f(x)=x3+x2-2x-2的图象如图.实际上还可用二 分法继续算下去，进而得到

5、这个零点精确度更高的近似值.点评：给定精确度,用二分法求函数f(x)零点的近似值应该按课本05的四个步骤进 行.四、确定函数零点的个数例4.二次函数y=ax2+bx+c中,ac 0 a 0分析：.c=f(0),.ac=af(0)v0,胡 与f(0)异号.即或.匚函数必有两1/(0) 0零点.或Vac0,.函数有两个零点.答案:2.点评：用二分法求方程近似解，关键是判断近似解所在的区间(a,b),用二分法选定初 始区间时，往往通过分析函数图象的变化趋势，并通过试验确定端点。五、求一些无理数的值二分法不仅仅用于求函数零点或方程的根，它还有很多应用，例如求一些无理数的值, 解决实际问题等.例5.求桓

6、的近似值.(精确到0.01)分析：若设x=榻，则”-2=0,因此VI的近似值就是方程妃2=0的根的近似值，也 就是函数y=x3-2的近似零点.解：设x=V2 ,则x3-2=0,令f(x)=x，-2,则函数f(x)的零点的近似值就是很的近似值， 以下用二分法求其零点的近似值.由于f( 1 )=-1 0,故可以取区间1,2为计算的初始区间.用二分法逐步计算，列表如下：区间中点中点函败值1,21.51.3751,1.51.25-0.046 91.25,1.51.3750.599 61. 25,1.3751.312 50. 261 01.25,1.312 51.281 250.103 3】. 25,1

7、.281 251.265 6250. 027 31.25,1.265 6251.257 812 5-0.01：1.257 812 5,1.265 625区间1.257 812 5, 1.265 625的长度 1.265 625-1.257 812 5=0. 007 8K0. 01,所以这个 区间的两个端点的近似值都可以作为函数f(x)零点的近似值是1.26,即扼的近似值是1.26.六、解决实际应用问题二分法不仅仅用于求函数零点或方程的根，它在现实生活中也有许多重要的应用.例5.在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障.这 是一条10 km长的线路，如何迅速查出故障所在

8、？如果沿着线路一闸门（待查）指挥部一小段一小段查找，困难很多.每查一个点要爬 一次电线杆子，10 km长，大约有200多根电线杆子呢.想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？如图，他首先从中点C查.用随身带的话机向两端测试时，发现AC也 鲤）指符部段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D,这次发现BD段正常，可人C E D B见故障在CD段，再到CD中点E来查.每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，算一 算，要把故障可能发生的范闱缩小到50100m左右，即一两根电线杆附近，要查多少次？解：用简便易行的方法最多测试7次就能找到故障，方法是：10km线路共有200根电杆.第一次测试第100根，第二次测试有故障的一侧中的第50根，第三次再测有故障的一侧中的第25根，去掉一根，（有可能故障在这里）再侧有故障的一段中的第12根，第五次测有故障一段中的第6根，第六次侧试有故障段中的第三根第七次侧故障段中的中间一根，至此，结束侧试，故最多7次就能找到故障.点评：数学来源于生活，这是现实生活中的二分法问题.这种检查线路故障的方法，就 是二分法的应用，二分法不仅可用于查找电线线路、水管、气管故障，还能用于实验设计、 资料查询等.