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1、量子力学复习提要（大题）例题看一下 P41-例2（小证明题）2.1证明在定态中，几率流与时间无关。 证：对于定态，可令 可见无关。2.2 由下列定态波函数计算几率流密度： 从所得结果说明表示向外传播的球面波，表示向内(即向原点) 传播的球面波。 解：在球坐标中 同向。表示向外传播的球面波。 可见，反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。2.3 一粒子在一维势场 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。解：无关，是定态问题。其定态S方程 在各区域的具体形式为 ： ： ：由于(1)、(3)方程中，由于，要等式成立，必须 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。 方程(2)可变为 令，得 其解为 根据波函数
2、的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得 由归一化条件 得 由 可见E是量子化的。对应于的归一化的定态波函数为 2.4. 证明（2.6-14）式中的归一化常数是 证： （2.6-14） 由归一化，得 归一化常数 #2.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。 解： 令，得 由的表达式可知，时，。显然不是最大几率的位置。 可见是所求几率最大的位置。 #2.6 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。 证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为 将式中的代换，得 利用，得 比较、式可知，都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写的是同一个状
3、态，因此之间只能相差一个常数。方程、可相互进行空间反演 而得其对方，由经反演，可得， 由再经反演，可得，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。 乘 ，得 可见， 当时，具有偶宇称， 当时，具有奇宇称， 当势场满足时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。#2.7 一粒子在一维势阱中 运动，求束缚态()的能级所满足的方程。 解法一：粒子所满足的S-方程为 按势能的形式分区域的具体形式为 ： ： ： 整理后，得 ： ：. ： 令 则 ： ：. ： 各方程的解为 由波函数的有限性，有 因此 由波函数的连续性，有 整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程组，得 解此方程即可得出B、C、D、
4、F，进而得出波函数的具体形式，要方程组有非零解，必须 即 为所求束缚态能级所满足的方程。 P78 的证明“如果两个算符F和G有一组共同本征函数n组成完全系，则算符F和G对易。”3.1 一维谐振子处在基态，求： (1)势能的平均值； (2)动能的平均值； (3)动量的几率分布函数。解：(1) (2) 或 (3) 动量几率分布函数为 3.2.氢原子处在基态，求： (1)r的平均值； (2)势能的平均值； (3)最可几半径； (4)动能的平均值； (5)动量的几率分布函数。 解：(1) (3)电子出现在r+dr球壳内出现的几率为 令 当为几率最小位置 是最可几半径。 (4) (5) 动量几率分布函数
5、 3.6 设t=0时，粒子的状态为 求此时粒子的平均动量和平均动能。解： 可见，动量的可能值为动能的可能值为 对应的几率应为 上述的A为归一化常数，可由归一化条件，得 动量的平均值为 3.7 一维运动粒子的状态是 其中，求： (1)粒子动量的几率分布函数； (2)粒子的平均动量。 解：(1)先求归一化常数，由 动量几率分布函数为 (2) 3.8.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为，如果粒子的状态由波函数 描写，A为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。 解：由波函数的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。粒子能量的本征函数和本征值为 动量的几率分布函数为 先把归一化，由归一化条件，
6、 3.9.设氢原子处于状态 求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。 解：在此能量中，氢原子能量有确定值 角动量平方有确定值为 角动量Z分量的可能值为 其相应的几率分别为 ， 其平均值为 3.11. 求第3.6题中粒子位置和动量的测不准关系 解： 3.12 粒子处于状态 式中为常量。当粒子的动量平均值，并计算测不准关系 解：先把归一化，由归一化条件，得 / 是归一化的 动量平均值为 （奇被积函数） # 3.13利用测不准关系估计氢原子的基态能量。解：设氢原子基态的最概然半径为R，则原子半径的不确定范围可近似取为由测不准关系 得 对于氢原子，基态
7、波函数为偶宇称，而动量算符为奇宇称，所以又有 所以 可近似取 能量平均值为 作为数量级估算可近似取 则有 基态能量应取的极小值，由得 代入，得到基态能量为 4.1.求在动量表象中角动量的矩阵元和的矩阵元。 解： 4.2 求能量表象中，一维无限深势阱的坐标与动量的矩阵元。解：基矢： 能量： 对角元： 当时， #5.4设在时，氢原子处于基态，以后受到单色光的照射而电离。设单色光的电场可以近似地表示为，及均为零；电离电子的波函数近似地以平面波表示。求这单色光的最小频率和在时刻跃迁到电离态的几率。 解：当电离后的电子动能为零时，这时对应的单色光的频率最小，其值为 时，氢原子处于基态，其波函数为 在时刻
8、， 微扰 其中在时刻跃迁到电离态的几率为 对于吸收跃迁情况，上式起主要作用的第二项，故不考虑第一项， Oxyz（） 其中取电子电离后的动量方向为Z方向，取、所在平面为面，则有 #P122-公式5.1.22 考小题目P122-例题 一级托塔斯效应相关的题目5.5基态氢原子处于平行板电场中，若电场是均匀的且随时间按指数下降，即 求经过长时间后氢原子处在2p态的几率。 解：对于2p态，可取三值，其相应的状态为 氢原子处在2p态的几率也就是从跃迁到的几率之和。 由 (取方向为Z轴方向) = 0 = 0 由上述结果可知， 当时， 其中#5.6计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率。 解： 由选择定则
9、，知是禁戒的 故只需计算的几率 而 2p有三个状态，即 (1)先计算z的矩阵元 (2)计算x的矩阵元 (3)计算的矩阵元 (4)计算 #5.7 计算氢原子由2p态跃迁到1s态时所发出的光谱线强度。 解： 若 ，则 #5.8求线性谐振子偶极跃迁的选择定则 解： 由 时， 即选择定则为 # 第五章 考“微扰论+跃迁”的问题，重点看p122页的例题第七章：全同性原理：泡利不相容原理：交换对称函数：费米子、玻色子：定义（小证明题）7.1.证明：证：由对易关系 及 反对易关系 ， 得 上式两边乘，得 7.3.求的本征值和所属的本征函数。 解：的久期方程为 的本征值为。设对应于本征值的本征函数为 由本征方
10、程 ，得由归一化条件 ，得即 对应于本征值的本征函数为 设对应于本征值的本征函数为 由本征方程 由归一化条件，得 即 对应于本征值的本征函数为 同理可求得的本征值为。其相应的本征函数分别为 7.4 求自旋角动量方向的投影 本征值和所属的本征函数。 在这些本征态中，测量有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率出现？的平均值是多少？解：在 表象，的矩阵元为其相应的久期方程为 即 所以的本征值为。设对应于的本征函数的矩阵表示为，则由归一化条件，得 可见， 的可能值为 相应的几率为 同理可求得 对应于的本征函数为在此态中，的可能值为 相应的几率为 7.5设氢的状态是 求轨道角动量z分量和自旋角动量z分量的平均值； 求总磁矩 的 z分量的平均值（用玻尔磁矩子表示）。解：可改写成从的表达式中可看出的可能值为 0相应的几率为 的可能值为 相应的几率为 7.6 一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？解：体系可能的状态有4个。设两个单粒子态为，则体系可能的状态为34a教育试题
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