高数竞赛试题集

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1、高等数学竞赛一、 填空题 若，则a = ，b = 设, 则的间断点为 曲线y=lnx上与直线垂直的切线方程为 已知，且f (1) = 0, 则f (x) = 设函数由参数方程 确定, 则曲线向上凸的取值范围为 设，则 若时， 与是等价无穷小，则a= . 设，则 由定积分的定义知，和式极限 二、 单项选择题 11把时的无穷小量，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是 【 】(A) . (B) . (C) . (D) . 12设函数f(x)连续，且则存在，使得 【 】 (A) f(x)在（0，内单调增加. （B）f(x)在内单调减少.（C）对任意的有f(x)f(0) . (D) 对任

2、意的有f(x)f(0) . 13 . 设, 则 【 】（A）是的极值点, 但不是曲线的拐点.（B）不是的极值点, 但是曲线的拐点.（C）是的极值点, 且是曲线的拐点.（D）不是的极值点, 也不是曲线的拐点. 14 . 等于 【 】（A）. （B）. （C）. （D） 15 . 函数在下列哪个区间内有界. 【 】(A) (-1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). 16 . 设f (x)在(- , +)内有定义，且， ，则【 】(A) x = 0必是g(x)的第一类间断点. (B) x = 0必是g(x)的第二类间断点.(C) x = 0必是g(x)

3、的连续点. (D) g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值有关.17 . 设在a , b上连续，且，则下列结论中错误的是【 】 (A) 至少存在一点，使得 f (a). (B) 至少存在一点，使得 f (b). (C) 至少存在一点，使得. (D) 至少存在一点，使得= 0. 18 . 设，则【 】 (A) F(x)在x = 0点不连续. (B) F(x)在(- , +)内连续，但在x = 0点不可导. (C) F(x)在(- , +)内可导，且满足. (D) F(x)在(- , +)内可导，但不一定满足.三、解答题19求极限.20设函数在（）上有定义, 在区间上, , 若对任意的都满足,

4、 其中为常数.()写出在上的表达式;()问为何值时, 在处可导.21设 f（x），g（x）均在a, b上连续，证明柯西不等式 22设, 证明.23曲线与直线及围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕 轴旋转一周得一旋转体, 其体积为, 侧面积为, 在处的底面积为.()求的值;() .24设f (x) , g(x)在a , b上连续，且满足，x a , b)，.证明：.25 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km/h. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（

5、比例系数为 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注kg表示千克，km/h表示千米/小时.高等数学竞赛试卷一、单项选择题1、若，则 （A） （B） （C） （D）2、设 ，其中在处可导且，则是的 （A） 连续点 （B） 第一类间断点 （C） 第二类间断点 （D）以上都不是3、设常数，函数在内零点的个数为 （A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 34、若在上有，且，则，的大小关系为 （A） （B） （C） （D） 5、由平面图形绕轴旋转所成的旋转体的体积为 （A） （B） （C） （D） 6、关于平面的对称点是 （A） （B） （C） （D）7、设为，是位于第一象限的部分，连续，则 （A

6、） （B） （C） （D）8、为常数，则级数 （A） 绝对收敛（B）发散C） 条件收敛（D） 收敛性与的取值有关二、填空题1、 。2、具有个不相等实根的次多项式，其一阶导数的不相等实根至少有 个。3、对数螺线在点处的切线的直角坐标方程为 。4、设是的二次多项式，且，则 。5、设，则 。6、 。7、若级数收敛，则常数 。8、三重积分 。8*、已知曲线与轴相切，则可以通过表示为 。9、设为上半椭球面，已知的面积为S，则曲面积分 。9*、级数的收敛区间为 。10、三元函数在点处沿该点的向径方向的方向导数为 。10*、设，且可微，则 。11、设 ，则曲线的长度为 。11*、若，则 。12、设都是单位向

7、量，且满足，则 。12*、函数的拐点为 。三、按要求做下列各题。1、求极限。2、已知函数对一切满足且在点处取得极值，问是极大值还是极小值，并证明你的结论。四、计算下面积分。1、 2、五、为上的连续函数， ,求六、周长为的等腰三角形绕其底边旋转，问此等腰三角形的腰和底边之长各为多少时，才可使旋转体的体积为最大？ 七、连续可导，。证明：在内存在，使得。八、设函数由方程组 所确定，求，。九、1、已知，为大于零的常数。设积分。其中是依次连结的有向折线。求极限。2、计算曲面积分 ，其中为曲面的上侧。提示：先补充两个曲面，取下侧；，取下侧，其中常数充分小，使上半球面与积分曲面互不相交。九*、1、已知是的一

8、个原函数，而是微分方程满足初始条件的解，试将展开成的幂级数，并求的和。2、如下图，曲线C的方程为，点是它的一个拐点，直线与分别是曲线C在点与处的切线，其交点为。设函数具有三阶连续导数，计算定积分。 高等数学竞赛一、 填空题 。 . 设函数由方程确定，则= 。4. 。5. 广义积分。6. 绕旋转所成的旋转体的体积为 。7. 由确定, 则。与平行的切平面的方程是 设，则。 交换二次积分次序的积分次序 11. 12. 设为正向圆周在第一象限中的部分，则曲线积分的值为 . 二、单项选择题 13. 设函数，其中在处连续，则是在处可导的【 】(A) 充分必要条件. （B）必要但非充分条件. (C) 充分但

9、非必要条件 . (D) 既非充分也非必要条件. 14设在0，1上连续，且【 】（A） （B） （C） （D） 15下列等式中正确的是 【 】（A） （B）（C） （D）16 . 等于（A）（B）.（C）.（D）.17. 设为连续函数，则等于【 】（A） （B） （C） （D）18. 设与均为可微函数，且. 已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是【 】（A）若，则. （B）若，则.（C）若，则.（D）若，则.19. 设为椭圆，其周长记为, 则【 】（A）. （B） .（C） （D） .20.级数收敛，级数【】（A）收敛.（B）收敛.（C）收敛.（D）收敛.三、解答题21极限22设函数在

10、（）上有定义, 在区间上, , 若对任意的都满足, 其中为常数.()写出在上的表达式;()问为何值时, 在处可导.23.求通过点的直线中，使得为最小的直线方程。24 求曲面夹在二曲面之间的部分的面积。25 计算 ，其中是沿着椭圆的正向从到的一段弧。26设为可微函数，且，试求。27设在上连续，在内可导，证明存在使。28已知曲线的方程为（）讨论的凹凸性；（）过点引的切线，求切点，并写出切线的方程；（）求此切线与（对应于的部分）及轴所围成的平面图形的面积。高等数学竞赛一、填空题7、设曲线在点处的法平面为，则点到的距离是 ( )8、设，则( )二、选择题13、曲线在点处的切线方程为 ( )A. B.C

11、.D.14、设，则 ( )A. B. C. D. 15、若，则区域可以表示为 ( )A. B. C. D. 16为z=2(x2+y2)在xoy上方部分， 17、若是某二元函数的全微分，则a,b的关系是 ( )A. B. C. D. 18、设曲线C是由极坐标方程r=r()(12)给出，则A. B.C. D.19、为任意正的实数，若级数，都收敛，有（） A. B. C. D. 20、下列级数中发散的级数是 （）（A）；（B）；（C）； （D）。一、解答题求极限1、 2、 为何值时，在处连续。3、求。 4、设在上连续，且试求。5设，求。6 计算二次积分7计算二重积分其中D：。 8计算极限 其中D：。

12、二、证明题1 试证：为偶函数。2 证明恒等式在时成立。3设对一切满足，且在处连续，求证：在任意处连续。4设 f（x），g（x）均在a, b上连续，证明柯西不等式三、应用题1曲线与直线及围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕 轴旋转一周得一旋转体, 其体积为, 侧面积为, 在处的底面积为.()求的值;()计算极限.高等数学竞赛一、填空1设，且.则的定义域为 .2求= .3设，则 . 4求 .5曲线的拐点为 . 6函数在上的最大值为 .7求 . 8求 .9求 . 10设连续，则 .11求 12由曲线及所围图形的面积 .13以向量和为边的三角形的面积为 ，其中.14设具有二阶连续导数，则 .15函数在点处函

13、数值增加最快的方向为 .16求 . 17求 .18幂级数表达式为 . 19求三重积分 .20设为椭圆，其周长为，则 .19设是有界闭区域： 上的连续函数，则 .20把在极坐标系中进行转化： 二、解答题1求极限.2、求极限.3、求曲线上任一点的法线到原点的距离.4、设具有二阶连续偏导数，且满足，又求.5、设函数连续，且，。求.6、计算二重积分，其中.二、 证明题1、设在上连续，证明：，并计算.2、设在上连续，在内可导，且满足证明至少存在一点，使得3 证明级数收敛，并求极限.三、综合题1 ， 为从点到点的半圆.1在曲线上某点A处作一切线，使之与曲线以及轴所围成图形的面积为，试求：切点A的坐标；过切点A的切线方程；由上述所围平面图形绕轴旋转一周所成旋转体的体积.2计算其中为圆柱面被截的部分外侧.2在球面与椭球面交线上对应于点处的切线方程和法线方程.3求常数项级数的和. 3求常数项级数的和.