2012年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)

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1、2012年深圳市高三年级第二次调研考试数学（理科） 2012.4本试卷共6页，21小题，满分150分考试用时120分钟 一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分 1集合（其中i是虚数单位）中元素的个数是 A1 B2 C4 D无穷多个 2设随机变量，若，则c等于 A0 B1 C2 D3 3已知命题p：“存在正实数a,b，使得;lg（ab）lgalgb+”；命题q：“空间两条直线异面的充分必要条件是它们不同在任何一个平面内”则它们的真假是 Ap，q都是真命题 Bp是真命题，q是假命题 Cp，q都是假命题 Dp是假命题，q是真命题 4在学校的一次演讲比赛中，高一、高二、高三分别

2、有1名、2名、3名同学获奖，将这六名同学排成一排合影，要求同年级的同学相邻，那么不同的排法共有 A6种 B36种 C72种 D120种 5设,，若a，1，b成等比数列，且c，1，d 成等差数列，则下列不等式恒成立的是 6设函数若f（x）的值域为R，则常数a的取值范围是 7如图1，直线l和圆c，当l从0 开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过900）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t的函数，这个函数的图象大致是 8如果函数yx1的图象与方程的曲线恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分 （一）必做题：第

3、9、10、11、12、13题为必做题 9在实数范围内，方程xx11的解集是 10某机器零件的俯视图是直径为24 mm的圆（包括圆心），主视图和侧视图完全相同，如图2所示则该机器零件的体积是_mm3（结果保留） 11已知平面向量a，b满足条件ab（0,1），ab（1,2），则ab 12执行图3中程序框图表示的算法，若输入m=5533，n=2012，则输出d（注：框图中的赋值符号“”也可以写成“”或“：”） 13某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验 根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归方程 现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为 （二

4、）选做题：第14、15题为选做题，考生只能从中选做一题 14（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知直线把曲线 所围成的区域分成面积相等的两部分，则常数a的值是 15（几何证明选讲选做题）如图4，AB 是圆O的直径， 弦AD和BC 相交于点P，连接CD若APB120， 则等于 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 16（本小题满分12分） 已知函数（1）求f（x）的最大值； （2）设ABC中，角A、B的对边分别为a、b，若B2A，且-，求角C的大小 17（本小题满分12分） 深圳市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（

5、即没有用过的球）， 3 个是旧球（即至少用过一次的球）每次训练，都从中任意取出2 个球，用完后放回 （1）设第一次训练时取到的新球个数为，求的分布列和数学期望； （2）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率 18（本小题满分14分） 如图 5，已知正方形ABCD在水平面上的正投影（投影线垂直于投影面）是四边形，其中A与A 重合，且BBDDCC （1）证明AD/平面BBCC，并指出四边形ABCD的形状； （2）如果四边形中ABCD中，正方形的边长为 ，求平面ABCD与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值 19（本小题满分14分） 已知数列满足：，且（1）求通项公式 （2）设的前n项和为S n，问：是

6、否存在正整数m、n，使得若存在，请求出所有的符合条件的正整数对（m,n），若不存在，请说明理由 20（本小题满分14分） 如图6，已知动圆M过定点F（1,0）且与x轴相切，点F 关于圆心M 的对称点为 F，动点F的轨迹为C （1）求曲线C的方程； （2）设是曲线C上的一个定点，过点A任意作两条倾斜角互补的直线，分别与曲线C相交于另外两点P 、Q 证明：直线PQ的斜率为定值； 记曲线C位于P 、Q两点之间的那一段为l若点B在l上，且点B到直线PQ的距离最大，求点B的坐标 21（本小题满分14分） 已知函数f（x）xxlnx ， ，其中表示函数f（x）在xa处的导数，a为正常数 （1）求g（x）的

7、单调区间； （2）对任意的正实数，且，证明： （3）对任意的2012年深圳市高三年级第二次调研考试 数学（理科）参考答案及评分标准 2012.4一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号12345678答案CBA CDADB二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题9 10 11 12 13（注：第9题答案也可以写成，如果写成，不扣分）（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能从中选做一题14（坐标系与参数方程选做题） 15（几何证明选讲选做题）三、解答

8、题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分）已知函数，（1）求的最大值；（2）设中，角、的对边分别为、，若且，求角的大小解：（1） 2分（注：也可以化为） 4分所以的最大值为 6分（注：没有化简或化简过程不全正确，但结论正确，给4分）（2）因为，由（1）和正弦定理，得7分又，所以，即， 9分而是三角形的内角，所以，故， 11分所以， 12分17（本小题满分12分）深圳市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回（1）设第一次训练时取到的

9、新球个数为，求的分布列和数学期望；（2）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率解：（1）的所有可能取值为0，1，2 1分设“第一次训练时取到个新球（即）”为事件（0，1，2）因为集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，所以， 3分， 5分 7分所以的分布列为（注：不列表，不扣分）012的数学期望为 8分（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件而事件、互斥，所以，由条件概率公式，得， 9分， 10分 11分所以，第二次训练时恰好取到一个新球的概率为 12分18（本小题满分14分）如图5，已知正方形在水平面上的正投影（投影线垂直于

10、投影面）是四边形，其中与重合，且（1）证明平面，并指出四边形的形状；（2）如果四边形中，正方形的边长为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值证明：（1）依题意，平面，平面，平面，所以 2分（法1）在上取点，使得，连结，如图51因为，且，所以是平行四边形，且又是正方形，且，所以，且，故是平行四边形， 4分从而，又平面，平面，所以平面 6分四边形是平行四边形（注：只需指出四边形的形状，不必证明）7分（法2）因为，平面，平面，所以平面因为是正方形，所以，又平面，平面，所以平面 4分而平面，平面，所以平面平面，又平面，所以平面 6分四边形是平行四边形（注：只需指出四边形的形状，不必证明）7分解：（2）依

11、题意，在Rt中，在Rt中，所以（注：或） 8分连结，如图52，在Rt中，所以，故10分（法1）延长，相交于点，则，而，所以连结，则是平面与平面的交线在平面内作，垂足为，连结因为平面，平面，所以从而平面，所以是平面与平面所成的一个锐二面角 12分在Rt中，在Rt中，所以，即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为14分（法2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系（如图53），则平面的一个法向量设平面的一个法向量为，因为，所以，而，所以且，即，取，则，所以平面的一个法向量为（注：法向量不唯一，可以是与共线的任一非零向量）12分所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为 14分（法3）由题意，正方形

12、在水平面上的正投影是四边形，所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值 12分而，所以，所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为 14分19（本小题满分14分）已知数列满足：，且，（1）求通项公式；（2）设的前项和为，问：是否存在正整数、，使得？若存在，请求出所有的符合条件的正整数对，若不存在，请说明理由解：（1）当是奇数时，；当是偶数时，所以，当是奇数时，；当是偶数时， 2分又，所以，是首项为1，公差为2的等差数列；，是首项为2，公比为3的等比数列 4分所以， 6分（2）由（1），得， 8分所以，若存在正整数、，使得，则 9分显然，当时，；当时，由，整理得显然，当时，；当时，所以是符合条件的一个解

13、11分当时， 12分当时，由，整理得，所以是符合条件的另一个解综上所述，所有的符合条件的正整数对，有且仅有和两对 14分（注：如果仅写出符合条件的正整数对和，而没有叙述理由，每得到一组正确的解，给2分，共4分）20（本小题满分14分）如图6，已知动圆过定点且与轴相切，点关于圆心的对称点为，动点的轨迹为（1）求曲线的方程；（2）设是曲线上的一个定点，过点任意作两条倾斜角互补的直线，分别与曲线相交于另外两点、 证明：直线的斜率为定值； 记曲线位于、两点之间的那一段为若点在上，且点到直线的距离最大，求点的坐标解：（1）（法1）设，因为点在圆上，且点关于圆心的对称点为，所以， 1分且圆的直径为2分由题

14、意，动圆与轴相切，所以，两边平方整理得：，所以曲线的方程为 5分（法2）因为动圆过定点且与轴相切，所以动圆在轴上方，连结，因为点关于圆心的对称点为，所以为圆的直径过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为（如图61）在直角梯形中，即动点到定点的距离比到轴的距离大1 3分又动点位于轴的上方（包括轴上），所以动点到定点的距离与到定直线的距离相等故动点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线所以曲线的方程为 5分（2）（法1）由题意，直线的斜率存在且不为零，如图62设直线的斜率为（），则直线的斜率为 6分因为是曲线：上的点，所以，直线的方程为由，解之得或，所以点的坐标为，以替换，得点的坐标为 8分所以直线的

15、斜率为定值10分（法2）因为是曲线：上的点，所以，又点、在曲线：上，所以可设， 6分而直线，的倾斜角互补，所以它们的斜率互为相反数，即，整理得 8分所以直线的斜率为定值 10分（法1）由可知，所以直线的方程为，整理得 11分设点在曲线段上，因为、两点的横坐标分别为和，所以点的横坐标在和之间，即，所以，从而点到直线的距离 12分当时，注意到，所以点在曲线段上所以，点的坐标是 14分（法2）由可知，结合图63可知，若点在曲线段上，且点到直线的距离最大，则曲线在点处的切线 11分设：，由方程组，消去，得令，整理，得12分代入方程组，解得，所以，点的坐标是 14分（法3）因为抛物线：关于轴对称，由图6

16、4可知，当直线的倾斜角大于且趋近于时，直线的倾斜角小于且趋近于，即当直线的斜率大于0且趋近于0时，直线的斜率小于0且趋近于0从而、两点趋近于点关于轴的对称点 11分由抛物线的方程和的结论，得， 所以抛物线以点为切点的切线12分所以曲线段上到直线的距离最大的点就是点，即点、点重合所以，点的坐标是 14分21（本小题满分14分）已知函数，其中表示函数在处的导数，为正常数（1）求的单调区间；（2）对任意的正实数，且，证明：；（3）对任意的，且，证明：解：（1）， 2分所以，时，单调递增； 时，单调递减所以，的单调递增区间为，单调递减区间为 4分（2）（法1）对任意的正实数，且，取，则，由（1）得，即，所以，； 6分取，则，由（1）得，即，所以，综合，得 8分（法2）因为，所以，当时，；当时，故在上单调递增，在上单调递减所以，对任意的正实数，且，有， 6分由，得，即，所以故； 由，同理可证综合，得 8分（3）对，令（），则，显然，所以，所以，在上单调递减由，得，即所以， 10分所以 12分又由（2）知，所以所以，14分