圆锥曲线基础知识

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1、攻克圆锥曲线解答题的策略第一、知识储备：1直线方程的形式1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。2）与直线相关的重要内容倾斜角与斜率 k tan , 0, ）点到直线的距离 dAx0 By0 CA2 B2夹角公式：tank2 k11 k2k13 ）弦长公式直线 y kx b上两点 A(x1, y1), B(x2 , y2 )间的距离：AB 1 k 2 x1 x2(1 k 2 )( x1 x2)2 4x1x2 或 AB1 k2 y1y24）两条直线的位置关系 l1 l2 k1k2 =-1 l1 /l2 k1 k2 且b1 b22圆锥曲线方程及性质(1)、椭圆的方程的形式

2、有几种？（三种形式）22 xy标准方程： 1(m 0,n 0且 m n)mn距离式方程： (x c)2 y2(x c)2 y2 2a参数方程： x acos ,y bsin(2)、双曲线的方程的形式有两种22标准方程： x y 1(m n 0)mn距离式方程： | (x c)2 y2(x c)2 y2 | 2a（3）、三种圆锥曲线的通径你记得吗？椭圆： 2b ；双曲线： 2b ；抛物线： 2p aa（4）、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？椭圆： | PF1 | | PF2 | 2a ， 2a | F1F2 |双曲线 |PF1 | |PF2 | 2a，2a | F1F2 | 圆锥曲线整体定义：到顶点

3、（焦点）距离比到定直线（准线）距离等于常数e （离心率）e圆e 椭圆e抛物线e双曲线2准线 x a x pc2（5）、焦点三角形面积公式： P在椭圆上时， S F1PF 2 b2 tan2P 在双曲线上时，S F1PF 2 b cot（其中 F1PF2,cos |PF1 | |PF2 | 4c ,PF1 PF2 |PF1|PF2 |cos ）1 2 | PF 1 | | PF 2 | 1 2 1 2（6）、记住焦半径公式：1）椭圆焦点在 x轴上时为 a ex0 ;焦点在 y轴上时为 a ey0 ，可简记为“左加右减，上加下减”。2 ）双曲线焦点在 x轴上时为 e|x0 | a3 ）抛物线焦点在

4、x轴上时为 | x1 | 2p , 焦点在 y轴上时为 | y1 | 2p7）焦点弦长公式椭圆2ab2c 2 cos22ab2 b2 c2 sin 2双曲线22ab222ab2抛物线a 2 c2 cos22psin 2b2c2 sin 2221、已知三角形 ABC的三个顶点均在椭圆 4x2 5y2 80上，且点 A 是椭圆短轴的一个端点（点A在 y 轴正半轴上） .（ 1）若三角形 ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程 ;（2）若角 A为 900 ，AD垂直 BC于 D，试求点 D的轨迹方程 .1、已知椭圆 C: x2 2y2 8和点 P（4，1），过 P 作直线交椭圆于 A、B 两

5、点，在线段AB 上取点 Q，使APAQPBQB求动点 Q 的轨迹所在曲线的方程2、设直线 l 过点 P（0，3），和椭圆 x y 1 顺次交于 A、B 两点，试求 AP 的取值范9 4 PB围.3、椭圆长轴端点为 A, B ，O为椭圆中心， F为椭圆的右焦点， 且AF FB 1，OF 1 ()求椭圆的标准方程；()记椭圆的上顶点为 M ，直线 l 交椭圆于 P, Q 两点，问：是否存在直线 l ，使点 F 恰 为 PQM 的垂心？若存在，求出直线 l 的方程 ; 若不存在，请说明理由。4、已知椭圆 E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上， 且经过A( 2,0) 、B(2,0) 、C 1,32三点(

6、)求椭圆E 的方程：()若点 D 为椭圆 E上不同于 A、 B的任意一点， F( 1,0), H (1,0) ，当DFH 内切圆的面积最大时，求 DFH 内心的坐标；设而不求法1、如图，已知梯形 ABCD 中 AB 2 CD ，点 E 分有向线段 AC所成的比为 ，双曲线过 C、D、E23三点，且以 A、B 为焦点当 3243 时，求双曲线离心率 e的取值范围。判别式法222、已知双曲线 C: y x 1，直线 l过点 A 2,0 ，斜率为 k，当 0 k 1时，双曲线的上支上有 22且仅有一点 B 到直线 l 的距离为 2，试求 k的值及此时点 B 的坐标。韦达定理法223、已知定点 C（

7、1，0）及椭圆 x2 3y2 5，过点 C的动直线与椭圆相交于 A，B 两点.1（）若线段AB 中点的横坐标是 ，求直线 AB 的方程；2（）在 x 轴上是否存在点 M ，使 MA MB 为常数？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 .4 、已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为 1（）求椭圆 C 的标准方程；（ II）若直线 l : y=k x+m与椭圆 C相交于 A、B两点（ A、B不是左右顶点） ，且以 AB 为直径的圆过 椭圆 C 的右顶点求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标225、如图，已知椭圆 C0： x

8、2 y2 1（a b 0,a,b为常数 ） ，动圆 C1： x2 y2 t12,b t1 a 。 ab点 A1， A2分别为 C0的左右顶点， C1与 C0相交于 A,B,C,D 四点。I）求直线 AA1与直线 A2B 交点 M 的轨迹方程；2 2 2II）设动圆 C2：x2 y2 t22与 C0 相交于 A,B,C,D四点，其中b t2 a,t1 t2 。若矩形 ABCD6、如图，已知椭圆 C1的中心在原点 O，长轴左、右端点 M，N在 x轴上，椭圆 C 2的短轴为 MN，且 C1，C2的离心率都为 e，直线 lMN，l与 C1 交于两点，与 C2 交于两点，这四点按纵坐标从大到 小依次为

9、A， B，C，D1（ I）设 e，求 BC 与 AD 的比值；2（II）当 e 变化时，是否存在直线 l，使得 BOAN，并说明理由37、已知，椭圆 C 过点 A （1, ） ，两个焦点为（ -1，0），（1，0）。2（ 1） 求椭圆 C 的方程；EF（ 2） E,F 是椭圆 C 上的两个动点，如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值。221、已知动圆 P与定圆 C：（x+2）2+y2=1 相外切，又与定直线 L：x=1相切，那么动圆的圆心 P的轨迹方 程是： 。22、过双曲线 M：x2 y2 1的左顶点 A作斜率为 1的直线 l,若l 与双曲线

10、M 的两条渐近线相交于 B、 b2C 两点 , 且 AB BC , 则双曲线 M 的离心率为 。3、已知两点 A（1，0） ， B（b，0） ，若抛物线 y2 4x上存在点 C使 ABC 为等边三角形，则 b。4、长为 3的线段 AB的端点 A、B分别在 x、y 轴上移动，动点 C（x，y）满足 AC 2CB，则动点 C 的轨迹方程是.恰为 AB 的中点，则5、设抛物线 x2 12y 的焦点为 F，经过点 P（ 2，1）的直线 l与抛物线相交于 A、B 两点，又知点 PAF BF .6、过抛物线 y2 4x 的焦点 F 的直线交抛物线于A、B 两点，则AFBF227、已知动点 P(x, y)在

11、椭圆1上,若A点坐标为 (3,0),| AM | 1且PM AM 0，则| PM |25 16的最小值是8、已知 P(x, y)是抛物线 y2 8x的准线与双曲线22x y 1 的两条渐近线所围成的三角形平面82区域内(含边界)的任意一点，则 z 2x y 的最大值为29、直线 l 交抛物线 y2 2x于 M(x1,y1),N(x2,y2),且 l 过焦点，则 y1 y2的值为。10、已知点 F1, F2分别是双曲线的两个焦点， P 为该曲线上一点，若 PF1F2为等腰直角三角形，则 该双曲线的离心率为 。11、在三角形 ABC中，已知 A( 1,0), C(1,0),且sin A sinC

12、2sin B,动点 B的轨迹方程。2212、已知椭圆 x2 y2 1(a b 0)的左焦点为 F ，右顶点为 A，点 B在椭圆上，且 BF x 轴， ab直线 AB交 y轴于点 P若 AP 2PB ，则椭圆的离心率是 。221.如图，椭圆 C ： x2 y2 1(a b 0) 的一个焦点为 F( 1， 0)，且过点 (2，0) ab()求椭圆 C 的方程；()若 AB 为垂直于 x 轴的动弦，直线 l ： x 4 与 x 轴交 于点 N ，直线 AF 与 BN 交于点 M ()求证：点 M 恒在椭圆 C 上；()求 AMN 面积的最大值2.设椭圆中心在坐标原点， A(2,0)、B(0,1)是它

13、的两个顶点，直线 y=kx(k0)与 AB 相交于点 D，与椭圆相交于 E、 F两点 .()若ED 6DF，求 k的值；( )求四边形 AEBF面积的最大值。3.已知曲线 C1：x y 1(a b 0) 所围成的封闭图形的面积为 4 5 ，曲线 C1 的内切圆半径为 ab25 记 C2 为以曲线 C1 与坐标轴的交点为顶点的椭圆()求椭圆 C2的标准方程；()设AB是过椭圆 C2中心的任意弦， l是线段 AB的垂直平分线 M 是 l 上异于椭圆中心的点(1)若 MOOA ( O为坐标原点) ，当点 A在椭圆 C2上运动时，求点 M 的轨迹方程；2)若M 是l与椭圆 C2的交点，求 AMB 的面积的最小值4.已知抛物线 C： y 2x2 ，直线 y kx 2交C于 A，B两点， M 是线段 AB 的中点，过 M 作x 轴的垂线交 C 于点 N （）证明：抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行；（）是否存在实数 k 使 NA NB 0，若存在，求 k 的值；若不存在，说明理由