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1、多面体外接球、内切球得半径得求法第一部分外接球方法一、公式法例1 个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同9个球面上，且该六棱柱的体积为工，底面周长为3,则这个球的休积为86.x = 3.解 设正六棱柱的底面边长为X ,高为力，则有，1X =.2h =心棱柱的底面圆的半径弓球心到底面的距离外接球的半径小结 本题是运用公式R =r2十/求球的半径的，该公式是求球的半径的常円公式. 方法二、多面体几何性质法例2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体和为16,则这个球的表面 积是A. 16疗B. 20広C. 24兀D. 32広解 设正四棱柱的底面边长为工，外接球
2、的半径为则有4 =16,解得x = 2.A 2 = V22 +22 + 42 =:.R 二&.这个球的表面积是=24.选 C.小结 本题是运用“正四橈柱的体对角线的诠寻于其外接球的直径”这一性质来求解的.方法三、补行法例3若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为,则其外接球的表面积是解据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，.把这个三棱锥可以补成一个棱长为的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为R，则有（2町=（坷十（坷+（坷 =9二疋弓故其外接球的表面积S = 42 =9.小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其戎度分别为a、b、c,则就 可叹将这个三棱锥
3、补成一个长方体，于是枚方体的体对角线的悅就是该三浚锥的外接球的直 径谏其外接球的半径为则有27?=厶口歹匚/.方法四、寻求轴截而半径法例4正四棱锥S-&ECD的底面边长和各侧棱长都为JT,点S、B、C、D都在同一球面上，则此球的体积为.解 设正四棱锥的底面中心为Oi,外接球的球心为O,如图3 所示.二由球的截面的性质，可得06丄平面加CQ.X SOi丄平面&3CQ , 球心O必在SOi所在的直线上.- MSC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就 是外接球的半径.在 WSC 中，由= AC =2, SA2 +SC2 = AC2. MSC是以4C为斜边的Rtz= 1是外接圆的半径，也是
4、外接球的半径故 =23小结 根搞题意，我们可以选择聂佳角度找出舍有正棱锥特征元素的夕卜接球的一个转截 囱圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这眷思路是探求正棱锥外接球 半径的运解逶法，该方法的实质就是逶过寻找外孩球的一个軸敎为园，从而把立体几何问题 转化为平石几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.方法五.确定球心位置法例5在矩形A BCD中，AB = 4:BC = 39沿AC将矩形ABCD 一个直二面角B-AC-D ,则四面体ABCD的外接球的体积为125D.冗125125125A. 71E. 71C. 兀解 设矩形对角线的交点为O,则由矩形对角线互相平分，可
5、知OA = OB = OC = OD.:.点。到四面体的四个顶点厶B、C.。的 距离相等，即点O为四面体的外接球的球心，如图2所示.外接球的 半径 R = OA =二.故 V= 1八牙.选 C.236C【例题】！已知在三棱锥A-BCD中，ADlABC,ZBAC=126 ,AB=AD=AC = 2,求该棱锥的外接球半径.设球心坐标为0（兀” z）则AO = BO = CO = DO，由空间两点间距离公式知F= 0-2)2 +J2+Z2x2 +y2 +z2 =(x-l)2+/兀彳+ X+Z2=X2 十十(Z-2)2解得3所以半径为人=3方法六、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量只就是求
6、解【结论】？空间两点间Em离公式：P0 =、?（可-占）十（乃尹2）十（G -孔尸 方法七、四而体就是正四而体外接球与内切球的圆心为正匹面体高上的一个点，根据勾股定理知，假设正四面体的边长为。时，它的外接球半径为牛,第二部分内切球正方体的内切球：设正方体的棱长为3,求（1）内切球半径；（2）外接球半径；（3）与棱相切的球半 径。（1）截面图为正方形厅GT的内切圆，得A=-；2（2）与正方体各棱相切的球，球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截 面图，圆O为正方形EFGE的外接圆，易得R=la.（3）正方体的外接球正方体的八个顶点都在球面上，如图5,以对角面卫爲作截面D1“图得，圆O为
7、矩形AA.C.C的外接圆，易得R = A.p = -a o构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题正棱柱的外接球，其球心定在上下底 面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的宜角三角形便可得 球半径。例題已知底面边长为a正三棱柱ABC-AB.C.的六个顶点在球O：上，又知球O?与此正 三棱柱的5个面都相切，求球Q与球O2的体积之比与表面积之比。分析：先画岀过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。解：如图6,由题意得两球心9、Q是重合的，过正三棱柱的一条侧棱44：和它们的球作截面,设正三棱柱底面边长为。，则卡正二棱柱的咼为h = 2R、=ci,由RlLDO中, 3Ci，. R、= a丁
8、 I12a | +3:S2 =R； : R22 =5:1, V, :K =5:1二、圆锥得内切、外接球问题A分析：运用正四面体的二心合一性质，作岀截面图，通过点、线、面关系 解之。解；如图1所示，设点O是内切球的球心，正四面体棱长为a由图形的 对称性知，点O也是外接球的球心.设内切球半径为了，外接球半径为R ./ 77 yr?A图1在RtBEO中，BCr =BE2 +臣O?,即，=空巴|十尸2,得, I3 J4得 R=3r【点评】由于正四面体本身的对称性可知，內切球和外接球的两个球心是 重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为少（h为正四面体的4高），且外接球的半径丁从而可叹通过截面图中亦。匪建立棱长与半径 之间的关系多面体的体积为西表面积为S,则内切球的半径为：3V/S高为h,各面面积均为S的棱锥内任意一点到各表面距离之和为h
多面体外接球内切球的半径求法
