灰色预测理论以及模型

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1、第7章 灰色预测方法预测就是借助于对过去的探讨去推测、了解未来。灰色预测通过原始数据的处理和灰色模型的建立，发现、掌握系统发展规律，对系统的未来状态做出科学的定量预测。对于一个具体的问题，究竟选择什么样的预测模型应以充分的定性分析结论为依据。模型的选择不是一成不变的。一个模型要经过多种检验才能判定其是否合适。只有通过检验的模型才能用来进行预测。本章将简要介绍灰数、灰色预测的概念，灰色预测模型的构造、检验、应用，最后对灾变预测的原理作了介绍。7.1 灰数简介7.1.1 灰数灰色系统理论中的一个重要概念是灰数。灰数是指未明确指定的数，即处在某一范围内的数，灰数是区间数的一种推广。灰色系统用灰数、灰

2、色方程、灰色矩阵等来描述，其中灰数是灰色系统的基本“单元”或“细胞”。我们把只知道大概范围而不知其确切值的数称为灰数。在应用中，灰数实际上指在某一个区间或某个一般的数集内取值的不确定数，通常用记号“”表示灰数。灰数有以下几类：1 仅有下界的灰数有下界而无上界的灰数记为或，其中为灰数的下确界，它是一个确定的数，我们称为的取数域，简称的灰域。一棵生长着的大树，其重量便是有下界的灰数，因为大树的重量必大于零，但不可能用一般手段知道其准确的重量，若用表示大树的重量，便有。2 仅有上界的灰数有上界而无下界的灰数记为或，其中为灰数的上确界，是一个确定的数。 一项投资工程，要有个最高投资限额，一件电器设备要

3、有个承受电压或通过电流的最高临界值。工程投资、电器设备的电压、电流容许值都是有上界的灰数。3 区间灰数既有下界又有上界的灰数称为区间灰数，记为。海豹的重量在2025公斤之间，某人的身高在1.81.9米之间，可分别记为，4 连续灰数与离散灰数在某一区间内取有限个值或可数个值的灰数称为离散灰数，取值连续地充满某一区间的灰数称为连续灰数。某人的年龄在30到35之间，此人的年龄可能是30，31，32，33，34，35这几个数，因此年龄是离散灰数。人的身高、体重等是连续灰数。5 黑数与白数当或，即当的上、下界皆为无穷或上、下界都是灰数时，称为黑数。当且时，称为白数。为讨论方便，我们将黑数与白数看成特殊的

4、灰数。6 本征灰数与非本征灰数本征灰数是指不能或暂时还不能找到一个白数作为其“代表”的灰数，比如一般的事前预测值、宇宙的总能量、准确到秒或微妙的“年龄”等都是本征灰数。非本征灰数是指凭先验信息或某种手段，可以找到一个白数作为其“代表”的灰数。我们称此白数为相应灰数的白化值，记为，并用表示以为白化值的灰数。如托人代买一件价格100元左右的衣服，可将100作为预购衣服价格的白化数，记为。从本质上来看，灰数又可分为信息型、概念型、层次型三类。1信息型灰数，指因暂时缺乏信息而不能肯定其取值的数，如：预计某地区今年夏粮产量在100万吨以上，；估计某储蓄所年底居民存款总额将达7000万到9000万，；预计

5、西安地区5月份最高气温不超过36，。这些都是信息型灰数。由于暂时缺乏信息，不能肯定某数的确切取值，而到一定的时间，通过信息补充，灰数可以完全变白。2概念型灰数，也称意愿型灰数。指由人们的某种观念、意愿形成的灰数。如某人希望至少获得1万元科研经费，并且越多越好，；某工厂废品率为1%，希望大幅度降低，当然越小越好，。这些都是概念型灰数。3层次型灰数，由层次的改变形成的灰数。有的数，从系统的高层次，即宏观层次、整体层次或认识的概括层次上看是白的，可到低层次上，即到系统的微观层次、分部层次或认识的深化层次则可能是灰的。例如，一个人的身高，以厘米度量是白的，若精确到万分之一毫米就成灰的了。7.1.2 灰

6、数白化与灰度有一类灰数是在某个基本值附近变动的，这类灰数白化比较容易，我们可以其基本值为主要白化值。以为基本值的灰数可记为或，其中为扰动灰元，此灰数的白化值为。如今年的科研经费在5万元左右，可表示为，或，它的白化值为50000。对于一般的区间灰数，我们将白化值取为：，定义7.1 形如，的白化称为等权白化。定义7.2 在等权白化中，取而得到的白化值称为等权均值白化。当区间灰数取值的分布信息缺乏时，常采用等权均值白化。定义7.3 设区间灰数，当时，称与取数一致，当时，称与取数非一致。在灰数的分布信息已知时，往往采取非等权白化。例如某人2000年的年龄可能是40岁到60岁，是个灰数。根据了解，此人受

7、初、中级教育共12年，并且是在60年代中期考入大学的，故此人的年龄到2000年为58岁左右的可能性较大，或者说在56岁到60岁的可能性较大。这样的灰数，如果再作等权白化，显然是不合理的。为此，我们用白化权函数来描述一个灰数对其取值范围内不同数值的“偏爱”程度。对概念型灰数中表示意愿的灰数，其白化权函数一般设计为单调增函数。 一般来说，一个灰数的白化权函数是研究者根据已知信息设计的，没有固定的程式。函数曲线的起点和终点一般应有其含义。如在外贸谈判中，就有一个由灰变白的过程。开始谈判时，甲方说我的出口额至少要5亿元，乙方说我的进口额不大于3亿。则成交额这一灰数将在3亿与5亿间取值，其白化权函数可将

8、起点定为3亿，终点定为5亿。灰度即为灰数的测度。灰数的灰度在一定程度上反映了人们对灰色系统之行为特征的未知程度。在实际应用中，我们会遇到大量的白化权函数未知的灰数，例如由一般灰色系统之行为特征预测值构成的灰数，就难以给出其白化权函数。我们认为，灰数的灰度主要与相应定义信息域的长度及其基本值有关。如果考虑一个4000左右的灰数，给出其估计值的两个灰数和，显然比更有价值，亦即比灰度小，若再考虑一个基本值为4的灰数，给出灰数，虽然与的长度都是4，但比的灰度小是显而易见的。7.2 灰色预测的概念7.2.1 灰色系统及灰色预测的概念1 灰色系统基本概念灰色系统产生于控制理论的研究中。若一个系统的内部特征

9、是完全已知的，即系统的信息是充足完全的，我们称之为白色系统。若一个系统的内部信息是一无所知，一团漆黑，只能从它同外部的联系来观测研究，这种系统便是黑色系统。灰色系统介于二者之间，灰色系统的一部分信息是已知的，一部分是未知的。区别白色和灰色系统的重要标志是系统各因素间是否有确定的关系。在工程技术、社会、经济、农业、生态、环境等各种系统中经常会遇到信息不完全的情况。比如：农业方面，农田耕作面积往往因许多非农业的因素而改变，因此很难准确计算农田产量、产值，这是缺乏耕地面积信息；生物防治方面，害虫与天敌间的关系即使是明确的，但天敌与饵料、害虫与害虫间的许多关系却不明确，这是缺乏生物间的关联信息；一项土

10、建工程，尽管材料、设备、施工计划、图纸是齐备的，可是还很难估计施工进度与质量，这是缺乏劳动力及技术水平的信息；一般社会经济系统，除了输出的时间数据列（比如产值、产量、总收入、总支出等）外，其输入数据列不明确或者缺乏，因而难以建立确定的完整的模型，这是缺乏系统信息；工程系统是客观实体，有明确的“内”、“外”关系（即系统内部与系统外部，或系统本体与系统环境），可以较清楚地明确输入与输出，因此可以较方便地分析输入对输出的影响，可是社会、经济系统是抽象的对象，没有明确的“内”、“外”关系，不是客观实体，因此就难以分析输入（投入）对输出（产出）的影响，这是缺乏“模型信息”（即用什么模型，用什么量进行观测

11、控制等信息）。信息不完全的情况归纳起来有：元素（参数）信息不完全；结构信息不完全；关系信息（特指“内”、“外”关系）不完全；运行的行为信息不完全。一个商店可看作是一个系统，在人员、资金、损耗、销售信息完全明确的情况下，可算出该店的盈利大小、库存多少，可以判断商店的销售态势、资金的周转速度等，这样的系统是白色系统。遥远的某个星球，也可以看作一个系统，虽然知道其存在，但体积多大，质量多少，距离地球多远，这些信息完全不知道，这样的系统是黑色系统。人体是一个系统，人体的一些外部参数（如身高、体温、脉搏等）是已知的，而其他一些参数，如人体的穴位有多少，穴位的生物、化学、物理性能，生物的信息传递等尚未知道

12、透彻，这样的系统是灰色系统。 显然，黑色、灰色、白色都是一种相对的概念。世界上没有绝对的白色系统，因为任何系统总有未确知的部分，也没有绝对的黑色系统，因为既然一无所知，也就无所谓该系统的存在了。2. 灰色系统的特点 灰色系统理论以“部分信息已知、部分信息未知”的 “小样本”、“贫信息”不确定型系统的研究对象。（1）用灰色数学来处理不确定量，使之量化。 在数学发展史上，最早研究的是确定型的微分方程，即在拉普拉斯决定论框架内的数学。他认为一旦有了描写事物的微分方程及初值，就能确知事物任何时候的运动。随后发展了概率论与数理统计，用随机变量和随机过程来研究事物的状态和运动。模糊数学则研究没有清晰界限的

13、事物，如儿童和少年之间没有确定的年龄界限加以截然划分等，它通过隶属函数来使模糊概念量化，因此能用模糊数学来描述如语言、不精确推理以及若干人文科学。灰色系统理论则认为不确定量是灰数，用灰色数学来处理不确定量，同样能使不确定量予以量化。1，2，3 不确定量 量化（用确定量的方法研究） 1、概率论与数理统计； 2、模糊数学； 3、灰色数学（灰色系统理论）（2）充分利用已知信息寻求系统的运动规律。 研究灰色系统的关键是如何使灰色系统白化、模型化、优化。 灰色系统视不确定量为灰色量。提出了灰色系统建模的具体数学方法，它能利用时间序列来确定微分方程的参数。灰色预测不是把观测到的数据序列视为一个随机过程，而

14、是看作随时间变化的灰色量或灰色过程，通过累加生成和累减生成逐步使灰色量白化，从而建立相应于微分方程解的模型并做出预报。这样，对某些大系统和长期预测问题，就可以发挥作用。（3）灰色系统理论能处理贫信息系统。 灰色预测模型只要求较短的观测资料即可，这和时间序列分析，多元分析等概率统计模型要求较长资料很不一样。因此，对于某些只有少量观测数据的项目来说，灰色预测是一种有用的工具。3灰色预测灰色系统分析方法是通过鉴别系统因素之间发展趋势的相似或相异程度，即进行关联度分析，并通过对原始数据的生成处理来寻求系统变动的规律。生成数据序列有较强的规律性，可以用它来建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来的发展趋

15、势和未来状态。灰色预测是用灰色模型GM(1,1)来进行定量分析的，通常分为以下几类：(1) 灰色时间序列预测。用等时距观测到的反映预测对象特征的一系列数量（如产量、销量、人口数量、存款数量、利率等）构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或者达到某特征量的时间。(2) 畸变预测（灾变预测）。通过模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。 (3) 波形预测，或称为拓扑预测，它是通过灰色模型预测事物未来变动的轨迹。 (4) 系统预测，是对系统行为特征指标建立一族相互关联的灰色预测理论模型，在预测系统整体变化的同时，预测系统各个环节的变化。上述灰预测方法的共同特点是：（1）允

16、许少数据预测；（2）允许对灰因果律事件进行预测，比如l 灰因白果律事件 在粮食生产预测中，影响粮食生产的因子很多，多到无法枚举，故为灰因，然而粮食产量却是具体的，故为白果。粮食预测即为灰因白果律事件预测。l 白因灰果律事件 在开发项目前景预测时，开发项目的投入是具体的，为白因，而项目的效益暂时不很清楚，为灰果。项目前景预测即为灰因白果律事件预测。（3）具有可检验性，包括：建模可行性的级比检验（事前检验），建模精度检验（模型检验），预测的滚动检验（预测检验）。7.2.2 预备知识生成数分为累加生成数（AGO）与累减生成数（IAGO）(1) 累加生成数 1-AGO指一次累加生成。记原始序列为生成序

17、列为上标“”表示原始序列，上标“”表示一次累加生成序列。其中，(2) 累减生成数(IAGO) 是累加生成的逆运算。记原始序列为，对做一次累减生成，则得生成序列，其中，规定。累加生成与累减生成之间的关系如下图所示： 1-AGO IAGO 关联度为了定量地研究两个事物间的关联程度，人们提出了各种形式的指数，如相关系数和相似系数等等。这些指数大多以数理统计原理为基础，需要足够的样本个数或者要求数据服从一定的概率分布。在客观世界中，有许多因素之间的关系是灰色的，分不清哪些因素之间关系密切，哪些不密切，这样就难以找到主要矛盾和主要特性。灰因素关联分析，目的是定量地表征诸因素之间的关联程度，从而揭示灰色系

18、统的主要特性。关联分析是灰色系统分析和预测的基础。关联分析是一种相对性的排序分析。从思路上来看，源于几何直观。如图7.1所示的A、B、C、D四个时间序列，曲线A与B比较平行，我们就认为A与B的关联程度大。曲线C与A随时间变化的方向很不一致，认为A与C的关联程度较小。曲线A与D相差最大，则认为两者的关联程度最小。将曲线A与B、C、D的关联程度分别记为rAB，rAC，rAD，则它们之间有如下排序关系：rAB，rAC，rAD，相应的序列rAB，rAC，rAD称为关联序。 x A B C D t 图7.1 时间序列的几何关联性由此可见，关联分析实质上是一种曲线间几何形状的分析比较，即几何形状越接近，则

19、发展变化趋势越接近，关联程度越大；反之亦然。关联度分析是分析系统中各因素关联程度的方法。计算关联度需先计算关联系数。（1） 关联系数的计算设参考序列为比较序列为 关联系数定义为： (7.2.1)式中，为第k点与的绝对差； 为两级最小差，其中是第一级最小差，表示在序列上找各点与的最小差；为第二级最小差，表示在各序列中找出的最小差基础上寻求所有序列中的最小差；是两级最大差，其含义与最小差相似。 P称为分辨率，一般采用。对单位不一，初值不同的序列，在计算关联系数之前应首先进行初值化，即将该序列的所有数据分别除以第一数据，将变量化为无单位的相对数值。（2） 关联度的计算关联系数只表示了各个时刻参考序列

20、和比较序列之间的关联程度，为了从总体上了解序列之间的关联程度，必须求出它们的时间平均值，即关联度。因此，计算关联度的公式为： (7.2.2)另外，定量地表征灰色系统诸因子之间关联程度的指数有两种，按其计算方法的差异，分别称为绝对值关联度和速率关联度。以上我们所介绍的是绝对值关联度的概念和计算，有关速率关联度的问题，在此不作详述。7.3 灰色预测模型7.3.1 GM（1,1）模型1GM(1,1)模型令为GM(1,1)建模序列，为的1-AGO序列，,令为的紧邻均值（MEAN）生成序列=0.5+0.5则GM(1,1)的定义型，即GM(1,1)的灰微分方程模型为 (7.3.2)模型符号含义为 G M

21、（1， 1） Grey Model 1阶方程 1个变量 式中称为发展系数，为灰色作用量。设为待估参数向量，即，则灰微分方程(7.3.2)的最小二乘估计参数列满足 =其中=， =称 (7.3.3)为灰色微分方程的白化方程，也叫影子方程。如上所述，则有1） 白化方程的解也称时间响应函数为2） GM(1,1)灰色微分方程的时间响应序列为+，3） 取，则+，4） 还原值上式即为预测方程。有关建模的问题说明如下：1 定原始序列中的数据不一定要全部用来建模，对原始数据的取舍不同，可得模型不同，即和不同。2 模的数据取舍应保证建模序列等时距、相连，不得有跳跃出现。3 一般建模数据序列应当由最新的数据及其相邻

22、数据构成，当再出现新数据时，可采用两种方法处理：一是将新信息加入原始序列中，重估参数；二是去掉原始序列中最老的一个数据，再加上最新的数据，所形成的序列和原序列维数相等，再重估参数。7.3.2 GM（1,1）模型检验GM(1,1)模型的检验分为三个方面：残差检验；关联度检验；后验差检验。1 残差检验残差大小检验，即对模型值和实际值的残差进行逐点检验。首先按模型计算，将累减生成，最后计算原始序列与的绝对残差序列，及相对残差序列，%并计算平均相对残差给定，当，且成立时，称模型为残差合格模型。2 关联度检验关联度检验，即通过考察模型值曲线和建模序列曲线的相似程度进行检验。按前面所述的关联度计算方法，计

23、算出与原始序列的关联系数，然后算出关联度，根据经验，关联度大于0.6便是满意的。3 后验差检验后验差检验，即对残差分布的统计特性进行检验。（1） 计算出原始序列的平均值：= （2） 计算原始序列的均方差：=（3） 计算残差的均值：=（4） 计算残差的均方差：=（5） 计算方差比C：（6） 计算小残差概率：P令=0.6745，即P。若对于给定的，当时，称模型为均方差比合格模型；如对给定的，当时，称模型为小残差概率合格模型。表7.1 后验差检验判别参照表模型精度0.950.800.700.65勉强合格0.65不合格若相对残差、关联度、后验差检验在允许的范围内，则可以用所建的模型进行预测，否则应进行

24、残差修正。7.3.3 GM（1,1）模型应用实例例7.1 某大型企业1999年至2004年的产品销售额如下表，试建立GM(1,1)预测模型，并预测2005年的产品销售额。年份199920002001200220032004销售额(亿元)2.673.133.253.363.563.72解：设=2.67，3.13，3.25，3.36，3.56，3.72第1步 构造累加生成序列=2.67，5.80，9.05，12.41，15.97，19.69第2步 构造数据矩阵和数据向量，第3步 计算=第4步 得出预测模型0.043879=2.925663=69.345766.6757（=2.67；=66.6757

25、）第5步 残差检验(1)根据预测公式，计算，得2.67，5.78，9.03，12.43，15.97，19.68，19.69(=0,1, ,6)(2)累减生成序列，=1,2, ,62.67，3.11，3.25，3.40，3.54，3.71原始序列：2.67，3.13，3.25，3.36，3.56，3.72(3)计算绝对残差和相对残差序列绝对残差序列：0，0.02，0，0.04，0.02，0.01相对残差序列：0，0.64%，0，1.19%，0.56%，0.27%相对残差不超过1.19%，模型精确度高。第6步 进行关联度检验(1) 计算序列与的绝对残差序列(k)0,0.02,0,0.04,0.02

26、,0.01min(k) = min0,0.02,0,0.04,0.02,0.01= 0max(k) = max0,0.02,0,0.04,0.02,0.01= 0.04(2) 计算关联系数由于只有两个序列（即一个参考序列，一个被比较序列）故不再寻求第二级最小差和最大差。求得1, 0.5, 1, 0.33, 0.5, 0.67(3) 计算关联度0.67r=0.67是满足P=0.5时的检验准则r0.6的。第7步 后验差检验(1) 计算：=2.67+3.13+3.25+3.36+3.56+3.72=3.28(2) 计算 序列的均方差：=0.3671(3) 计算残差的均值：=0.015(4) 计算残差

27、的均方差：=0.0152(5) 计算C：=0.0152/0.3671=0.0414(6) 计算小残差概率：=0.67450.3671=0.27460.15,0.005,0.015,0.025,0.005,0.005所有都小于，故小残差概率=1，而同时C=0.04140，称为未来第次灾变的预测日期。例7.2 某地区平均降水量（单位：毫米）的原始数据为：=386.6, 514.6, 434.1, 484.1, 647.0, 399.7,498.7, 701.6, 254.5, 463.0, 745.0, 398.3,554.5, 471.1, 384.5, 242.5, 671.7, 374.7,458.9, 511.3, 530.8, 586.0, 387.1, 454.4,规定年降水量390(毫米)为旱灾年，试作旱灾预测。解：首先作灾变映射。按照390(毫米)为异常值,则有 .作异常值到出现灾变点的映射，得灾变日期序列为据此对建立灾变日期序列的GM(1,1)模型。对作一次累加生成，得。求得参数向量。记的紧邻生成序列为，于是,得灾变GM(1,1)为，灾变日期序列的GM(1,1)序号响应式为从而由此可得的模拟序列由，得绝对残差序列， 及相对残差序列平均相对残差小于0.10，故可用进行预测。，即从最近一次旱灾发生的时间算起，五年之后可能发生旱灾。