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1、4.4 FIR数字滤波器的最优化设计 前面引见了FIR数字滤波器的两种逼近设计方法，即窗口法时域逼近法和频率采样法频域逼近法，用这两种方法设计出的滤波器的频率特性都是在不赞同义上对给定理想频率特性Hd(ej)的逼近。说到逼近，就有一个逼近得好坏的问题，对“好“坏的衡量规范不同，也会得出不同的结论，我们前面讲过的窗口法和频率采样法都是先给出逼近方法、所需变量，然后再讨论其逼近特性，假设反过来要求在某种准那么下设计滤波器各参数，以获取最优的结果，这就引出了最优化设计的概念，最优化设计普通需求大量的计算，所以普通需求依托计算机进展辅助设计。最优化设计的前提是最优准那么确实定，在FIR滤波器最优化设计
2、中，常用的准那么有 最小均方误差准那么 最大误差最小化准那么。1)均方误差最小化准那么，假设以E(ej)表示逼近误差，那么 那么均方误差为deEdeHeHjjjd2222121)()(jjdjeHeHeE）（均方误差最小准那么就是选择一组时域采样值，以使均方误差 ，这一方法注重的是在整个-频率区间内总误差的全局最小，但不能保证部分频率点的性能，有些频率点能够会有较大的误差，对于窗口法FIR滤波器设计，因采用有限项的h(n)逼近理想的hd(n)，所以其逼近误差为：假设采用矩形窗 那么有ndnhnh22)()(其它01)()(Nnonhnhd1222|)()(|)()(|nNnddnhnhnhnh
3、min2在矩形窗内与理想的完全一样，窗外是不可控制的，此时误差最小，与其它窗函数相比 矩形窗窗口设计法是一个最小均方误差FIR设计，根据前面的讨论，我们知道其优点是过渡带较窄，缺陷是部分点误差大,或者说误差分布不均匀。2)最大误差最小化准那么也叫最正确一致逼近准那么表示为 其中F是根据要求预先给定的一个频率取值范围，可以是通带，也可以是阻带。最正确一致逼近即选择N个频率采样值 或时域 h(n)值，在给定频带范围内使频响的最大逼近误差到达最小。也叫等波纹逼近。优点：可保证部分频率点的性能也是最优的，误差分布均匀，一样目的下，可用最少的阶数到达最正确化。min|)(|maxjeEF 例如，我们提到
4、的频率采样最优化设计，它是从知的采样点数N、预定的一组频率取样和知的一组可变的频率取样即过渡带取样出发，利用迭代法或解析法得到具有最小的阻带最大逼近误差即最大的阻带最小衰减的FIR滤波器。但它只是经过改动过渡带的一个或几个采样值来调整滤波器特性。假设一切频率采样值或FIR时域序列h(m)都可调整，显然，滤波器的性能可得到进一步提高。零相位滤波器作为研讨对象4.75 对于M阶滤波器，其极值点个数4.76 问题生成4.81 算法4.82 估算公式4.84MnMnjnnannhheH01cos)(cos)(2)0()(讨论对象：零相位滤波器假定滤波器的单位脉冲呼应h(n)为对称于n=0的单位脉冲呼应
5、，且N为奇数，此时，线性相位因子a=0.令N=2M+1,M为恣意正整数，那么滤波器频率呼应可写为()()MjjnnMH eh n e对于零相位，要求h(n)=h(-n)，由于h(n)的对称特性，那么式中，a(0)=h(0);a(n)=2h(n),n0。由上式可见，零相位滤波器的频率呼应应是一纯实数。本节以此滤波器为例来讲解。低通滤波器的误差分配设计目的：假定希望设计一个如下图的滤波器，各个参数的含义切比雪夫最正确一致逼近 如图，用等波纹逼近法设计滤波器需求确定五个参数：M、c、r、1、2按上图所示的误差容限设计低通滤波器，就是说要在通带 0 p 内以最大误差 1 逼近1，在阻带r 内 以最大误
6、差2逼近零。要同时确定上述五个参数较困难。常用的两种逼近方法：1给定M、1、2，以c和r为变量。缺陷：边境频率不能准确确定。2给定M、c和r，以1和2为变量，经过迭代运算 ，使逼近误差1和2 最小，并确定h(n)切比雪 夫最正确一致逼近。特点：能准确地指定通带和阻带边境频率。等动摇逼近的低通滤波器c r一.误差函数 定义逼近误差函数：)()(HHWEd E 为所设计的滤波器与理想滤波器的幅频特性在通带和阻带内的误差值，是知的权函数，在不同频带可取不同的值，将通阻带动摇一致同来 所要设计的滤波器的幅频特性 理想滤波器的幅频特性 W H dH(4.79)rcdH001 rckW101 希望在固定
7、M,c,r 的情况下逼近一个低通滤波器，这时有21k21cos)()(0NMnnaHMn21,2,1,212)(,21)0(NnnNhnaNha对于表4.1中的第一种滤波器，使得在各频带上的加权误差最大值一样P:4.15 给定后等效于求 (阻带衰减)最小。)1(cos)()()()(0MndnnaHWE于是切比雪夫逼近问题变为，寻求一组系数 使逼近误差的最大值到达最小，即,1,0),(Mnna2minmaxEc0r21/k二.交替定理最正确逼近定理 令F表示闭区间 的恣意闭子集，为了使 在 F 上独一最正确地逼近于 ,其充分必要条件是误差函数 在 F 上至少应有M+2次“交替，即其中 ，且 属
8、于F。1 至少有 M+2 个极值，且极值相互“交替，具有等 波纹的性质，2由于 是常数，所以 的极值也就是 的极值。E0i)(H)(dH1210M E)(max1EEEii)(dHW和 E H要有M+2个极值频率点近似系统呼应 借助于低通滤波器的设计，可以直观地解释这个定理。这时，闭子集F包括区间 和 。由于滤波器频响 是逐段恒定的，所以对应于误差函数 各峰值点的频率 同样也对应于 恰好满足误差容限时的频率。根据前面的讨论，在开区间 内至多有M-1个极值，此外，根据通带和阻带的定义，令 的约束条件为 ，0crjeH0jdeH EijeHjeH11cjH e，再加上 和处的极值，误差曲线极值频率
9、交替满足定理。2rjeH0逼近方法：固定 k、M、和 ，以 作为参变量。按照交替定理，假设 F 上的M+2个极值点频率 知，那么由1式可得到 M+2 个方程：cr2 1,1,0MiiiMniidinnaHW)1(cos)(01,1,0Mi)(maxEc0r为极值点频率对应的误差函数值。M+2个极值频率点给出M+2个方程未知系数M+1个a(n)和 留意：极值点频率必需位于 和区间内。由于 和 固定，因此 和 必为这些极值频率中的一个，设 ，那么应有 求解上述方程组可得到全部系数问题：1实践情况下，M+2 个极值点频率未知；2直接求解上述非线性方程组比较困难。c0rcrcr10Mllc1lr及误差
10、Maaa,10 雷米兹Remez算法给出了求解切比雪夫最正确一致逼近问题的方法。雷米兹交替算法雷米兹交替算法圆点-第一次迭代的极值频率点叉内插多项式的极值点，新的极值频率点三.雷米兹Remez算法1在频率子集 F 上均匀等间隔地选取 M+2 个极值点频率 并计算作为初值,110M1010)(/)1()(MkkkkMkkdkWH)cos(cos11,0kiMkiik式中2由 求 和利用重心方式的拉格朗日插值公式，1,1,0Mii)(H)(E00()coscos()coscosMkkkkMkkkHHMkWHHkkkdk,1,0)()1()()(其中 )()(HHWEd如在频带 F 上，对一切频率都
11、有 ，那么 为第一次获取的最大误差，即为极值点频率。E110,M3对上次确定的极值点频率 中的每一点，在其附近检查能否在某一频率处有 ，如有，那么以该频率点作为新的部分极值点。对 M+2 个极值点频率依次进展检查，得到一组新的极值点频率。反复步骤1、2，求出 ，完成一次迭代。反复上述步骤，直到 的值改动很小，迭代终了，这个 即为所求的 最小值。由最后一组极值点频率求出 ，反变换得到 ,完成设计。优点：可准确确定；逼近误差均匀分布，一样目的下，滤波器所需阶数低。110,ME)()(EH、2)(H)(nhcr和有一些估算公式可用于决议最正确滤波器长度N：对于窄带低通滤波器，对滤波器长度N起主要作用
12、：12/)(6.1413lg2021crN12/)(22.0lg202crN2例例 4 利用雷米兹交替算法，设计一个线性相位低通 FIR 数字滤波器，其指标为：通带边界频率fc=800Hz，阻 带 边 界fr=1000Hz，通 带 波 动dB5.0阻 带 最 小 衰 减 At=40dB，采 样 频 率fs=4000Hz。Parks-McClellan FIR filter Matlab函数remez(Obsolete)firpm 4.5 IIR与与FIR数字滤器的比较数字滤器的比较 FIRIIR设计方法普通无解析的设计公式，要借助计算机程序完成利用AF的成果，可简单、有效地完成设计 设计结果可得到幅频特性可以多带和线性相位最大优点只能得到幅频特性，相频特性未知一大缺陷，如需求线性相位，须用全通网络校准，但添加滤波器阶数和复杂性稳定性极点全部在原点永远稳定无稳定性问题有稳定性问题 阶数高 构造非递归递归系统运算误差普通无反响，运算误差小有反响，由于运算中的四舍五入会产生极限环快速算法可用FFT实现，减少运算量无快速运算方法低 滤波器设计就是求h(n)、H(z)或者说频率呼应 不同的设计方法只是从不同的思索角度来到达这一目的
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